附件5：选修课《数学漫游》的教学探索.doc

附件5：选修课数学漫游的教学探索摘要：本文侧重职高如何开设数学选修课进行了探索和研究。结合自己的教学经历，以一个学期完整的课程设计为例详细阐述了数学选修课内容设计的特征和原则。同时提出了恰当处理内容，培养学习兴趣；保持学科特征，密切联系专业；淡化教材形式，注重思想实质；落实数学美育，融合数学历史等教学设计的策略。文末就选修课教学为引子，反思数学课程的教学，探索和期待漫游数学王国真正走入职高数学。关键词：趣味、联系专业、数学文化正文：（一）选修课数学漫游开设的背景和意义一、课程改革背景随着经济发展，各行各业对高素质的实用型中初级技术人才的需求在不断扩大，职业教育得到了前所未有的重视，对职业中学的课程设置的研究和改革也在不断的进行中。职高需要怎样的文化课？ 文化课和专业课的关系如何处理？是大家已经在不断思考和探索的问题。二、学校学分制下的学科改革探索04学年始，学校实行学分制，面向高一、高二美设学生开设选修课。选修课制度，也给数学学科教学带来了新的探索方式，即通过课堂的教学形式学习不同于教材编排的数学知识是否可行？数学漫游是学年开始开设的选修课，每周一课时，每学期学分。学生高一和高二都有，分为两类：一是学校里为数不多的爱好数学的几名同学；二是其他选修课因人数有限的原因被淘汰下来的一批学生，他们对数学一点不感兴趣，选修数学漫游纯属无奈之举。（二）课程内容的内涵与特征一、好玩的数学 2002年8月在北京举行国际数学家大会期间，数学大师陈省身为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。 国家基础教育的普及使数学教育必然走向“大众数学”。数学在现代社会中的重要性使得数学必须向广大公众传播和普及。但是，人们往往因为各种原因对数学敬而远之，法国大数学家帕斯卡早己指出：“数学这一学科是如此的严肃，我们应当千方百计的把它趣味化”。在学校里，数学往往因为其抽象性是枯燥、繁难的代名词，出现的“差生”中有一大部分是“数学差生”，特别在职高，这个比例就更大。他们讨厌数学，害怕数学。那么，要让他们重新喜欢上数学，就要利用选修课的教材选择的“自由度”，在教材的内容上充分体现数学的趣味性。二、联系专业的数学参加选修课的学生大多是绘画设计专业，根据专业的特点选择相关的数学知识。三、教材知识点的全新学习方式从初中到职高，接触到全新的专业学习，许多学生从初中学习失败的阴影中走出来。然而数学课学习从教材内容安排、上课方式、作业内容到考试分数评价方式等职高和初中或普高基本上没有什么区别，大部分职高生一如既往的学着在他们眼里枯燥无味的定理公式，做着无趣的单纯为了应用概念，公式而编制的“纯数学”习题。数学选修课没有分数的压力，教学上可以“淡化形式，注重本质”，放开课本的形式，但围绕课本要求的数学知识和数学思想方法，以一种全新的方式学习数学。四、文化的数学在普高数学教学中，文科注重数学的工具性和形象性，理科突出数学本质的深刻性和抽象性，那么，职高数学该注重的是什么呢？我认为，应该是数学的文化，数学的思想方法。数学作为人类思维的创造物，是人类文化的重要组成部分。那种认为文化只是“读书识字”，把数学排除在文化之外的观点，是非常错误的。让职高生从数学文化，如数学家的故事，数学的发展过程中的典型事例，来领会数学精神，了解数学思想方法，了解数学和各种学科之间的关联，学会“数学的”思考问题和理解问题。美国的一个专门机构就提出过“在现今这个科技发达的社会里，扫除数学文盲的任务，已经替代了昔日扫除文盲的任务，成为当今教育的主要任务。”大多数职高生，走出职高的校门，就踏上了社会。