《线性代数方法》doc版.doc

螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芄蒃蒁袇芄芃螇螃芃莅蕿肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿荿莂薆肈莈蒄螁羄莈薇薄羀莇莆袀袆羃葿蚃螂羂薁袈肀羂芀蚁羆羁莃袆袂肀蒅虿螈聿薇蒂肇肈芇蚇肃肇葿蒀罿肆薂螆袅肆芁蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆膃薈螂袂膂芈薅螇膁莀螁蚃膀薃薃肂膀节衿羈腿莄蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芄蒃蒁袇芄芃螇螃芃莅蕿肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿荿莂薆肈莈蒄螁羄莈薇薄羀莇莆袀袆羃葿蚃螂羂薁袈肀羂芀蚁羆羁莃袆袂肀蒅虿螈聿薇蒂肇肈芇蚇肃肇葿蒀罿肆薂螆袅肆芁蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆膃薈螂袂膂芈薅螇膁莀螁蚃膀薃薃肂膀节衿羈腿莄蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芄蒃蒁袇芄芃螇螃芃莅蕿肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿荿莂薆肈莈蒄螁羄莈薇薄羀莇莆袀袆羃葿蚃螂羂薁袈肀羂芀蚁羆羁莃袆袂肀蒅虿螈聿薇蒂肇肈芇蚇肃肇葿蒀罿肆薂螆袅肆芁蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆膃薈螂袂膂芈薅螇膁莀螁蚃膀薃薃肂膀节衿羈腿莄蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芄蒃蒁袇芄芃螇螃芃莅蕿肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀 实验 4 线性代数方法本实验的目的是：利用MATLAB软件的可视化功能，形象表达线性代数方法的几个基本概念和常用方法的内涵。线性方程组及其解的几何含义，矩阵的特征根和特征向量的形象表示，矩阵作用的形象表达，实二次型标准化的形象表达。4.1. 向量、直线和平面4.1.0. 向量和直线例1 向量是线性代数和几何最基本的概念之一。在几何中的向量一般是自由向量，而线性代数中的向量是定点向量。简单言之，自由向量一般有一个起点和一个终点，而定点向量的起点是固定的，即原点，终点不同就决定了不同的定点向量。直线是有一个向量的一切伸缩倍数生成的，也可以看成平面的交线。4.1.0.0. 向量在右图中，三个从原点出发的向量都是定点向量，而起点在A向量的终点，终点在B向量的终点的向量就是一个自由向量，与这个自由向量对应的唯一一个定点向量就是粗体大写字母C表示的起点在原点的向量。利用向量这个概念，平面上的一条直线可以有如下的向量方程形式：其中r是直线上任意一点对应的定点向量。具体实例是，平面直线：的向量方程是：它的直观表示的MATLAB代码是：（MATLAB文件名是ran4_1_0_0.m）clearx=-10:0.5:10;y=(15-3*x)/2;plot(x,y)axis(axis);%axis offhold onHl_line=plot(0,0);set(Hl_line,LineWidth,6,Color,0 0 0);text(0,0, Origin(0,0) )pauseHl_line=plot(0 x(11),0 y(11);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0);Hl_line=plot(x(11),y(11);set(Hl_line,LineWidth,6,Color,0 0 0);text(-5,15, Vecter(-5,15) )pauseHl_line=plot(x(11) x(31),y(11) y(31);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,1 0 0);Hl_line=plot(x(31),y(31);set(Hl_line,LineWidth,6,Color,0 0 0);text(5,0, Vecter(5,0) )text(1,20,平面中的向量,Fontsize,15,Color,1 0 0)text(1,15,定点向量和自由向量,Fontsize,15,Color,1 0 0)4.1.0.1. 向量与直线利用定点向量和自由向量的概念可以和平面直线方程统一地表达3维空间直线的方程以及任意维数空间中的直线方程：其中A、B和r都是三维或更高维数的三个向量，A和B是两个固定的向量，而r是直线上的任意向量。例2 3维空间中的一条直线是两个平面的交线，其向量方程是：其中是任何实数，r是终点在直线上任意点的定点向量。