[理学]数码相机的定位.doc

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。没我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1324501 所属学校（请填写完整的全名）： 湖北工业大学工程技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 余文辉 2. 宋志伟 3. 曹海凤 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数模组 日期： 2008 年 9 月 22日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：31数码相机定位摘要：本文针对数码相机定位的问题，通过考虑数码相机的成像原理，精确定位及径向畸变等因素对靶标和像点进行分析。考虑到靶标平面与像平面存在一个二面角，因此分别建立摄像机镜面，像平面以及靶标平面所在平面的坐标系和世界坐标系，运用坐标矩阵翻转、平移建立数学模型并求得靶标上的物点坐标P（）与其对应的像平面上的坐标之间的函数关系。由给定的靶标上五个圆的圆心坐标A(-50,50),B(-20,50),C(50,50),D(50,-50)以及E(-50,-50)（单位为mm）,运用相关的数学方法并借用MATLAB软件计算出各圆心在像平面上对应的像坐标,。(单位为像素)由于到物点通过透镜时会发生畸变，且畸变系数对物点经过投射得到的像点坐标影响较大，对模型进行改进，在所改进的模型求解过程中运用最小二乘法，解超定方程和借用MATLAB软件求得靶标上物点在像平面上的理想像点坐标和实际坐标。并通过求其相对误差来判断模型的精度和稳定性。对于双目标定的问题，由于两个不同位置的摄像机对同一个特征点的投射，使所得的像坐标存在一个坐标差。在求解这两个摄像机的相对位置时，根据这个坐标差，通过逆推法转换，借用视差法定位，建立数学模型，得到两个摄像机位置的空间坐标，根据两坐标间的关系求出两个相机的相对位置。关键词：相机成像 径向畸变 最小二乘法 系统标定法一、问题的背景视觉是人类感知外界信息的主要途径，也是适应复杂，变化环境的感知基础。人类对外界信息的获取，绝大多数都是通过视觉得到的【1】。使计算机或机器人具有与人类相似的视觉处理能力，从而能更好地协助以至代替人的工作，这是人类长期追求的梦想。随着社会的发展，目前在我国各个行业中都有提高生产效率，减轻工作负担的需求，许多应用中都希望利用计算机视觉技术来替代原来人眼所承担的工作，这可以提高工作效率，减轻工人的负担，减少由于工人工作疲劳引起的错误。而数码相机标定是计算机视觉实现的前提和基本问题，是视觉系统不可缺少的前提和基础部分，因此深入研究数码相机标定将成为计算机视觉在相关的各个领域的广泛应用奠定了坚实的基础。电子警察【2】就是数码相机的标定其中的一个重要应用，它是一项集电子、光学、计算机以及通讯技术为一体的高新技术产品。它具有多种功能：一是灵活的传输方式，如存储卡、活动硬盘、光纤、MODEN、LAN网、无线网络等；二是不同的车辆检测方式，如线圈、无线线圈、红外检测器、电压传感器、视频检测等；三是随意的路口方向配置，如单方向型、两方向型、三方向型及多方向型等；四是可选的多种拍照方式，如视频摄像机、数码摄像机、数码像机、光学相机等。电子警察完善的功能可以方便的实现对路口违章闯红灯车辆的自动拍照功能，更好地维持交通秩序。 同时也减轻了人工的负担。二、问题的提出与重述数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置，它在交通监管以及其它方面都有广泛的应用。最常见的定位方法是用两部相机来定位，简称为双目定位，它的关键是系统标定，即精确地确定两部相机的相对位置。对物体上的一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法确定该特征点的位置。 