作做为社会的一分子，他们的数学素养要在学校里得以养成，他们作为当代人，不理解“无理数”，不知道“黄金比”，这不能不说是文化的缺失吧。（三）课程设计的策略与实践一、课程设计的原则1.体现课堂教学讨论式 在选修课中多采用讨论法学习。在每个课堂中教师一般给出4到5个“故事”形式的问题，引导学生进行讨论，随时关注学生的讨论进程，作为讨论的组织者的教师随时把学生中有价值的想法和结果公告于众，比如说：“某某同学想到了这样去做，大家看对不对？”“某某同学已经知道了这一步，被卡住了，谁知道接下去该怎样考虑？”或者在学生的思路有障碍时加以适当的点拨，以保证学生的讨论得以进行。尽量消除教师高高在上进行知识讲解的形式，把选修课的学习主动权通过问题的趣味性、讨论过程的竞争性而交还给学生。如果条件允许，一般利用学校的活动课教室，活动课教室的课桌为圆型桌，四五名学生围坐可自然组成一小组，方便讨论。2体现课程设置专题性 每一节课的几个问题中，除开始的一二个问题是为了尽快吸引学生的注意力讲究趣味性而随机选取外，其他的问题多围绕某一个专题，根据专题内容而选取相关的问题，以故事形式给出，追求“形散而神不散”。3体现课程资源丰富性 选修课因为并没有具体的教材，教师在确定了主题去寻找内容时，除了参考传统的书籍，最有用的还有英特网。比如在上黄金分割专题时，在网上搜索便可得到大量的资源，不过，网上的资源需要教师精心的辨别选取和重新组织。另外，网上的图片资源能较方便的应用在课堂多媒体教学上，让课堂变得生动有趣，激发学生的积极性和参与热情。比如，在上黄金分割时的植物花卉图片，金字塔图片，多伦多电视塔图片等等。另外，还可以用数码照相机把各种参考书上的图片用多媒体变成图片让学生有感性的认识。另一方面，除了教师在备课和上课时运用因特网外，教师也应充分鼓励学生运用网络来学习。比如，在课堂上他们无法解决的问题如：五角星的画法，雪花三角形的周长求法，孙子定理等等，教师可以先鼓励他们去网上寻求答案，再在课堂上加以讲解 。比如，在课堂上欣赏了了画家埃舍尔的画后，可以鼓励学生去图书馆借有关的画册作更深入的了解。4.体现课堂评价表现性选修课有它特有的自由度，这个自由度有时也能成为学生上课自由散漫的理由。除了在上课内容上，上课形式上吸引学生外，必须有一定的评价体系来加以激励。当然，这个评价体系不同于数学课传统的考试评价体系，为了激励学生积极的参与课堂，积极的思考，课程采用的是每一堂课的现时评价。有两部分组成：一是在每节课开始发给学生一张作业纸，学生可以在上面记录感兴趣的知识点，也可以在上面写解决问题的思考过程等等，下课后，教师收回，分ABCD等级加以评价；另一方面是课堂表现的奖励分，比如，在讨论时间谁首先有思路，谁首先得出了结果，便可以得到加分。在学期结束时，结合两部分成绩，根据学校的选修课成绩评定要求加以评定。这样，学生能够在有足够“自由”度的课堂中较好的达到学习的效果。二、课程内容的设置 数学漫游在开设的第一学期，共计十五课时，内容列表如下：课时内容趣味数学课程知识联系专业的数学数学文化第一课时“名人的生日”“草书张的秘密”古算题专题第二课时“直升天堂的门票复活节计算公式”“石匠的密码古算题专题第三课时“灯谜与数学“.古算题专题第四课时“灯谜与数学“数列专题第五课时“灯谜与数学“数列专题第六课时“阿基米德螺线与七律诗“数列专题荷兰艺术家埃舍尔的无限拼图和分形麦比乌斯带介绍第七课时“马大哈的银行密码记忆法”黄金分割专题第八课时“猜年龄“黄金分割专题第九课时“谁最快“黄金分割专题第十课时“葫芦里卖的是什么药“黄金分割专题第十一课时“意外的惊喜“勾股定理专题第十二课时“楼上楼下，电灯电话“勾股定理专题第十三课时“卡片的推理”洛书与幻方第十四课时“海盗分宝石”数的发展史数论知识第十五课时数的发展史丢番图与费马大定理三、教学设计的策略研究1. 