它的直观显示的MATLAB代码是：（MATLAB文件名是ran4_1_0_1.m）clearb=1 2 3;x=-10:0.5:10;y=-10:0.5:10;X,Y=meshgrid(x,y);Z1=(b(1)-13*X-Y)/(-2);Z2=(b(2)-X-13*Y)/(-2);mesh(X,Y,Z1)hidden off%axis(-10 10 -10 10 -100 100);axis(axis);%axis offM( : ,1)=getframe;pausehold onmesh(X,Y,Z2)hidden offM( : ,2)=getframe;pausex12=b(1)/12-b(2)/12+y;z12=b(1)/24-b(2)*13/24+7*y;Hl_line=plot3(x12,y,z12);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,1 0 0);M( : ,3)=getframe;pauseHl_line=plot3(0 x12(21),0 y(21),0 z12(21);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,0 0 0);M( : ,4)=getframe;pauseHl_line=plot3(x12(21) x12(31),y(21) y(31), z12(21) z12(31);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,0 0 0);M( : ,5)=getframe;pausefor r=1:64 view(-37.5+(r-1)*6,30); M( : ,r+5)=getframe;endpausemovie(M)clc4.1.1. 线性方程组利用MATLAB的空间展示特性和平面、直线的几何意义可以把线性方程组的解及其几何意义直观的表达出来。实际上，直线是多个平面的交线，线性方程组就是多个平面相交的结果，如果相交在唯一一点，则方程组有唯一解，如果最后相交在一条直线，则解空间是一维的，如果相交是平面，则解空间是二维的，。实际上，前面的例2之方程组的解空间就是一维空间。例3 线性方程组唯一解的实例。考虑线性方程组：这是三个平面的交点或交线问题。这时，方程组的解就是这三个平面的公共点，或者这三个平面任意两个相交所得的三条直线的共同交点。从这种几何的角度容易想到，当方程组有唯一解时，如果只改变方程右边的常数项，那么，因为这三个平面只是发生平行移动，所以不会影响这些新的方程组有唯一解这个结论。但是，如果原来的方程组无解或者有无穷多解时，修改右边的常数项（也就是将原来的平面进行移动）将原来无解的方程组可能变成有解，而有无穷多解的方程组变得无解。就本例而言，用下面的MATLAB代码段可以直观发现它有唯一解：（MATLAB程序文件名是ran4_1_1.m）clearb=1 2 3;x=-10:0.25:10;y=-10:0.25:10;X,Y=meshgrid(x,y);Z1=(b(1)-13*X-Y)/(-2);Z2=(b(2)-X-13*Y)/(-2);Z3=(b(3)+2*X+2*Y)/(-16);surf(X,Y,Z1)axis(-10 10 -10 10 -100 100);axis(axis);M( : ,1)=getframe;hold onsurf(X,Y,Z2)M( : ,2)=getframe;surf(X,Y,Z3)M( : ,3)=getframe;x12=b(1)/12-b(2)/12+y;z12=b(1)/24-b(2)*13/24+7*y;Hl_line1=plot3(x12,y,z12);set(Hl_line1,LineWidth,4,Color,1 0 0);M( : ,4)=getframe;x23=4*b(2)/3+b(3)/6-17*y;z23=b(2)/6+b(3)/12-2*y;Hl_line2=plot3(x23,y,z23);set(Hl_line2,LineWidth,4,Color,1 0 0);M( : ,5)=getframe;y13=4*b(1)/3+b(3)/6-17*x;z13=b(1)/6+b(3)/12-2*x;Hl_line2=plot3(x,y13,z13);set(Hl_line2,LineWidth,4,Color,1 0 0);M( : ,6)=getframe;for r=1:91 view(-37.5+(r-1)*9,30); M( : ,r+6)=getframe;endpausemovie(M)clc4.2. 矩阵和线性空间矩阵和线性空间的理论和方法是线性代数最根本的方法。这两者之间有密切的内在联系，它们中的任何一个概念没有对方的帮助是不可能有完整的理解的。线性空间决定了矩阵存在的必要，矩阵决定了线性空间从基本的有效表述到理论性质的刻画的深刻、简便和直观，同时，矩阵作用的完全解释和理论性质的直观（几何）意义在线性空间中可以得到最充分的展示。这种联系的最直接形式是矩阵一般表示从一个线性空间到另一个线性空间（有时就是同一个线性空间）的线性变换。4.2.1. 矩阵与向量这里我们将借助MATLAB软件的图形图像功能从多方面直观显示矩阵的作用，包括矩阵对线性空间中向量的作用效果、规定矩阵的特殊向量、矩阵对线性空间中的曲面的作用效果。例1 矩阵对单位球面上一些向量的作用效果。本实验在限定的直角坐标系下，考察单位球面上的一些向量在特定的矩阵：作用之下的变化情况。为了看清楚在矩阵作用前后的关系，原向量用红色显示并标注在单位球面上，而变换之后的向量则用蓝色显示，同时，便于看出这两个向量之间的相对关系使整个坐标系和向量同时旋转360度。