《高等数学（一）》教学大纲.docx

高等数学（一）教学大纲学 分：10.0学 时：160 适用专业：机械系、计算机系各本科专业，信息管理与信息系统、应用物理、土木工程、安全工程、给水排水工程等本科专业教 材：高等数学；同济大学数学教研室编；高等教育出版社；第五版（获奖教材）开课系部：信息科学系撰 写 人：黄清龙、吴春青审 定 人：赵志新 批准人：石澄贤 一、课程性质与目的：高等数学课程是本科各专业学生的一门必修重要基础课，通过本课程的学习，使学生获得高等数学中的基本概念、基本理论和基本运算技能，逐步培养抽象思维推理、逻辑推理能力和空间想象能力及自学能力，为后续课程打下坚实的基础。二、课程的基本内容及要求：（一）函数、极限、连续1理解函数的概念。2了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。3理解复合函数的概念，了解反函数的概念。4掌握基本初等函数的性质及其图形。5会建立简单实际问题中的函数关系式。6理解极限的概念（对极限的定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求或不作过高要求）。7掌握极限四则运算法则。8了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。9了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。10理解函数在一点连续的概念。11了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。12了解初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。（二）一元函数微分学1理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。2会用导数描述一些物理量。3掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。4了解高阶导数的概念。5掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。6会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。7理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrage）定理。8了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。9理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值方法。10会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）；会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。11会用洛必达（LHospital）法则求不定式的极限。12*了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。（三）一元函数积分学1理解不定积分和定积分的概念与性质。2掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。3会求简单的有理函数的积分。4理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）公式。5了解广义积分的概念。6掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法。（四）向量代数与空间解析几何1理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平等的条件。3掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。4掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。5理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。6了解空间曲线的参数方程和一般方程。7了解曲面的交线在坐标平面上的投影。（五）多元函数微分学1理解多元函数概念。2了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。3理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。4了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。5掌握复合函数一阶偏导数求法，会求复合函数的二阶偏导数。6会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。7了解曲线的切线和法平面的曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。8理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。（六）多元函数积分学1理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。2掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。3理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及关系。4会计算两类曲线积分。5掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。6了解两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）、*斯托克斯公式并会计算两类曲面积分。7*了解散度、旋度的概念及其计算方法。8会用各种积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。（七）无穷级数1理解无穷级数收敛、发散以及和概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数和P-级数的收敛性。3了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。5了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10会利用的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。11了解幂级数在近似计算上的简单应用。12*了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在和上的函数展为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦函数。（八）常微分方程1了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。2掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。3会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。4会用降阶法解下列方程：。5理解二阶线性微分方程解的结构。6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。7会求自由项形如的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。8会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 注：*为选讲内容三、授课主要内容和学时安排：章 节讲 课实 验上 机第一章 函数、极限、连续14第二章 一元函数微分学10第三章 中值定理，导数的应用14第四章 不定积分10第五章 定积分10第六章 定积分的应用6第七章 向量代数与空间解析几何14第八章 多元函数微分学18第九章 重积分16第十章 曲线积分与曲面积分16第十一章 级数 16第十二章 微分方程16四、推荐参考书目：1