[初二数学]八年级下学期反比例函数单元复习与巩固.doc

反比例函数单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标1使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 ，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表 示方法列表法、解析式法和图象法及各自特点；3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性 质分析和解决一些简单的实际问题；4探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这 种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型；5使学生在学习反比例函数之后，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化 观点，进一步认识数形结合的思想方法重点反比例函数的概念、图象和性质难点对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握三、知识要点梳理知识点一、反比例函数的概念一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数要点诠释：（1）反比例函数y=中的是一个分式,自变量x0,也可写成或，其中k0；（2）在反比例函数（k0）中，x的指数是1。如，也可以写成：；（3）在反比例函数（k0）中要注意分母x的指数为1，如就不是反比例函数。知识点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的解析式知识点三、反比例函数的图象和性质（一）反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限它们关于原点对称，反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x和y的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； (k0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称.注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. （二）反比例函数的性质1图象位置与反比例函数性质 当时，x、y同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当时， x、y异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。2若点(a,b)在反比例函数的图象上，则点（-a,-b）也在此图象上，故反比例函数的图 象关于原点对称。3正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图 像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置k0，一、三象限；k0，二、四象限k0，一、三象限k0，二、四象限增减性k0，y随x的增大而增大k0，y随x的增大而减小k0，在每个象限，y随x的增大而减小k0，在每个象限，y随x的增大而增大4反比例函数y=中k的意义过双曲线(k0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线(k0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.知识点四：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转 化为数学问题。2针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。3列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。如，某三角形的面积是2时，底边长y与该底边上的 高x之间的关系式是。四、规律方法指导1反比例函数的概念需注意的问题(1) ，k是常数，且k不为零；(2) 中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数；(3) 自变量x的取值范围是的一切实数；(4) 函数值y的取值范围是的一切实数2画反比例函数的图象时要注意的问题(1)画反比例函数图象的方法是描点法；(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来；(3)由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近 坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势3用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤(1)设所求的反比例函数为：（）；(2)根据已知条件，列出含k的方程；(3)解出待定系数k的值.(4)把k值代入函数关系式中4注意数形结合思想方法的应用（1）学会从图象上分析反比例函数的性质；（2）从交点的横坐标寻求类似方程的解；（3）从图象上会直接写出类似或不等式的解集。经典例题透析类型一：确定反比例函数的解析式1. 已知函数y（k2）是反比例函数，则k的值为_. 思路点拨:根据反比例函数概念，=且，可确定k的值.