图1靶标上圆的像 用两部相机同时对画有若干个点的平板照相，可以得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。众所周知，没有几何尺寸的“点”无论是在物平面上还是在像平面上都是无法得到的，所以想到了在物平面上画若干个圆（称为靶标），几何的点可以用圆心来充当，因为它们的像一般不会变形，如图1所示，标定的实现只需从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到就可以了。设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A，C,D,E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B点为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。 图2靶标示意图 图3 靶标的像本论文要解决的问题就是： 当坐标原点取在相机的光学中心，x-y平面平行于像平面时，建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。2 若相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位（1mm约为3.78个像素单位），相机分辨率为1024768，针对图2，图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。 设计一种方法检验建立的模型，并对方法的精度和稳定度进行讨论。 建立用此靶标给出的两部固定相机相对位置的数学建模和方法。 三、基本假设1.假设每个畸变图形的中心为该靶标图形的圆心； 2.假设靶标的中心通过透镜在像上的点之间连线与光学中心在同一直线上； 3.假设两台摄像机对同一特征点摄像时在同一水平高度；4.假设双目设定时，两台摄像机的规格和摄像效果相同；四、主要变量符号说明为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表1所示。其他一些变量将在文中陆续说明。表一 主要变量符号说明一览表f透镜的焦距，即像平面和光学中心的距离；u物距；v相距； 坐标转轴绕x轴旋转所得矩阵； 坐标轴绕y轴旋转所得矩阵；k畸变系数理想模型下P点图像坐标透镜畸变引起的偏离实际坐标（理想坐标）G33旋转矩阵N31平移矩阵五、问题的分析数码相机对靶标定位，考虑到靶标上的任意点，在像平面上无法准确的定位。于是用标定的方法确定目标在像平面上的位置。针对问题一，在靶标上任取一点，相应的将会在像上找到对应的一点，但考虑到，靶标所在的平面跟像平面成一个二面角，所以，不妨通过坐标翻转和平移的方法把靶标的平面旋转到与像平面平行，这样，就可以通过几何关系，求出物点和像点的函数关系式，计算出像点的坐标；针对问题二，其实就是将第一问中的任意一点简化成题目给出的五个圆的圆心上，因此，通过第一问的计算，很快就能求出第二问的圆心坐标；针对问题三，要求进一步用数学模型来验证其精度和稳定性，在考虑到物点通过透镜会发生畸变，先建立一个摄像机模型，再对模型进行分析和改进，求出理想与实际的像点坐标，最后分析数据的精度和稳定性；针对问题四，用两部相机给靶标定位，可以考虑两部相机对靶标上的同一特征点拍照，但实际得到的像点坐标和理想的像点坐标存在一定偏差，用两部相机定位是为了减小这种偏差，却不能完全消除这种偏差。根据题目给出的系统标定法，就可以用双目标定物点，再通过逆推法解决一个空间几何问题了，这样就能很好的求出两相机的相对位置；六、数学模型的建立及求解6.1 针对问题一：要求建立像坐标的数学模型，就是要找出靶标平面上任意圆的圆心坐标在其像平面上对应点的坐标之间的函数关系。又由于像平面与靶标平面之间存在有二面角，所以可以通过坐标的旋转矩阵使得这两个平面平行，并借助透镜的成像原理，通过逆推法来求的这个函数关系，从而就可以得到像坐标的数学模型。