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分院名称:数学学院学生学号:0707140232长春师范学院本科毕业论文(设计)(理工类)题 目: 几种常见的数学物理模型及解法 专 业: 数学与应用数学 作 者 姓 名: 黄德军 指导教师姓名: 王忠强 指导教师职称: 讲师 2010年 5 月长春师范学院本科毕业论文(设计)指导教师承诺保证书本人郑重承诺:本篇毕业论文(设计)的内容真实、可靠。如果存在弄虚作假、抄袭的情况,本人愿承担全部责任。论文作者签名: 日期: 年 月 日长春师范学院本科毕业论文(设计)指导教师承诺保证书本人郑重承诺:我已按有关规定对本篇毕业论文(设计)的选题与内容进行指导和审核,坚持一人一题制,确认由作者独立完成。如果存在学风问题,本人愿意承担指导教师的相关责任。指导教师签名:日期: 年 月 日目录承诺保证书2中文摘要4第一章 数学物理模型简介4第二章 两种常见的数学物理模型分析621赛跑最优速度模型简介62.1.1问题叙述与模型建立62,1,2最优距离与最优时间722水温变化的控制数学物理模102.2.1问题的提出102.2.2基本假设112.2.3模型建立122.2.4模型求解分析与验证13第三章 总结14参考文献15几种常见的数学物理模型及解法摘要:在现实生活中有很多技术都是利用数学模型与物理模型来解决的,而这两种模型之间不存在很明确的界限,他们有着非常紧密的联系。通常都是数学模型中透露着物理,物理模型中透露着数学。本文中将对数学物理模型进行简要的分析,简述其按照多种方面分类。然后具体举例让大家感受到数学物理模型在生活中的应用。首先是赛跑最优速度模型,先是通过对人体4个生理参数和风力的分析,由牛顿第二定律建立了赛跑的最优速度模型与能量消耗模型;再利用微分方程的解曲线与最优控制方法,结合普通极值与泛函极值方法,给出时间一定情况下的最大距离,以及赛跑距离一定情况下的最小时间,并利用最小二乘法对若干生理参数进行拟合估计;最后以某高校40多年男子赛跑成绩为依据进行模型检验,找出理论值与实际纪录值的相对误差,从而为提高赛跑成绩提供了科学依据。其次是采用从简单到复杂和从特殊到一般的数学思想,依次对静止型温泉池、流动型温泉池进行探讨,根据能量守恒原理建立了三个控制温泉水温变化的微分方程模型.利用MATLAB软件分别对模型求解,对结果进行分析讨论,得出的结论与实地考察的结果相吻合。这为提高温泉能源利用率和温泉服务质量提供了理论依据和实际操作方法。关键词:数学物理模型 最优速度 水温变化 控制数学物理模型第一章 数学物理模型简介数学和物理都是历史悠久的自然学科,数学和物理科学作为自然科学的重要分支,不仅对物质文明的进步和人类对自然界认识的深化起了重要的推动作用,而且对人类的思维发展也产生了不可或缺的影响。从亚里士多德时代的自然哲学,到牛顿时代的经典力学,直至现代物理中的相对论和量子力学等,都是物理学家科学素质、科学精神以及科学思维的有形体现。随着科技的发展,社会的进步,物理已渗入到人类生活的各个领域。到了现代科学家们把数学和物理都抽象化,把无形的物质变成有型的来让人们更清楚的了解模型。数学有数学的模型,物理有物理的模型,他们之间联系的非常紧密,可以说数学模型中透露着物理,物理模型中透露着数学。那么什么是数学模型什么是物理模型什么又是数学物理模型呢?数学模型是指将现实问题归结为相应的数学问题,并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究,从而从定性或定量的角度来刻画实际问题,并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。一句话, 就是把实际问题抽象成数学问题, 并分析解答。分类要有分类的标准,比如按实际问题所在的领域分类,可有:医学数学模型、气象学数学模型、经济学数学模型、社会学数学模型等等。要是按所用到的数学学科来分类,可有几何模型、方程模型、图论模型、泛函模型等等。分类其实五花八门,方程是一个数学概念, 如果你的实际问题建立了方程,你的模型可以称为一个方程模型。物理模型就是用物理学的概念和理论来描述抽象现实问题,特点是舍弃次要因素,抓住主要因素,从而突出客观事物的本质特征,这就叫构建物理模型。构建物理模型是一种研究问题的科学的思维方法。物理模型一般大体可分三类:物质模型、状态模型、过程模型。