解析：k=2总结升华：此题确定函数是否为反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是-1，另一个是自变量的系数不等于0.举一反三：【变式1】已知yy1y2， y1与x成正比例，y2与x成反比例，且x2与x3时，y的值都等于10求y与x间的函数关系式 【答案】由题意得，将（2,10）与（3,10）代入解出，【变式2】反比例函数图象经过点（2，3），则n的值是（ ）.A. B. C. 0 D. 1【答案】反比例函数过点（2，3）故选D类型二：反比例函数的图象及性质参数与反比例函数图象2、反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） 思路点拨：一次函数是经过定点（1，0）,排除掉B、D答案；选项A中m的符号自相矛盾，选项C符合要求.总结升华：还可以按照m0，m0分别画出函数图象，看哪一个选项符合要求。 举一反三：【变式1】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是( ) .A BCD【答案】B ；因为从B的图像上分析，对于直线来说是a0，b0，则a+b0，对于反比例函数来说，a+b0，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形。【变式2】如图是三个反比例函数、在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系（ ）.Ak1k2k3 Bk3k2k1 Ck2k3k1 Dk3k1k2【答案】B【变式3】如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线(k0)与有交点，则k的取值范围是（ ） A B C D【答案】：C；双曲线经过点A和BC的中点，此时k=1或k=4，当时，双曲线与有交点。参数与反比例函数的增减性3. （2011黑龙江黑河）若A(x1，y1)，B(x2，y2），C(x3，y3)是反比例函数y=图象上的点，且x1x20x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是 ( ) Ay3y1y2 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y2y1思路点拨:图象在一、三象限，y30，A、B两点在第三象限，y随x的增大而减小，所以0y1y2 【答案】：A总结升华：反比例函数，当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大. 举一反三：【变式1】知（），（），（）是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是_.【答案】【变式2】如下图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？（2）在图象上任取两点A（a,b）和B（a,b），如果a a,那么b和b的大小关系？ 【答案】（1）因为反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者第二、四象限，这个函 数的图象一支在第二象限，则另一支必在第四象限。因此这个函数的图象分布在第二、四象限， 所以n+70，n7。（2）因为 n+70 ，所以双曲线的两支分布在二、四象限， 当A,B两点在同一象限时,由于在每一个象限内y随x的增大而增大,所以当aa时,有bb； 当A,B两点不在同一象限时，由aa,可得只能A在第二象限,B在第四象限,此时有b0b. 综上，当A,B两点在同一象限时，有bb；当A,B两点不在同一象限时，有b b.【变式3】（2011江苏淮安）如图，反比例函数的图象经过点A(-1,-2).则当x1时，函数值y的取值范围是（ ）Ay1 B0y1 C. y2 D0 y2 【答案】D；在第一象限，y随x的增大而减小，且y0，所以当x1时，0 y2 反比例函数与图形面积4如图,过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作x轴的垂线，垂足为，连接的交点为，记与梯形的面积分别为，试比较的大小.思路点拨:分别设A、B两点坐标为（），（）分别表示与梯形的面积即可.解析：，且，.总结升华：反比例函数中的几何意义是: 等于双曲线线上任意一点作轴、轴的垂线所得的矩形的面积，如图：（1）,（2）.举一反三：【变式1】（2011山东东营）如图,直线和双曲线交于A、B两点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设AOC面积是、BOD面积是、POE面积是、则（ ）A. C. = D. = 【答案】D；设PE与双曲线交于点F，由k的几何意义，则，但是,所以=.【变式2】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为_.【答案】2；设A点的坐标为（a,）, 因为ABx轴，所以B点的坐标为（3a，），矩形面积=（3a-a）=2.类型三：实际问题与反比例函数5. 制作一种产品，需先将材料加热达到60后，再进行操作设该材料温度为y（），从加热开始计算的时间为x（分钟）据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）已知该材料在操作加工前的温度为15，加热5分钟后温度达到60（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15时，须停止操作，那么操作时间是多少？思路点拨:（1）由待定系数法可以求出加热和停止加热进行操作时y与x的函数关系式；（2）将y=15代入反比例函数解析式，可以求出温度为15C时的时间，这样就可以算出操作时间。