以下为模型的推导过程： 首先，在靶标平面上任意取一点为P（），相对应的像平面中的坐标为如图一所示， （1）靶标平面 （2）像平面图一以摄像机的镜心为坐标原点，摄像机的光轴为z轴，垂直于光轴平面为平面，建立三维坐标系xyz；为了使像平面原点在光轴上，取相机的像平面坐标系统,另外取像平面与摄像机坐标系统与平面平行，且x轴与x平行，y轴与y轴重合；建立一个像平面和靶标平面的平面图形，其中，靶标平面通过旋转，将靶标平面旋转到与像平面平行后进行分析，这两个平面在相互平行的图形中，如图二： 图二靶标旋转后的平面 即在平面中：z=0 (1.1)在平面中： (1.2)其中，在（1.2）式中，（v为光学中心到像平面的距离）因此，对于靶标平面上，有：（1.3）而且，根据实际成像系统采用透镜成像原理,有：（1.4）其中：u为物距；f为透镜的焦距；v为像距；而一般情况下有，即上面的式子中，可得到，所以，可以用小孔成像的模型代替透镜成像的模型； 设靶标上任意一点在世界坐标系中的坐标为相应的像平面上的像点坐标为，因此，由这两点可求出直线的方程： （1.5）将（1.2）（1.5）两个式子联立得： （1.6） 同理，在图一（2）中，像平面在图中与的坐标面是可求得的， 即：（1.7）下面求靶标平面任意一点P（）与经过旋转后的三维靶标上的对应点的关系。设想首先将靶标平面放在图二的平面上，则：P（） 再将所得的靶标平面绕x轴旋转角度，同时，绕y轴旋转角度，得到的平面与平行。因此，由坐标的旋转矩阵公式可以得到： （1.8）由上式，可知在上的的坐标为，有： （1.9）再将上式展开，可以得到： （1.10）由以上的式子，可知，长度为u,而的方向余弦为，则有： （1.11）于是，将（1.10）和（1.11）带入式子（1.7）中，可解得： （1.12）上面的式子即为靶标上任意一点P()在像平面上的点P（）的坐标； 结果与分析： 根据透镜成像原理，u的大小会直接影响到靶标在像平面上的成像的大小，考虑到成像大小在像平面占较为适宜。 已知靶标的尺寸的范围为100mm100mm，分辨率为1024768（80万像素），由此可知相机的焦距f在之间，而由（1.4）式子可以算出： 之间；且考虑到与有着约束关系，可以对这些约束变量取特殊值，即： ， 此时，通过（1.12）式子，有： （1.13）当u在一定范围内取值时，可计算出五个圆的圆心所对应的像坐标的结果不合理；当u的取值越大（摄像机能够拍摄的范围内）时，所得的结果越合理。6.2 针对问题二：计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标6.2.1 首先根据假设每个畸变图形的中心为该靶标图形的圆心，对问题二建立模型一：所给定的五个圆形的靶标对应相机成像后得到的五个变形的靶标的像，在每个图形靶标上的任意一点都会在相应的像上面有对应的点，又因为所得到的像都为畸变了的图形，即通过求平均值可以得到每个像标的像图的中心坐标，并把该中心假设为其对应的图形靶标的圆心，所以可以得到个对应靶标所对应的像的重心坐标 因此，有： (1.14)并且通过MATLAB编程（程序见附件一），对五个圆形分开求其中点（如图三） 图三靶标上的圆形在像上的投影如：a2008-A.bmp求得图中五个圆形靶标的圆心坐标所对应的像的几何中心的坐标，结果如表二：表二 各圆的圆心在图像中的坐标未转换坐标变换坐标尺度换算未转换坐标变换坐标尺度换算 A322.8948-189.1052-50.0278189.4935194.506551.4575 B422.9960-89.0040-23.5460196.9423187.057749.4862 C639.8994127.899433.8332213.1522170.847845.1978 D582.732970.732978.1413502.9824-118.9824-31.4768 E284.6657-227.3343-60.1413501.7731-117.7731-31.1569由表可以得到五个靶标的圆心对应的像的变换坐标为： (1.15)上面所计算的结果是以坐标系原点取在该相机的光学位置；(单位为像素)6.2.2由于在此问题中的模型一的假设在大多数放置情况下都不符合实际，因此要进行模型的改进，根据公切线的不变性建立模型二：通过对问题的分析可以建立一个模型的建立过程如图四：图四 模型的建立过程在图四中可以看出整个模型建立的全过程，靶标中五个圆通过投影后在像平面上呈现五个椭圆，但不管在靶标平面还是像平面，它们有的公共的外共切线不变，如图五所示：图五 靶标与像的共切线示图为了得到像平面上椭圆的中心，可以通过此方法先寻找公切线，再连接切点，最后所得到的两条切点连线所组成的直线的交点即为椭圆的中心，即靶标上圆心坐标在像平面上的图影。