恰当处理内容，培养学习兴趣（1）趣味性和新奇性促进学生重塑学习数学的愿望面对陌生的、对数学大都不敢兴趣的、平时在课堂上多自由散漫的学生，如何抓住他们的目光，从而抓住他们的思维呢？如果象平时的数学课堂一样以“今天我们一起来学习”开头，那会是很失败的：没有人会听你讲。所以，上课的第一题往往是讲究趣味性，新奇性。比如第一堂课的第一题美国人写草书的怪招，从学生熟悉的“百家姓“的起源说起，用多媒体把“百家姓”一一打在黑板屏幕上，和学生一起来寻找每一位同学的姓氏所在的位置，学生的兴趣高涨，同时又充满新奇：这和数学有什么关系？这是数学课吗？然后让学生猜想为何一位不会汉语的美国人能熟练的写“张”字的草书（实际上是用阿拉伯数字写三又四分之三而已）。由此来说明数学的通用性。再如运用大家喜闻乐见的字谜，要求学生猜出谜底，并说明和数学的关系如： 1. “千里草，何青青，十日卜，不得生”打一三国人名。（加法，董卓）2. “打一字，加一笔成另一字，再一笔再成一字，加一笔，又成一字，还要加一笔，还要成一字，最后加一笔，仍得一个字。（叠加，口，日，旦，亘，車，和木，术，米，沐,杰）3.“打一字，加一点成另一字；加两点，又成别一字；加三点又成另一字；加四点，又得一个字。4 “左看三十一，右看一十三，合起来是多少？”打一字。(对称,非)5. “一字十一笔，无横也无直”（ 特殊形状，淡）6. “”打一字。（逆推，置）7. “夜间有，白天无；梦里有，醒来没；死了有，活着没，多则有两个，少则没一个。”打一字。（交集，夕）（2）低起点消除学生对进一步学习数学的障碍学生的数学基础大多很弱，涉及到初中的开方、二次方程（组）、平面几何证明就没有什么把握。为了在开课初期消除他们的障碍，在选取的数学题目中，除了趣味性，还得注意涉及到的数学知识必须是大部分同学能够应用的。如果不是他们熟悉的，就在课堂上加以讲解。降低数学知识的起点消除他们进一步学习数学的障碍。比如：直升天堂的门票这一题介绍西方的复活节的日期的计算方法：每年过春分月圆后的第一个星期天为复活节。如何计算复活节的日期成为难题，大数学家高斯的解法也很复杂。然而有人找到了用加减乘除得出到年间复活节日期的计算公式。年份1900AN19得到的余数；QN/4得到的商数B（7A1）19得到的商数；M（11A4B）29得到的余数；W（NQ31M）7得到的余数；X25MW；正数结果为4月x日 ，负数结果为3月（31x）日。试计算今年的复活节日期。每个人只要细心、耐心，会加减乘除四则算，知道商数和余数的概念都能算出正确日期。在课堂上，不少的同学在打听什么是商数，什么是余数，这对放弃数学很久的他们来说是很难得的，这也比教师用数学语言在普通的数学课堂上想教他们“商数”， “余数”的概念要有效和轻松的多。（3）关注个体提高学生对数学活动的参与度关注每一个个体，一般来说是指教师上课时的课堂教学行为。其实，在教学内容上关注每一个个体，是指从学生的心理共性出发，所提的问题，每个人根据自身的特点应该有不同的回应。例1：在屏幕上，打出百家姓，每一位同学都会去寻找自己的姓，这比一开始就拿出“张”姓要能提高参与度。例2：名人的生日：有人发表了一项研究成果：经统计名人的生日都与数字有神秘的关系。如华盛顿出生在年月日，写为，任意的重新排列为另一数，如，计算它们的差为，各个数字之和为，再把各个数字相加得；请验证你知道的名人的生日，是否具有这个性质？你的生日呢？你是否具有成为名人的潜质？ 等学生积极的拿起笔算自己的生日算出每个人都是未来的名人后，再问：怎样用数学来说明这个用数学包装的欺人之谈呢？