解析：(1)设一次函数的解析式为y=kxb,代入点（0,15），（5,60）求得y=9x+15 （0x5) (2)将y=15代入反比例函数解析式，解得x=20所以操作时间=205=15（分钟）【变式】在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（）之间的函数图象如图所示：（1）I与R的函数关系式为：_； （2）结合图象回答： 当电路中的电流不得超过12 A时，电路中电阻R的取值范围是_. 当电压U一定时，电流I与电阻R的关系为I=，所以电流I与电阻R成反比例函数关系再把点 的坐标代入即可【答案】：（1），（R0）（2）类型四：反比例函数与其他问题综合反比例函数与一次函数综合6（2011四川宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数（x0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x1时，一次函数值大于反比例函数值，当x1时，一次函数值小于反比例函数值（1）求一次函数的解析式；（2）设函数（x0）的图象与（x0）的图象关于y轴对称，在（x0）的 图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQx轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于 2，求P点的坐标思路点拨：（1）当x1时，一次函数值大于反比例函数值，当x1时，一次函数值小于反比例函数值说明A点的横坐标为-1；（2）转换一下求面积的方式，解：时，一次函数值大于反比例函数值，当时，一次函数值小于反比例函数值A点的横坐标是-1，A（-1,3）设一次函数解析式为，因直线过A、C则 解得一次函数的解析式为的图象与的图象关于y轴对称，B点是直线与y轴的交点，B（0,2）设P(n，)，=2，P（，）【变式1】如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积；（3）求方程的解（请直接写出答案）；（4）求不等式的解集（请直接写出答案）解：（1） B（2，-4） 由A（-4，2），B（2，-4）得一次函数为（2）C（-2，0），D（0，-2） （3）（4）或运动变化7. 如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S求B点坐标和k的值；当时，求点P的坐标；写出S关于m的函数关系式 思路点拨：考虑点P在B点的左侧或右侧两种情况解： 正方形OABC面积为9 OA=OC=3 B（3，3） 双曲线， ， A为OE中点或E为OA的中点 E（6，0）或（，0） ，即或P（，6）当m3时，当时，总结升华：在研究动态几何问题时，应注意观察在图形的运动过程中可能出现的所有情况，然后将每种情况分别在相对“静止”的状态下进行分析，运用数形结合、分类讨论思想解决问题. 反比例函数与动态几何问题综合时，要充分应用反比例函数的图象和性质，以及几何图形特点，把问题的数量关系转化为图形的性质，或把图形的性质转化为数量关系，从而解决问题.【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，A、C两点间的距离为10，P是BC边上一动点，过D作DEAP于E，设AP=x，DE=y，求y与x的函数关系式，并求自变量的取值范围.【答案】无论P点在何处运动，S矩形=68=48连接PD，即（6x10）学习成果测评基础达标填空题1图象经过点（-2，5）的反比例函数的解析式是_.2. 已知反比例函数的图象在一、三象限，那么m的取值范围是_。3反比例函数的图象叫做_.当k0时，图象分居第_ 象限，在每个 象限内y随x的增大而_；当k0）的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴引垂线，交x轴于A1，B1，C1三点，连OA，OB，OC，记OAA1，OBB1，OCC1的面积分别为S1，S2，S3，则有( ).如图2AS1=S2=S3 BS1S2S3 CS3S1S2S313反比例函数（k0）在第一象限的图象上有一点P，PQx轴，垂足为Q，连PO，设RtPOQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是（ ）.A B C Dk14已知ab0. （ 提示：结合图象考虑反比例函数增减性）5.；增大 6. 7.y3y1y2. （提示： -k2-20;此时反比例函数的图像在各自象限内y随x的增大而增大）8.-3. （提示：由矩形OABC的面积=3，可得B点的横坐标与纵坐标的乘积的绝对值=3，又因为图象在第四象限，所以反比例函数的k0）选择题9.B (提示：平行四边形的面积等于底与高的乘积) 10.B 11.D （提示：m=-4） 12.A （提示：三个面积都为）13.B （提示：面积为）14.C （提示：将点P（a，b）的坐标代入反比例函数的解析式，可以求出b=1,因为ab0， 所以a0,则直线在a0;2.m0）16.D (提示：当时，随着的增大而减小)17.C（提示：将p点坐标代入反比例函数解析式求出k=4,再将Q点代入反比例函数解析式得出m0)的图象交于点M（a,1），MNx轴于点N（如图），若OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式.22已知y=y1-y2,y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x=-1时，y=-5，当x=1时，y=1，求y与x之间的函数关系式.23一定质量的二氧化碳，当它的体积V=5m3时，它的密度=1.98kg/m3.（1）求与V的函数关系；（2）求当V=9m3时，二氧化碳的密度.