因为我们从图像直接读取的数据是离散的，而这些离散的数据在计算当中产生较大误差，为了减小误差，我们将离散的数据连续化，这一过程即为数据拟合，由此就可以通过解析的方法精确的进行计算了。故可考虑先算出椭圆方程，再利用其解析性质求两两之间的公切线。 首先将图像数据进行处理得出投影的边界坐标，然后就这些离散点进行拟合，即可得出各个投影的椭圆方程。一般的椭圆方程为； （1.16）在这里我们采用基于代数距离的最小二乘法进行拟合。首先将一般的椭圆方程变形为； （1.17）对椭圆而言一定不为0，因此令，从而得到：； （1.18）、为观测值组成的列向量，写成矩阵形式为：; （1.19）其中： （1.20） （1.21） （1.22）可以利用最小二乘法： 得 （1.23） 进而可以计算出椭圆的各个参数。对于已知的两个椭圆 ； （1.24）不防设它们的公切线为，于是可得： ； （1.25） 带入得到关于的一个二元一次方程，由于相切有，由这两个方程联立可得到与的值，进而可以得到切点坐标，其，；同理可得。考虑求靶标上的圆的圆心在像平面上的像内的像点。 又由以上计算可求得靶标上的任一圆在像平面上的像的切点与其对应的切线。 考虑圆的像与此圆外的两圆的像（=1,2），设与的两条外公切线为、，与切于,与切于，其它同理标号。易过、做直线，又过、做直线，两直线交于一点，则此交点即为的圆心在内的投影。 现在对数据进行综合的处理，当除像外还有大于两个的像时，应充分利用到各个像与的关系，以对投影进行更好的修正。具体方法如下： 选取外的像（ 2）进行两两组合，共有()中组合方式。将其中某一确定组合带入以上的基本算法中求解，则每个组合可求得一个圆圆心的像坐标。最后对这些像坐标求平均值，得中心像点的坐标，即： （1.26） 通过以上方法以及借用MATLAB软件，利用题中所给的条件即可得到像坐标中各椭圆中心的坐标。具体程序可见附件三。6.3 针对问题三：摄像机模型检验精度和稳定性6.3.1 建立模型：如图三所示，是一个摄像机对景物成像到平面的物理过程的 图六、透镜径向畸变的小孔摄像机模型数学描述，这种模型能精确的反应成过程中透镜径向的畸变，以检测其精度；下面对这个模型进行分析：如图 设三维世界坐标系中物体点为三维坐标，而在图示三维坐标系中（如图三）有,光学中心为O点，XY是中心在点平行于轴的图像坐标系。为理想模型下P点的图像坐标，是透镜畸变引起的偏离的实际图像坐标。 由于P（）是三维坐标，在讨论中，必须将P点转换到图像平面坐标，其中的变换步骤为：第一：三维空间刚体位置变换，即由到 （1.27） 第二：假设z远大于f，则小孔摄像机模型下的理想投影变换为： （1.28） 第三：由于径向畸变是衡量摄像机精度的主要因素，所以考虑径向透镜畸变，有： （1.29） 其中，还有 且式中的k为畸变系数； 第四：实际图像坐标到计算机图像坐标的变换： （1.30） 式中 -计算机图像中心坐标； -图像平面上单位距离上的像素的点数; 6.3.2通过RAC两步法标定摄像机的参数 基本原理：首先标定外部和内部的参数，其中，个数在上面的式子已标定。其方法是用解析解得多数标定参数和迭代法获得其它要的参数。使用径向排列约束来获得外部参数和焦距的线性解。其中的代方案是用来估计处理径向畸变的相关参数，光学中心，平移向量的深度组元。 而径向排列约束可以充分的确定G和,因此RAC就可以表示为： 设 由式子（1.27）得： （1.31） 而RAC则可以表示为下式： （1.32） 由上式知，求解空间刚体变换，就是确定33矩阵经过旋转后产生的9个参数值，但其正交性规定了G有3个自由度，即仅有3个变量是独立的。