有直观效果的MATLAB代码如下：（MATLAB文件名是：ran4_2_1_1.m）%矩阵的作用效果：将线性空间中的单位球面上的向量通过伸缩和变换方向生成一个新的向量clearu=-pi/2:pi/20:pi/2;v=0:2*pi/20:2*pi;U,V=meshgrid(u,v);X=cos(U).*sin(V);Y=cos(U).*cos(V);Z=sin(U);A=13 1 -2;1 13 -2;-2 -2 16/6;for m=1:4:length(v) for n=1:4:length(u) hold off Hl_line=plot3(0 3,0 0,0 0); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,1 0 0) axis(-3 3 -3 3 -3 3) axis(axis) axis off grid on hold on mesh(X,Y,Z) hidden off plot3(3,0,0,ok); Hl_line=plot3(0 0,0 3,0 0); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) plot3(0,3,0,ok); Hl_line=plot3(0 0,0 0,0 3); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) plot3(0,0,3,ok); hold on Hl_line=plot3( 0 X(m,n),0 Y(m,n),0 Z(m,n) ); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,1 0 0) plot3(X(m,n),Y(m,n),Z(m,n),ok); pause hold on t=X(m,n) Y(m,n) Z(m,n)*A; XX(m,n)=t(1); YY(m,n)=t(2); ZZ(m,n)=t(3); Hl_line=plot3(0 XX(m,n),0 YY(m,n),0 ZZ(m,n); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 1) plot3(XX(m,n),YY(m,n),ZZ(m,n),ok); for p=1:91 view(-37.5-(p-1)*4,30) M( : ,p)=getframe; end clear M pause endendclc例2 在例1中，为了特别看清楚在矩阵作用后向量的方向和长度，特地给变化后的向量添加黄色矩形框，向量仍然使用蓝色显示，同时，便于看出这两个向量之间的相对关系使整个坐标系和向量同时旋转360度。有直观效果的MATLAB代码如下：（MATLAB文件名是：ran4_2_1_2.m）%矩阵的作用效果：将线性空间中的单位球面上的向量通过伸缩和变换方向生成新的一个向量clearu=-pi/2:pi/20:pi/2;v=0:2*pi/20:2*pi;U,V=meshgrid(u,v);X=cos(U).*sin(V);Y=cos(U).*cos(V);Z=sin(U);A=13 1 -2;1 13 -2;-2 -2 16/6;for m=1:4:length(v) for n=1:4:length(u) hold off Hl_line=plot3(0 3,0 0,0 0); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,1 0 0) axis(-3 3 -3 3 -3 3) axis(axis) axis off grid on hold on mesh(X,Y,Z) hidden off plot3(3,0,0,ok); Hl_line=plot3(0 0,0 3,0 0); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) plot3(0,3,0,ok); Hl_line=plot3(0 0,0 0,0 3); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) plot3(0,0,3,ok); hold on Hl_line=plot3( 0 X(m,n),0 Y(m,n),0 Z(m,n) ); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,1 0 0) plot3(X(m,n),Y(m,n),Z(m,n),ok); pause hold on t=X(m,n) Y(m,n) Z(m,n)*A; XX(m,n)=t(1); YY(m,n)=t(2); ZZ(m,n)=t(3); Hl_line=plot3(0 XX(m,n),0 YY(m,n),0 ZZ(m,n); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 1) plot3(XX(m,n),YY(m,n),ZZ(m,n),ok); x0=0;y0=0;z0=0;x1=XX(m,n);y1=YY(m,n);z1=ZZ(m,n); plot3(x0 x1 x1 x0 x0,y0 y0 y0 y0 y0,z0 z0 z1 