答案与解析能力提升解答题19解：（x0）x12341005025 20解：（1）设点的坐标为（，），则. ,. 反比例函数的解析式为.（2）由 得 为（，）. 设点关于轴的对称点为，则点的坐标为（，）. 令直线的解析式为. 为（，） 的解析式为. 当时，.点为（，）.21. MNx轴，点M（a，1）SOMN=2a=4M(4,1)正比例函数y=k1x的图象与反比例函数(x0)的图象交于点M（4,1）正比例函数的解析式是，反比例函数的解析式是22解：y1与x成反比例，设.y2与x2成正比例，设y2=k2x2.y=y1-y2，.把分别代入得解得k1=3；k2=2.y与x的函数解析式为.23解：将V=5时，=1.98代入,得m=1.985=9.9.与V的函数关系式为.当V=9时，（kg/m3）.综合探究：24（2011四川内江）如图，正比例函数与反比例函数相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BDx轴于点D，且=4。过点A的一次函数与反比例函数的图象交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。（1）求正比例函数、反比例函数和一次函数的解析式；（2）结合图象，求出当时x的取值范围。25（2011吉林）如图，在平面直角坐标系中，直线y2x2与x轴、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，双曲线y 在第一象限经过点D求双曲线表示的函数解析式答案与解析综合探究24解：（1）设B（p，q），则 又=4，得，所以，所以 得A(4，2) ，得，所以 由得，所以（2）B（-4，-2），C（1,4） 或25. 解：过点D作DEx轴，垂足为E当x0时，y2 当 y0时，2x20得x1OB2 OA1四边形ABCD是正方形，x轴y轴ABAD12239013x轴y轴，DEx轴BOAAED90BOAAED（AAS）OBAE=2，OAED=1OE=3D（3，1）把D（3，1）代入y 得k3y中考题萃一、选择题1. 平面直角坐标系中有六个点， 其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是（ ）.A点 B点 C点 D点2. 如图1，某反比例函数的图像过点M（，1），则此反比例函数表达式为（ ）A B C D3. 点A(2，m)在反比例函数的图象上，则m的值为（ ）.A4 B24 C6 D64. 在反比例函数的图象上有两点，且，则 的值 为（ ）A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数5（2011广东茂名）若函数的图象在其象限内的值随值的增大而增大，则的取值范 围是（ ）A B C D6. 当x0时，反比例函数（ ）.A图象在第二象限内，y随x的增大而减小 B图象在第二象限内，y随x的增大而增大C图象在第三象限内，y随x的增大而减小 D图象在第四象限内，y随x的增大而增大7已知反比例函数y，下列结论不正确的是（ ）A图象经过点（1，1） B图象在第一、三象限C当x1时，0y1D当x0时，y随着x的增大而增大8. 反比例函数的图象如图2所示，点是该函数图象上一点，垂直于轴，垂足是点, 如果，则的值为（ ）.A B C D9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）. 10如图3，直线与双曲线交于点过点作轴，垂足为点，连结若，则的值是（ ）. A B C D11. 已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为小时，这种显示器工作的天数为d（天），平均每天工作的时间为t（小时），那么能正确表示d 与t之间的函数关系的图象是（ ）.12（2011浙江杭州）如图，函数和函数的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若，则x的取值范围是（ ）A BCD13. 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也随之改变，与在一定范围内满足，当时，它的函数图象是（ ）.14.（2011湖南怀化）函数与函数在同一坐标系中的大致图像是（ ）15. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时,气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 )的反比例函数，其图象如图4所示当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（ ）.A不小于m3 B小于m3 C不小于m3 D小于m3二、填空题16. 若反比例函数（0）的图象经过点A（1，3），则的值为_.17已知反比例函数的图象经过点A(-3,-6)则这个反比例函数的解析式是_18反比例函数的图象经过点(1,-2)，则这个反比例函数的关系式为_.19如图5，双曲线与直线相交于两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为_.20. 如图6，已知双曲线(x0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k_. 21. 如图7，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点B(a，b)在点A的右侧，则b的取值范围是_.22如图8，P的半径为2，圆心在函数的图象上运动，当圆P与轴相切时，点的坐标为_.23如图9，半径为2的两圆O1和O2均与y轴相切于点O，反比例函数(k0)的图像与两圆分别交于点