因此要求出旋转矩阵G的评议分量; 通过选取N个共面特征点，确定这N个点的图像坐标和世界坐标，而利用式子（1.19），计算： （1.33） 利用上面的式子，对每个点，可以列出一个方程，并联立这N个方程;再利用最小二乘法求解这个超定方程组，可求出其变量，再运用G正交性计算出，有： （1.34）上面的式子可以求出| ,对它的符号进行确定。又由几何关系可知，与x,与y都应该又相同的符号，即可确定的符号，再任选一特征点，首先假设为正，计算可得： （1.35） 由上式知：若与x,与y同号，为正号；否则，应为负；再运用交性和右手系特性可计算出： 其中.可知G的值。而对于有效焦距f,和的分量和透镜畸变系数k.对每个特征点计算有： （1.36）设，在不计算透镜畸变的情况下，有：； （1.37）当考虑，就有展开式：； （1.38）而，则有： (1.39)即上面的式子可以用矩阵表示，假设k=0，解此超定方程，可以求出有效焦距f和平移矩阵N的分量，然后利用这些值作其初始值，利用最优化求解下列非线性方程组： （1.40） 解得：f,k的精确值。6.3.3 对世界坐标的目标点进行恢复。在实际应用中，已经得到的摄像机参数和目标物体在图像中的位置来求解目标物体在世界坐标系中的位置而在式（1.29）可知：,要想得到目标点的世界坐标，则需先求出三维坐标,而又由（1.31）和（1.32）可知： （1.41）将上面的式子和（1.29）的方程组成一个不定问题。又因为目标物体是在已知的平面上，所以，可以引入一个平面约束方程。即由几何知识，平面上任意的3个点组成一个约束方程为：,于是，可以唯一确定目标点在摄像机坐标系中的三维坐标.这样对于平面上任意一点，通过检测出它在图像平面上的坐标,求出，即可以求出世界坐标。再又世界坐标点可以反向推出靶标上点的理想坐标；再与问题二中靶标的实际坐标进行对比，从而分析模型的精确和稳定性。6.3.4 对以上模型的精度和准确性进行分析通过MATLAB编程（程序见附件二），可以求得几个参数的值，其中得到： (1.42) 而由式子（1.27）和（1.28）可以得到，A,B,C,D,E五个点在像平面上的理想坐标，相对应的点的数据为： （1.43）而由于径向畸变，靶标的点在像平面上的实际值是，而实际坐标中，即由式子（1.33）中，为问题2中的各像坐标，而为平面原点，为比列系数，可得到： （1.44） 由上面的数据，式子（1.43）（1.44）可求出五个点在理想和实际像点的误差为： A点的相对误差 B点的相对误差 C点的相对误差D点的相对误差E点的相对误差其平均相对误差为： 通过平均相对误差可知，此模型精确率不高，且不稳定。由于没有考虑切向畸变以及径向畸变的内部参数和外部参数考虑不够完全，从而使得此模型的建立不太完善。6.4 针对问题四：当用两部相机从不同的角度对靶标上同一点进行拍摄时，在其对应的像平面上的像点坐标不同。对于靶标上的点通过在双目中的投影映射原理图见图四所示。在两个摄像机的视觉系统中，分别设定它们的摄像机坐标系：坐标系T1被指定左边的摄像机；坐标系T2为右边摄像机坐标系。并设立一个世界坐标系w。假定两个摄像机A和B在同一水平高度。并且假定靶标上的点P在坐标系w中的坐标值为，通过左边摄像机A后在对应的像平面坐标为(，)，投影到右边摄像机B的像平面为(，)。图七：靶标上物点在双目视觉系统中的投影映射原理图当建立好坐标系后，利用双目视觉测量，通过靶标上同一个点在两个摄像机上的投影点的像坐标中的坐标值。然后可以把两个像坐标在同一个像平面的坐标系中，即可以通过两个像坐标的关系得到两个像坐标间的距离.因为在此时的映射中像距相对物距很小，所以可以忽略不计。如图五：A为摄像机A的物距；B为摄像机B的物距。（其中,为不同相机对标靶上的同一点P在像平面上对应的点）。 