2.保持学科特征，密切联系专业我校是以设计专业为主的职业学校，设计和数学最密切和直接的联系在于几何图形。教学案例：黄金分割比绘画艺术和设计理论上用的最多的“黄金分割比”，在和专业教师交流后，知道学生对此基本上是一无所知，于是在选修课上准备了黄金分割的专题，受到了专业教师和学生的的一致好评。以下是专题的内容流程；（1）用多媒体显示各种花卉图片。（2）用多媒体显示各种建筑的图片。如：金字塔，巴比特神庙，法国多伦多电视塔。（3）用多媒体显示名画蒙娜丽莎。（4）介绍菲波那契数列（兔子数列）1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， （5） 问题：以上各项内容都和哪一个数学概念有关？给出黄金分割比的定义，根据定义用方程求出黄金比率为1.618（或0.618）即：并说明以上各项内容和黄金比的关系：菲波那契数列的相邻两项之比趋向于黄金比；自然界花卉的花瓣数一般多是菲波那契数列中的数字；金字塔的地面正方形的边长和高度之比是个黄金比；巴比特神庙的外立面是一个长和宽为黄金比的长方形；法国多伦多电视塔的工作室建造在其黄金分割点上。（6）黄金分割点的寻找。（7） 黄金矩形 （8） 黄金三角形（9）.五角星中的黄金比。美就是恰当美是一种恰到好处的协调和适中（10）植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金比。这是为什么呢？莫非是上帝的安排？“黄金椭圆”离心率的平方为何是黄金比？“黄金双曲线”是怎样的？你能证明黄金三角形的顶角（或底角）是36o吗？你能说出画五角星的原理吗？能否再想出其它的画法？（11）你能找出生活中的应用黄金比的例子吗？你能把黄金比应用到你的设计作业中去吗？在杭州城的建筑里你能发现黄金比吗？（12）我们常见的杂志为何不是黄金矩形？常用的A4纸的长宽分别是多少？是黄金比吗？（它们的比率是，常称为矩形，对折后的矩形和原矩形相似）（13）给你一张普通矩形的纸，你能不用尺规把它折成黄金矩形吗？另外，在当代的绘画艺术表现形式中，表现数学思想，利用数学原理和研究成果的艺术作品越来越多，而且使人震撼。作为数学漫游的课程，可以向学生介绍其中得一些经典作品，并适当的从数学角度加以一定得解释。例如：荷兰艺术家埃舍尔对无限拼图和分形的探索而创造的杰作；麦比乌斯带等。 3.淡化教材形式，注重思想实质 有个故事说的是某重高的学生考上大学放假回母校看望老师，老师给他们做了一张以往的练习卷，结果，曾经的高材生竟然大都不及格。学生们都不免不好意思，老师说：“你们忘掉的不过是一些死的知识，有什么值得难为情的呢？那些你们忘不掉的，深入融进了你们的思维里的东西才是最重要的。”那么，没有高考压力的职高生没有必要去为了考试分数去记一些肯定要“死”的公式，对他们来说，掌握和了解教材知识中蕴含的数学思想方法是最重要的。这样，怎样展现数学思想方法让学生乐于接受成为教师关注的重点。对职高生来说，给知识以故事的外衣，用比较轻松的方式展现数学思维过程，是他们比较容易接受的。教学案例：对于数列这一专题里 ，在选修课里安排了以下7个故事形式的问题：1.组成三角形的火柴数目。用火柴拼一个三角形需3根火柴，两个三角形需要5根，那么十个三角形需要几根呢？n个三角形呢？（，数列的通项公式，等差数列的通项公式）2. 菲波那契数列（兔子数列）。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后一对兔子可以繁殖为多少对兔子？每个月的兔子数构成的数列就是著名的斐波那契数列。1）请你写出数列的前十二项。