数学物理模型就是一个模型中既涉及到物理又应用到数学,可以说是一个物理模型应用到数学方程来解决,数学和物理的联系很紧密, 很多模型你不能单纯地说是物理还是数学模型.当然数学模型更纯粹和抽象。自然科学的研究一般思路可以说是先建立物理模型, 再抽象成数学模型, 再由解算结果反过来反映物理意义, 进而得出实际意义,那么我们把这种模型就叫数学物理模型。那么常见的数学物理模型都有什么呢?例如:质点的受力分析模型、弹簧振子的振动模型、单摆问题的摆动模型、信息传递的模型、粒子在场中的运动模型、匀变速直线运动解决最优化问题模型、自由落体及抛体运动的曲线模型、水温控制和人口控制的控制模型等等。所以说数学物理模型在生活中都是非常常见的。那么我们如何对数学物理模型进行分析和解答呢?以下章节将举例为大家具体讲解数学物理模型。第二章 两种常见的数学物理模型分析在前一章中我们对数学物理模型有了简单的理解,在本章中我将举例对模型的建立及解法进行详细的分析。 2.1 赛跑最优速度模型简介运用现代数学方法研究体育运动始于20世纪70年代.Keller1首先建立了运动员赛跑模型,将其理论用于运动员中长跑训练取得了优异的成绩。同时,美国计算机专家Ails以力学、数学、计算机为工具对铁饼投掷技术进行研究,提出了新的投掷技术与改进后的训练措施,使运动员在很短的时间内取得了辉煌成绩。因此,现代训练技术将有助于运动员快速提高比赛成绩。 本文通过对人体的4个生理参数(最大冲力F,体内外的阻力系数,由氧气的新陈代谢作用提供能量的速度,体内储存能量的初始值E0)和风力w进行分析,建立了最优速度的赛跑模型与能量消耗模型。并利用微分方程的积分曲线与最优控制方法,结合普通极值与泛函极值的Lagrange乘子法,分别给出在时间T和赛跑距离D一定情况下的最大距离DMAX及最小时间TMIN,利用最小二乘法对若干生理参数进行拟合估计。将烟台师范学院40多年的男子赛跑成绩作为模型检验的依据,找出理论值与实际纪录值的相对误差,从而为提高赛跑成绩提供科学依据。2.1.1 问题叙述与模型建立提高赛跑成绩的关键是最优速度分配问题.Keller根据人体的4个生理参数对此建立了简单模型,该模型可确定最优速度,并预报未来的比赛成绩。但由于大多数田赛都是在室外进行的,比赛成绩往往会受风力的影响。目前已有的数学模型27,大都未考虑风力对赛跑的影响。本文在考虑4个生理参数和风力影响的情况下,建立了全新的最优速度模型和能量消耗模型,并将其应用于实际赛跑。 1)模型假设假设1 比赛距离为D,运动员所跑时间为T,速度为v(t); 假设2 比赛时风力w与速度v成正比,比例系数为1/; 假设3 赛跑时体内阻力和体外的空气阻力r与速度v(t)成正比,比例系数为1/。2)模型建立 由积分学理论知,比赛距离为 D= (1)这两个问题是等价的。为简单起见,本文只研究后者。 速度v(t)受运动员的体力和赛跑时阻力的制约,设运动员的冲力为f(t),考虑到模型假设2和假设3,由Newton第二定律得ma+r+w=f,即 (2) 其中:1/与1/分别为适当的阻力系数(这里是对单位质量而言,下同)。a为加速度,m为运动员的质量。因为冲力f(t)(由血液对肌肉的供氧、肌肉的收缩及身体的上下运动等提供)是由运动员自身控制的,所以问题可转化为寻找f(t)的最优控制策略,即当T一定时,D达到最大。f(t)一般受两个因素影响:一是运动员自身所能发挥的最大冲力F,有 (3) 二是单位时间内所需要的能量(即体能的消耗速度)fv,其中f为运动员的冲力,v为速度,该能量是由身体提供的等价氧气决定的。 记E(t)为身体肌肉内储存的氧气与等价的能量,为单位时间内提供的与氧气等价的能量。由于与fv之差为E(t)的变化率,则有 (4) 这里E0为体内储存能量的初始值。于是问题可归结为:假设已知4个生理参数F,E0和外界参数,求满足式(2) (4)的v(t),使得当T为定值时,由式(1)确定的距离D最大。该问题有3个未知函数v(t),E(t)和f(t),不能从两个微分方程中解得,所以在模型求解过程中需要作一些假设。2.1.2 最优距离与最优时间 根据赛跑的特点,可将上述问题的3个阶段分为4种情形。在赛跑的初段以f(t)作为控制量,选定f(t),求其他函数,赛跑的终段以E(t)为控制量,在赛跑的中段可分为顺风与逆风两种情形。下面分别进行讨论。1)赛跑初段 赛跑初段是指时间t阶段,0tT1(T1待)。欲使v(t)迅速增加,此时应以最大冲力F加速跑,即令F=f(t)。