ABO图八：双目摄像的简化图在对此问题上可以运用反推法先通过像点的坐标值求解靶标上物点在空间坐标系中的坐标值，因为可以视两个摄像机等高，可以通过两个物点的坐标关系求解他们之间的距离AB.6.4.1 当不考虑畸变视靶标物点P的投影到像坐标的公式： （1.45）其中 ， S为比例缩放变量； ， 在中为摄像机的内部参数；（i=1，29）和为外部参数。 将式（1）变形得到单应性矩阵的形式为： （1.46）6.4.2 对双目立体视觉系统中物点的空间坐标的求解物点P在两个平面上有特征点a和b，假如可以建立起像点（a和b）的对应关系，就能通过a和b在向坐标系中的坐标值，从而求出点P的空间坐标值P。可以设定：a=和b= 。通过标定可以得到A和B的但应性矩阵： （1.47） （1.48）由（1.45）可以建立P与、的关系： （1.49） （1.50） 通过联立各式可以得到下面的矩阵表达式： （1.51） 其中; 。解（1.50）式，通过求最小方差的方法得到最佳解： （1.52）即可以得到物点在空间坐标系中的坐标值。即通过相机的坐标与物点坐标可以得到和。然后通过视差法定位方法结合图五，求得两个固定摄像机的相对位置。七 模型的科学性和合理性7.1 假设的合理性对模型所求的结果没有太大的影响，并且能够简化模型，方便建立模型，使模型更容易理解，计算更优化；7.2 思维的合理性本文我们按先后及由浅入深的逻辑关系展开了对问题求解的思路，思路的流程图如图四所示。 读题，根据题意 确定已知量和未知量的关系追踪物与像形状和位置的变化，合理假设设定系统标定模型系统确定方案 是是否是用坐标翻转平移及空间几何分析求解模型，并与实际情况比较看是否合理 图九、思路流程图7.3 方法的科学性本文中，针对不同的问题，使用了各种可靠的、科学的数学方法，其间用到了坐标平移和旋转、最小二乘法、迭代法等方法。本题的问题有目标、有条件，所以用坐标模型来求解该问题也是合理、科学的，并且其中构造的函数能够反映客观实际问题，条件的抽象也比较合理，所以这种方法也是科学的。7.4 参数设置的合理性与现实性模型中涉及了许多参数，这些参数数值的选取一方面是通过迭代法获得的，另一方面是用计算机分析而得到的，所以参数的设置也是科学的。7.5 求解方法的的可靠性和结果的正确性 在对模型进行求解时，我们先用具体的数学方法进行求解，然后用成熟的MATLAB软件进行检验，最后得到了一致的结果，所以可靠的，结果是可信的。八、模型的优缺点8.1 模型的优点：（1）本文采用“由简入繁、由易入难”的分析方法,步步紧扣,互相关联先简化问题,建立简单的模型,然后逐步深入考虑各种因素,在满足建模目的前提下,综合运用透镜成像原理，平面几何，解超定方程等知识求解模型，以更形象的计算出结果；（2） 在模型的建立中,运用最小二乘法，迭代法，借用数学软件MATLAB进行计算机求解,算法稳定、准确性高、容量大、逻辑性严格、计算速度快,具有较强的说服力与适应能力；（3） 模型充分考虑,对模型进一步分析，建立求解精度和稳定性的模型，让数据更准确；8.2 模型的缺点：（1） 模型建立过程中,由于未知参数过多，使得精确度和稳定度还不算特别好。（2） 在考虑模型畸变时，只考虑了径向畸变，却没考虑切向畸变。使得问题的考虑不是特别全面，导致误差较大。（3） 由此模型得到的结论虽然具有通用性和精确性,但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物,所以一旦将模型的结论应用于实际问题,就回到了现实世界,那些被忽视、简化的因素必须考虑,于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的参考文献【1】马颂德，张正友，计算机视觉计算理论与算法基础，北京：科学出版社，1998.【2】河南省信息产业厅，什么是电子警察？/detail_info.jsp?id=163 ， 2008-09-21 15：50：16 【3】Tsai R Y.An Efficient and Accurate Camera Calibration Technique for RecognitionC. 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