（1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144）2）写出数列的规律（数列的递推公式 ）。3）自然界中也有着斐波那契数列，比如一些树枝的分叉，和兔子一样，新树枝在隔一年后会分叉出一条新树枝。请画出这样的一棵树，使它的分叉是斐波那契数列。3.国际象棋的发明者。国王很喜欢象棋，打算给象棋发明者厚赏。国王：说吧，你要什么赏赐？发明者：请用麦粒填满象棋的格子，第一格填一颗；第二格填两颗；第三格填四颗；以后每一格的麦粒数是上一格的2倍；把这些麦粒赏给我就感激不尽了。请你写出各个格子里的麦粒的颗数，写出它的规律？如果设一斤麦粒大概有2000颗麦粒，你能估算出最后一格大概有几斤麦粒？一共又有多少粒呢？（1，2，4，8，16，；等比数列通项公式；由等比数列求和公式得）263=23260=8（210）6=8（1024）68101（颗）8=81018/2000(斤)=41015=4千万斤4.大数学家高斯小时候的故事。（？等差数列的求和公式。）5.是否跳槽？ A 公司职员工资每半年2000美元；每半年提薪100美元；B 公司职员工资每年4000美元；每年加薪400美元；可是没有人从A 公司跳到B 公司。这是为何呢？（等差数列的求和公式应用）6.雪花三角形。（分形）如图，观察雪花的形成过程，假设三角形的边长为1，那么每一次分形后得到的图形的周长组成的数列有什么规律？能写出其通项公式吗？有最大值吗？面积呢？（涉及等比数列的求和公式，和极限的概念。有限的面积里有无限的周长。）7.语言数列。有一各数列：，你能找出它的规律吗？简要分析：以上7个问题涉及了教材里的有关数列的全部知识：通项公式，递推公式，等差数列（求和），等比数列（求和.）。在选修课的学生中，高一的学生刚好正开始在学习数列这一章，和他们的数学教师交流，发现他们在数学课上学习的积极性有明显得提高。4.落实数学美育，融合数学历史在日本小学四年级的数学课本有“曹冲称象”的故事；在德国，把中国的“河图洛书”“三阶幻方”放在显要位置。我们的教科书中，数学史的内容非常少（现在有所增加），而且因为应试教育的影响，教师也不注意教。同样，由于应试教育的影响，数学美的欣赏也停留在理论上。在职高，由于没有考试的压力，反而可以有时间和精力去实践。在数学漫游的课程内容中有很大一部分得比例是有关数学史上得一些我们学生能够欣赏和理解的数学经典。教学案例1：勾股定理专题，介绍勾股定理经典的证法：1.三国时，赵君卿证法2. 美国20任总统伽菲尔德证法3. 公元3世纪刘徽割补证法4. 12世纪印度什伽罗的证法5达芬奇的证法教学案例2：幻方专题1.河图和洛书：天数二十五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。 九宫2946587132.四阶幻方；16世纪德国画家丢勒的铜版画“忧郁”163213510118967124151413.印度太苏神庙历碑上的幻方712114213811163105961544.反幻方：每一行，每一列，每一对角线上的数字之和不等123894765教学案例3：古算题专题.数学诗（中国）1.李白醉酒。李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。试问壶中原有酒几斗？2.民间数学诗。三百六十一只缸，任君分作几船装。不许一船多一只，不容一船少一缸。三百七十八里关，初行健步不为难。脚痛每日减一半，六天才能到其关。要问每天行里数，请君仔细算周详3.百羊问题甲赶羊群逐草茂， 乙 赶 一羊随其后，戏问甲及一百否？ 甲云所说无差谬，若得这般一群凑， 又添半群小半群，得你一只来方凑， 玄机奥妙谁猜透。