将其代入式(2),得 (5)这是一阶线性微分方程的Cauchy问题,其解为v(t)=(1-e),,0 (6)将式(6)代入式(4),得, (7)其解为E(t)=E+()t+()(1- e). (8)式中应有0,否则当t时,E(t)。而实际中运动员的能量是有限的,显然该结论错误。设T为方程E(t) = 0的解,表示冲刺不得超过的时间。若TTt,则运动员在赛跑全程均以最大冲力F赛跑,仍符合条件E(t)0。此时整个赛跑可看作只有冲刺阶段,即令T1=T,则最优速度即为式(6)中的v(t),从而有E(t)=E+-() (9)当4个生理参数和风力给定后,可得冲刺距离D=F()e+T()-1 (10)因此当赛程不超过D (即短跑)时,其最优策略是用最大冲力跑,最优速度即为式(6);当赛程超过D(即中长跑)时,则tT,但由于冲刺时间只能小于T,需要确定一个时刻T,当0tT时,用最大冲力跑。2)赛跑终段 赛跑终段是指时间t阶段,Tt T(T待定)。该阶段运动员应将体内储存的能量全部耗尽,以最大速度得到惯性冲刺,于是可令E(t)=0, TtT. (11)将式(2)代入式(4),得 (12)由式(11)可知E(t) = 0,故由式(12)可得Cauchy初值问题 (13)其解为v(t)=v(T)-e+,TTT. (14)因此,只要求出v(T2),便可知终段的最优速度值。3)赛跑中段 赛跑中段是指满足TtT的时间t阶段。由式(1),(6)和(14)知,赛跑全程的距离为D(v(t)=+. (15)这里v(t)应满足E(T) = 0。由式(12)解出E(t)=E+-(). (16)令t=T,在时间区间0tT内将式(6)代入式(16),可得E(T)=E+-()t-(). (17)因此转化为求条件极值问题,即在条件(17)下求速度v(t),使泛函(15)达到极值。现用Lagrange乘子法求解,作Lagrange泛函Lv(t)=D(v(t)+E(T).得 (18)Lv(t)=+-. (19)式(19)右端第1个积分项依赖于v(t),满足Euler方程(即泛函极值的必要条件);第2、3项只依赖于v(T2),用普通的微分求极值方法可求得其解为 (20)v()=,TTT. 并有 (21)(+-)=0(22)其解为 2+= (23)式(21)表明,在中段TtT,最优速度是与体内外阻力参数,风力参数有关的常数。一般风力不是常数,在顺风时风力参数为负数,而最优速度为常数,所以可减少用力;在逆风时风力参数为正数,应相应加大用力。22 水温变化的控制数学物理模型2.2.1问题的提出随着社会发展步伐的加快,物质生活的不断提高,温泉享受已经慢慢走入现代人,的生活。提高温泉能源利用率和温泉服务质量是温泉公司生存的根本,对此进行研究和探讨有着重要的实际意义。2.2.2基本假设(1)温泉池的各壁均由同一种材料构成水泥混泥土.。(2)温泉池的外界环境温度均相同。 (3)本文提到的各种水均慢速流动,不考虑它们的动能转化为热能。(4)不同温度的水在混合过程中不考虑热能的损失。(5)不考虑温泉池中水的蒸发。(6)不考虑进入或流出温泉池的水由于进出口高度的不同而产生的势能转化为能。(7)不考虑天气和其它不稳定因素对温泉水温变化的影响.(如下雨等)。(8)对于进入温泉池中的每一个人,对温泉水温变化的影响是相同的。表1 符号说明符号 含义 量纲符号 含义 量纲m 初始池中水的质量 kgc 水的比热 J/(kg*k)f 温泉进入池的流量 m/s f 冷水进入池的流量 m/s f 池中的水排除的流量 m/s 水的比重 kg/ mH 池壁水泥板的散热系数 w/ mk S 池壁的表面积 mS 池上表面的面积 m 池壁水泥板的热传导系数 w/mk 波尔兹曼常熟 池壁水泥板的辐射系数 w/ mkT t时刻水的温度 KH 水的散热系数 w/ mk 水的辐射系数 w/ mkT 温泉进入前的温度 KT 冷水进入前的温度 KT 外界环境的温度 KT 池壁表面的温度 KD 池壁水泥板的厚度 mW 单位时间里因水的热传 导而损失的热能值 JV 初始池中的水量 mV 池水量的最小允许值 mV 池水量的最大允许值 mN 温泉中的人数 单位时间内池中每个人对 温泉水温变化的影响系数 w/m2.2.3 模型建立3. 1静止型温泉池如图1,静止型温泉池,指的是一旦池中的水放好,人进入以后就没有进出水的温泉池。