z1 z0,y) plot3(x0 x1 x1 x0 x0,y1 y1 y1 y1 y1,z0 z0 z1 z1 z0,y) plot3(x0 x0 x0 x0 x0,y0 y1 y1 y0 y0,z0 z0 z1 z1 z0,y) plot3(x1 x1 x1 x1 x1,y0 y1 y1 y0 y0,z0 z0 z1 z1 z0,y) plot3(x0 x1 x1 x0 x0,y0 y0 y1 y1 y0,z0 z0 z0 z0 z0,y) plot3(x0 x1 x1 x0 x0,y0 y0 y1 y1 y0,z1 z1 z1 z1 z1,y) for p=1:91 view(-37.5-(p-1)*4,30) M( : ,p)=getframe; end clear M pause endendclc例3 在例1中，为了特别看清楚矩阵的作用效果，特地把变化后的向量使用蓝色全部显示出来，同时，便于看出单位球面在矩阵下的变换结果，把原来的单位球面上的向量全部用红色显示出来，并使整个坐标系和全部红蓝向量同时旋转360度。有直观效果的MATLAB代码如下：（MATLAB文件名是：ran4_2_1_3.m）%矩阵的作用效果：将线性空间中的单位球面上的全部向量通过伸缩和变换方向生成新的一个曲面clearu=-pi/2:pi/25:pi/2;v=0:2*pi/20:2*pi;U,V=meshgrid(u,v);X=cos(U).*sin(V);Y=cos(U).*cos(V);Z=sin(U);A=13 1 -2;1 13 -2;-2 -2 16/6; Hl_line=plot3(0 3,0 0,0 0); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) axis(-3 3 -3 3 -3 3) axis(axis) axis off grid on hold on plot3(3,0,0,ok); Hl_line=plot3(0 0,0 3,0 0); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) plot3(0,3,0,ok); Hl_line=plot3(0 0,0 0,0 3); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) plot3(0,0,3,ok); hold onfor m=1:length(v) for n=1:length(u) Hl_line=plot3( 0 X(m,n),0 Y(m,n),0 Z(m,n) ); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,1 0 0) %plot3(X(m,n),Y(m,n),Z(m,n),ok); hold on t=X(m,n) Y(m,n) Z(m,n)*A; XX(m,n)=t(1); YY(m,n)=t(2); ZZ(m,n)=t(3); Hl_line=plot3(0 XX(m,n),0 YY(m,n),0 ZZ(m,n); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 1) %plot3(XX(m,n),YY(m,n),ZZ(m,n),ok); %x0=0;y0=0;z0=0;x1=XX(m,n);y1=YY(m,n);z1=ZZ(m,n); endendfor p=1:11 view(-37.5-(p-1)*36,30) M( : ,p)=getframe; pauseendmovie(M)clear Mpauseclc例4 在例1中，为了特别看清楚矩阵的作用效果，特地把变化后的向量使用蓝色全部显示出来，同时，便于看出单位球面在矩阵下的变换结果，把原来的单位球面上的向量全部用红色显示出来。另外，为了从整体上看出变化之后全部向量所在的曲面，特意将变化前后的向量分别画成曲面，并使整个坐标系和全部红蓝向量以及两个曲面同时旋转360度，以便观察新曲面的大致形状。有直观效果的MATLAB代码如下：（MATLAB文件名是：ran4_2_1_4.m）%矩阵的作用效果：将线性空间中的单位球面上的全部向量通过伸缩和变换方向生成新的一个曲面clearu=-pi/2:pi/10:pi/2;v=0:2*pi/15:2*pi;U,V=meshgrid(u,v);X=cos(U).*sin(V);Y=cos(U).*cos(V);Z=sin(U);A=13 1 -2;1 13 -2;-2 -2 16/6; Hl_line=plot3(0 3,0 0,0 0); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) axis(-3 3 -3 3 -3 3) axis(axis) axis off grid on hold on plot3(3,0,0,ok); Hl_line=plot3(0 0,0 3,0 0); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) plot3(0,3,0,ok); Hl_line=plot3(0 0,0 0,0 3); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) plot3(0,0,3,ok); hold