4.孙子定理今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二， 问物几何？三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知5.韩信点兵有兵一列，五五数之，余1，六六数之，余五，七七数之，余四，十一数之，余十，求兵数。1875年，此算法传入欧洲，比高斯算法早一千多年。6.数学家的年龄19世纪的英国数学家德摩根在有人问他年龄时回答说：“到了x2年，我x岁。”他当时多少岁丢番图：古希腊数学家，算术童年时代占了六分之一；又过了十二 分之一开始长胡子；再过七分之一结婚；婚后5年生了个孩子；孩子只活到父亲的一半年纪；孩子死后4年，父亲也去世了这些题，学生能够在教师得指导下理解题意，用他们学过的初等数学得知识去解决。还有数的发展史专题，理解零，负数，分数，无理数、虚数的概念形成和数的进位制等。数论专题，介绍素数，亲和数，水仙花数等，哥德巴赫猜想；介绍孙子定理，费马大定理。只要把握了适当的度，学生基本上能够接受。数学，是人类文明的重要组成部分，数学素养是人文素养的不可或缺的部分。这些人类文明史上光辉的成果，不必一定要懂得，知道和了解也是文明的传承。 （四）小结及引发的思考一、课程内容反思因为课时有限，有些内容只是让学生欣赏为主，没有能很好的展开。如果能增加课时，则一方面可以比较系统的讲解和补充更多的内容 ，一方面可以让学生更深入的思考和讨论。比如可以讲讲数学的三次危机，经典的逻辑推理题；数学悖论包括逻辑学悖论、博奕论悖论、统计学悖论、概率学悖论等等学生能理解和感兴趣的悖论。走出职高数学书本的束缚，有很多精彩的内容可以做为教学的内容。二、课程教学反思1. 走出“应试教育”的职高数学教学除了上课知识内容少一点，回家作业少一点，试卷难度浅一点，职高的数学教学和普高没有多大的差别。评价一位职高生的数学学习，还是考试。试卷难度不断降低，降到只直接应用公式，数学学习变得更枯燥，更不能激发学生的他们的学习愿望。然而，在没有升学压力的职高，学生的大部分毕业后走上了工作岗位，他们没有必要和普高生一样，要通过大量的习题来达到升学的要求，职高数学教学可以完全的走出“应试教育”，有自己的特色和精彩。2. 有职高特色的数学教学设想笔者认为职高数学教学走出了应试的束缚，在促进学生的发展、提高学生的素养上有以下几方面的努力方向。1） 用数学文化感染学生数学文化包括了数学史的讲述，也包括数学趣题的欣赏，但不仅仅如此。伽利略说：“世界这本书是用数学语言写成的”。作为一个现代人，在思考问题的时候是否关注它的数量，是常量还是变量？喜欢用图形来描述一件事物吗？在别人叙述理由的时候，是否会察觉到理由的是否充分或必要？碰到一件随机事件时，是否会想想概率是多少？等等，这些都是一个人数学素养高低、受数学文化感染多少的表现。在职高的数学课堂上，我们应该以为本，把数学所承载的人文价值、文化现象，以各种方式呈现给学生，使他们获得数学文化的熏陶，为形成健全的人格提供必要的数学修养。2） 用“数学美”陶冶学生职高的学生虽然数学基础较差，但他们不缺少感受“美”的能力。关键在与教师根据他们的知识水平对“数学美”加以阐述。比如有学生认为，作为教师是觉得学生数学差到无可救药呢？还是从中察觉到学生正是应用了数学中的“和谐美”的观点而得出的错误呢？从而从这个美观的错误等式引导学生追求数学的正确的“美好”。在数学漫游的课堂中，学生对高斯的“首尾相加”法的巧思，对“勾股定理”、“不是无理数”、“素数有无数多个”等蕴含着数学美的许多巧妙简洁的证明，都表现出了极大的兴趣和赞叹。3） 联系学生专业的数