显然,池中水的热能与外界通过热传导、对流和辐射交换能量,所以根据热能平衡有:池中水的热能变化=-池中水的热能损失,易得模型:注:等式左边是池中水的热能瞬时变化;;右边第一项是池壁外层与外界因对流产生的热能损失;第二项是池壁与外界因热传导导致的热能损失;第三项是池壁外层辐射到外界的热能损失;第四项是池水上表面与外界因对流产生的热能损失;第五项是通过池上表面辐射到外界的热能损失;第六项是池水上表面与外界因热传导导致的热能损失;第七项是因池中的人对温泉水温变化的影响而损失的热能。对于池壁而言,因对流和辐射产生的热能损失远远比通过池壁热传导产生的热能损失要小,可将它们忽略。同理,对于池水上表面而言,因热传导和辐射产生的热能损耗远远比通过对流产生的热能损失要小,可将它们忽略。因此,可将上述模型简化后得到:模型I3. 2流动型温泉池流动型温泉池,指的是在整个过程中都有进出水的温泉池.以下分两种情况来讨论:(1)进出水量相等的温泉池进出水量相等的温泉池指的是在整个泡温泉的过程中,进入温泉池的水量和同时排出池的水量总是相等。管1是温泉进口,管2是冷水进口,管3是排除口,通过对管1、2流量等因素的控制使池中的温度基本上保持不变,显然,池中水的热能与外界将通过热传导、对流和辐射交换能量,所以根据热能平衡有:池中能量的变化=温泉进入释放的热能-冷水进入吸收的热能-池中热能的损失。注:温泉进入池中释放的热能是指在一定时间内进入池中的温泉所带进的热量与同时在这段时间里排出池的水所带走的热能之差。冷水进入池中吸收的热能是指在一定时间内排出池的水所带走的热量与同时在这段时间里进入池中的冷水所带进的热能之差。在这种情况下,池中的水是一直不变的。通过以上分析易得模型:注:右边第一项是温泉进入池中释放的热量与同时排出池的水所带走的热能之差,第二项是冷水进入池中吸收的热能与同时排出池的水所带走的热能之差(其他项同上)。(2)进出水量不等的温泉池进出水量不等的温泉池指的是,在整个过程中,进入温泉池的水量和同时排出池的水量不一定相等。同理,易得模型:注:右边第一项是温泉进入池中释放的热量,第二项是冷水进入池中吸收的热能,第三项是同时排出池的水所带走的热能(其他项同上)。但此时温泉池中的水会出现两种现实当中不允许的极端情况:(1) 池中的水小于允许的最少水量; (2)池中的水高于允许的最大水量。将上述模型修改为模型:2.2.4模型的求解分析与验证利用MATLAB软件可对模型进行求解分析与验证,这里仅以模型为例。4. 1模型的求解利用MATLAB软件对模型进行求解得:T=其中,In(4. 2模型的分析与验证利用MATLAB对模型的解进行处理易得下表:表2温泉水温对各参量的求导情况参数 求导情况由表2可得(以下指的什么越什么,什么就越什么,均指其他条件不变为前提的,以下不再说明):人越多,水温变小的速率越快;水泥板越厚,水温越不容易冷却;池的表面积越大,冷却越快;侧面越大,冷却也越快;温泉的温度越高,水温变高的速率越快;冷水的温度越低,水温冷却的速率越快;外界温度越大,水温越不容易冷却。以上结论与考察的情况也是相吻合的。第三章 总结利用模型、可以对温泉水温变化进行控制,使水温一直保持在允许范围之内,特别是保持在理想的水温状态,为广大顾客提供优质的水温服务;同时为温泉公司自动控制水温变化提供理论依据和实际操作方法。这里采用的处理方法和思想都具有普遍性,所以建立的温泉水温变化控制数学模型对与之相似或相关的水温变化问题都适用。比如空调房室温变化问题,与温泉水温变化问题情况相似,只要把温泉池的情况稍微处理即可。 本文首先运用牛顿第二定律,通过对人体4个生理参数和风力w的分析,建立了最优速度的赛跑模型和能量消耗模型;然后利用微分方程的解曲线及最优控制方法,结合普通极值与泛函极值的Lagrange乘子法,给出T一定时的D及D一定时的T;最后对模型进行检验,找出了理论成绩与实际比赛成绩的相对误差,从而为提高赛跑成绩提供了科学的训练依据。数学作为物理学最根本的工具,为物理学的发展作出了极大的贡献。作为解决时空与物质运动问题的学科,物理学和其中纷繁复杂的问题从提出、抽象、分析、归纳、应用等环节都必须数学的参与,并且可以创造极大的应用价值。 物理问题的提出很大程度上来源于人对生活经验的观察、总结和推理,尤其是物理中较基础的部分。观察总结的能力看似与数学无关,但数学研究本身就需要观察数学现象、总结数学规律;物理上的观察总结又与数学上的相互作用、相互促进。而推理正是数学能
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