onfor m=1:length(v) for n=1:length(u) Hl_line=plot3( 0 X(m,n),0 Y(m,n),0 Z(m,n) ); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,1 0 0) hold on t=X(m,n) Y(m,n) Z(m,n)*A; XX(m,n)=t(1); YY(m,n)=t(2); ZZ(m,n)=t(3); Hl_line=plot3(0 XX(m,n),0 YY(m,n),0 ZZ(m,n); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 1)endendmesh(X,Y,Z)hidden offmesh(XX,YY,ZZ)hidden offfor p=1:21 view(-37.5-(p-1)*18,30) M( : ,p)=getframe; pauseendclearclc例5 在例1中，为了特别看清楚矩阵的作用效果，特地把变化后的向量使用蓝色全部显示出来，同时，便于看出单位球面在矩阵下的变换结果，把原来的单位球面上的向量全部用红色显示出来。另外，为了从整体上看出变化之后全部向量所在的曲面，特意将变化前后的向量分别画成曲面，并使整个坐标系和全部红蓝向量以及两个曲面同时旋转360度，以便观察新曲面的大致形状。有直观效果的MATLAB代码如下：（MATLAB文件名是：ran4_2_1_5.m）clearu=-pi/2:pi/20:pi/2;v=0:2*pi/25:2*pi;U,V=meshgrid(u,v);X=cos(U).*sin(V);Y=cos(U).*cos(V);Z=sin(U);mesh(X,Y,Z)hidden offaxis(-3 3 -3 3 -3 3)axis(axis)axis offhold onHl_line=plot3(0 3,0 0,0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)Hl_line=plot3(0 0,0 3,0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)Hl_line=plot3(0 0,0 0,0 3);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) A=13 1 -2;1 13 -2;-2 -2 16/6;for m=1:length(v) for n=1:length(u) t=X(m,n) Y(m,n) Z(m,n)*A; XX(m,n)=t(1); YY(m,n)=t(2); ZZ(m,n)=t(3); endendmesh(XX,YY,ZZ)hidden offfor p=1:81 view(-37.5-(p-1)*4,30) D( : ,p)=getframe;endmovie(D)clc4.2.2. 矩阵与曲面例1 在前一节中，对于给定的矩阵讨论了它把三维空间中中心在原点的单位球面变换成一个新的曲面。仔细观察这个新曲面的特征，可以发现它是一个椭球面。那么，关于这个椭球面的主轴方向可以得到什么结果呢？（课堂分析：在特定矩阵条件下引进特征值和特征向量的概念）为了特别看清楚矩阵的作用效果，特地只画出变化前后的曲面，并使整个坐标系和两个曲面同时旋转360度，以便观察新曲面的大致形状和发现一些特殊的方向。有直观效果的MATLAB代码如下：（MATLAB文件名是：ran4_2_2_1.m）clearu=-pi/2:pi/20:pi/2;v=0:2*pi/25:2*pi;U,V=meshgrid(u,v);X=cos(U).*sin(V);Y=cos(U).*cos(V);Z=sin(U);mesh(X,Y,Z)hidden offaxis(-3 3 -3 3 -3 3)axis(axis)axis offhold onHl_line=plot3(0 3,0 0,0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)Hl_line=plot3(0 0,0 3,0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)Hl_line=plot3(0 0,0 0,0 3);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0) A=13 1 -2;1 13 -2;-2 -2 16/6;for m=1:length(v) for n=1:length(u) t=X(m,n) Y(m,n) Z(m,n)*A; XX(m,n)=t(1); YY(m,n)=t(2); ZZ(m,n)=t(3); endendmesh(XX,YY,ZZ)hidden offa1=1 1 1/sqrt(3);a2=1 -1 0/sqrt(2);a3=-1 -1 2/sqrt(6);Hl_line=plot3(0 1/sqrt(3),0 1/sqrt(3),0 1/sqrt(3);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,1 0 0)Hl_line=plot3(0 2/sqrt(3),0 2/sqrt(3),0 2/sqrt(3);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 1 1)Hl_line=plot3(0 1/sqrt(2),0 -1/sqrt(2),0 0);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,1 0 0)Hl_line=plot3(0 2/sqrt(2),0 -2/sqrt(2),0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 1 1)Hl_line=plot3(0 -1/sqrt(6),0 -1/sqrt(6),0 2/sqrt(6);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,1 0 0)Hl_line=plot3(0 -3/sqrt(6),0 -3/sqrt(6),0 6/sqrt(6);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 1 1)for p=1:81 view(-37.5-(p-1)*4,30) D( : ,p)=getframe;endmovie(D)clc例2 在例1中，对于给定的矩阵讨论它把三维空间中中心在原点的单位球面变换成一个什么样的新曲面。观察这个新曲面的特征，可以发现它是一个椭球面。为什么？关于这个椭球面的主轴方向可以得到什么结果呢？（课堂分析：在特定矩阵条件下引进特征值和特征向量的概念）实际上，正交矩阵的三列是矩阵的三个单位化正交特征向量，是矩阵的三个特征根。例3 仿造例1，对于任意给定的矩阵，讨论它把三维空间中中心在原点的单位球面变换成一个什么样的新曲面。观察这个新曲面的特征，可以发现它是一个椭球面。为什么？关于这个椭球面的主轴方向可以得到什么结果呢？（课堂分析：在特定矩阵条件下引进特征值和特）。作为具体实例，这里选取一个新的矩阵，它的特征向量就是前述的三个，只是特征根为2，0，3。通过下面的MATLAB代码可以直观观看变换的结果（MATLAB文件名是：ran4_2_2_3.m）%P=% 1/sqrt(3) 1/sqrt(2) -1/sqrt(6)% 1/sqrt(3) -1/sqrt(2) -1/sqrt(6)% 1/sqrt(3) 0 2/sqrt(6)%Q =% 2 0 0% 0 0 0% 0 0 3%A =P*Q*P%A =% 7/6 7/6 -1/3% 7/6 7/6 -1/3% -1/3 -1/3 8/3clearu=-pi/2:pi/20:pi/2;v=0:2*pi/25:2*pi;U,V=meshgrid(u,v);X=cos(U).*sin(V);Y=cos(U).*cos(V);Z=sin(U);mesh(X,Y,Z)hidden offaxis(-3 3 -3 3 -3 3)axis(axis)axis offhold onHl_line=plot3(0 3,0 0,0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)Hl_line=plot3(0 0,0 3,0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)Hl_line=plot3(0 0,0 0,0 3);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)P=1/sqrt(3) 1/sqrt(2) -1/sqrt(6);1/sqrt(3) -1/sqrt(2) -1/sqrt(6); 1/sqrt(3) 0 2/sqrt(6);Q=2 0 0;0 0 0;0 0 3;A=P*Q*Pfor m=1:length(v) for n=1:length(u) t=X(m,n) Y(m,n) Z(m,n)*A; XX(m,n)=t(1); YY(m,n)=t(2); ZZ(m,n)=t(3); endendmesh(XX,YY,ZZ)hidden offa1=1 1 1/sqrt(3);a2=1 -1 0/sqrt(2);a3=-1 -1 2/sqrt(6);Hl_line=plot3(0 1/sqrt(3),0 1/sqrt(3),0 1/sqrt(3);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,1 0 0)Hl_line=plot3(0 2/sqrt(3),0 2/sqrt(3),0 2/sqrt(3);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 1 1)Hl_line=plot3(0 1/sqrt(2),0 -1/sqrt(2),0 0);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,1 0 0)Hl_line=plot3(0 0/sqrt(2),0 -0/sqrt(2),0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 1 1)Hl_line=plot3(0 -1/sqrt(6),0 -1/sqrt(6),0 2/sqrt(6);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,1 0 0)Hl_line=plot3(0 -3/sqrt(6),0 -3/sqrt(6),0 6/sqrt(6);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 1 1)for p=1:81 view(-37.5-(p-1)*4,30) D( : ,p)=getframe;endmovie(D)clc例4 仿造例1，对于任意给定的矩阵，讨论它把三维空间中中心在原点的单位球面变换成一个什么样的新曲面。观察这个新曲面的特征，可以发现它是一个椭球面。为什么？关于这个椭球面的主轴方向可以得到什么结果呢？（课堂分析：在特定矩阵条件下引进特征值和特）。作为有别与例3的又一个具体实例，这里选取一个新的矩阵，它的特征向量就是前述的三个，只是特征根为2，-2，3。通过下面的MATLAB代码可以直观观看变换的结果（MATLAB文件名是：ran4_2_2_4.m）%P=% 1/sqrt(3) 1/sqrt(2) -1/sqrt(6)% 1/sqrt(3) -1/sqrt(2) -1/sqrt(6)% 1/sqrt(3) 0 2/sqrt(6)%Q =% 2 0 0% 0 -2.5 0% 0 0 3%A =P*Q*P%A =% -1/12 29/12 -1/3 % 29/12 -1/12 -1/3 % -1/3 -1/3 8/3 clearu=-pi/2:pi/20:pi/2;v=0:2*pi/25:2*pi;U,V=meshgrid(u,v);X=cos(U).*sin(V);Y=cos(U).*cos(V);Z=sin(U);mesh(X,Y,Z)hidden offaxis(-3 3 -3 3 -3 3)axis(axis)axis offhold onHl_line=plot3(0 3,0 0,0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)Hl_line=plot3(0 0,0 3,0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)Hl_line=plot3(0 0,0 0,0 3);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 0 0)P=1/sqrt(3) 1/sqrt(2) -1/sqrt(6);1/sqrt(3) -1/sqrt(2) -1/sqrt(6); 1/sqrt(3) 0 2/sqrt(6);Q=2 0 0;0 -2.5 0;0 0 3;A=P*Q*Pfor m=1:length(v) for n=1:length(u) t=X(m,n) Y(m,n) Z(m,n)*A; XX(m,n)=t(1); YY(m,n)=t(2); ZZ(m,n)=t(3); endendmesh(XX,YY,ZZ)hidden offa1=1 1 1/sqrt(3);a2=1 -1 0/sqrt(2);a3=-1 -1 2/sqrt(6);Hl_line=plot3(0 1/sqrt(3),0 1/sqrt(3),0 1/sqrt(3);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,1 0 0)Hl_line=plot3(0 2/sqrt(3),0 2/sqrt(3),0 2/sqrt(3);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 1 1)Hl_line=plot3(0 1/sqrt(2),0 -1/sqrt(2),0 0);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,1 0 0)Hl_line=plot3(0 -2.5/sqrt(2),0 2.5/sqrt(2),0 0);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 1 1)Hl_line=plot3(0 -1/sqrt(6),0 -1/sqrt(6),0 2/sqrt(6);set(Hl_line,LineWidth,4,Color,1 0 0)Hl_line=plot3(0 -3/sqrt(6),0 -3/sqrt(6),0 6/sqrt(6);set(Hl_line,LineWidth,2,Color,0 1 1)for p=1:81 view(-37.5-(p-1)*4,30) D( : ,p)=getframe;endmovie(D)clc例5 对于任意给定的矩阵，讨论它把三维空间中中心在原点的单位球面变换成一个什么样的新曲面。观察这个新曲面的特征，可以发现它是一个椭球面。为什么？关于这个椭球面的主轴方向可以得到什么结果呢？（课堂分析：在特定矩阵条件下引进特征值和特）。作为有别于例3和例4的又一个具体实例，这里选取一个新的不是对称的矩阵，观看单位球面的变化结果。通过下面的MATLAB代码可以直观观看变换的结果（MATLAB文件名是：ran4_2_2_5.m）%A =% 1/4 1/2 3/4 % 1 5/4 3/2 %