数学概念课的特征及教学原则.docVIP

羁肆蒈葿羇肅薀螄袃肄芀薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薇螁袀膁芆薄螆膀荿蝿蚂腿薁薂肀膈芁袇羆膇莃蚀袂膆蒅袆螈膅薇蚈肇膅芇蒁羃芄荿蚇衿芃蒂葿螅节膁蚅螁芁莄薈肀芀蒆螃羆艿薈薆袂艿芈螂螈芈莀薄肆莇蒃螀羂莆薅薃袈莅芅螈袄羂蒇蚁螀羁蕿袆聿羀艿虿羅罿莁袅袁羈蒃蚈螇肇薆蒀肅肆芅蚆羁肆蒈葿羇肅薀螄袃肄芀薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薇螁袀膁芆薄螆膀荿蝿蚂腿薁薂肀膈芁袇羆膇莃蚀袂膆蒅袆螈膅薇蚈肇膅芇蒁羃芄荿蚇衿芃蒂葿螅节膁蚅螁芁莄薈肀芀蒆螃羆艿薈薆袂艿芈螂螈芈莀薄肆莇蒃螀羂莆薅薃袈莅芅螈袄羂蒇蚁螀羁蕿袆聿羀艿虿羅罿莁袅袁羈蒃蚈螇肇薆蒀肅肆芅蚆羁肆蒈葿羇肅薀螄袃肄芀薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薇螁袀膁芆薄螆膀荿蝿蚂腿薁薂肀膈芁袇羆膇莃蚀袂膆蒅袆螈膅薇蚈肇膅芇蒁羃芄荿蚇衿芃蒂葿螅节膁蚅螁芁莄薈肀芀蒆螃羆艿薈薆袂艿芈螂螈芈莀薄肆莇蒃螀羂莆薅薃袈莅芅螈袄羂蒇蚁螀羁蕿袆聿羀艿虿羅罿莁袅袁羈蒃蚈螇肇薆蒀肅肆芅蚆羁肆蒈葿羇肅薀螄袃肄芀薇蝿肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薇螁袀膁芆薄螆膀荿蝿蚂腿薁 优化课堂教学研 究 成 果数学概念课的特征及教学原则广州市从化中学 杨 仁 宽 9概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用数学概念则是客观事物中数和形的本质属性的反映，是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是本学科的精髓、灵魂，是提高解题能力的前提因此，数学概念教学是基础知识和基本技能教学的核心，应引起足够重视本文就数学概念课的特征及其教学原则作如下探讨并给出个案一、数学概念课课型的特征学习数学概念，通常应掌握名词、定义、属性、示例等要素因而使数学概念课除应符合一般新授课的要求外，还有以下主要特征：（一）体验过程的直观性数学概念的引入，应从实际出发（教材的实际、学生的知识水平及年龄实际、生活和生产实际等），以问题入手（直观具体的、本学科的、跨学科的），通过与本概念有明显联系、直观性强的实际例子，使学生在对直观、具体问题的体验中感知概念，由知觉到感觉、形成感性认识例如，引入棱柱的概念时，请同学观察桌面上的铅笔（竖着）、橡皮擦、课本，教师出示的长方体及五棱柱、六棱柱模型等，提问：是否注意到了它们在形状上都有什么共同的特点？学生观察时，教师可把模型摆在讲台上并规范地画出其中五、六棱柱的直观图，引导观察、交流后，让学生总结其的共同特征（必要时，问：是否需要修改）：有两个面互相平行；其余各面的交线也互相平行，因此各个面为平行四边形（二）提炼过程的概括性通过对一定数量感性材料的观察、分析，以归纳的方法提炼、概括出数学对象的本质属性，从知觉过渡到表象如棱柱的概念，可在前述基础上，师生共同提炼、概括，得到棱柱的下列定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱回到直观模型中具体明确，并相继给出棱柱的底面、侧面、底面的边、侧棱、顶点、棱、对角线、高，等等相应的概念（若以电脑显示动态、配色，则更醒目、更直观）（三）定义过程的严谨性提炼、概括出感性材料的本质属性，可在学生尝试、修改、补充后，在教师的引导下进行归纳，形成简明清晰、准确严谨的定义例如，在讲授“直线的倾斜角”这一概念时，可设计如下：（1）现有两个正方形(边长差别很大、给出图)，你能用三角板画出它们的对角线吗?小正方形的对角线容易画：两点确定一条直线但在画大正方形的对角线时，却陷入了困境三角板的边长不够用!鼓励学生独立思考、设计方案，S1：可用一个顶点和夹角（450）来确定，即对角线相对于正方形的一边的倾斜程度（由此产生了“用角来刻划直线的相对位置”的强烈欲望）!教师用电脑展示四个图(直角坐标系内，倾斜角分别是00、锐角、900、钝角的直线) （2）为了符合习惯，并能使坐标平面内的任何一条直线都有唯一的角与之对应，我们选择哪个角来描述直线的倾斜程度?（3）我们如何用数学语言来表述这个角呢?S1：直线L与x 轴所成的角S2反驳：直线L与x轴成四个角，这样表述不严格，应为“直线与x轴正方向所成的角”S3：L与x轴正方向所成的角也有两个，应改为“直线向上的方向与x轴正方向所成的角”师：我们学过任意角的三角函数，曾经把角的概念进行了推广，大家认为这几位同学的表述是否准确、严谨?S4：由终边相同的角的概念，为了保证坐标平面内任何一条直线都有惟一的角与之相对应，应表述为：直线向上的方向与x轴正方向所成的最小角师：是否严谨，什么是最小角?S5补充：最小正角师：这样是否全面、是否严谨？S6：当L与y轴垂直时，L没有向上的方向，无法按照这一定义找到角，是否要仿照立体几何中定义直线与平面所成的角那样，规定一下这种情况时是00角？师：你的思维很严密，不仅考虑了特殊情况，而且利用旧知识解决了新问题，值得提倡！师：好，现在的表述严谨了，直线向上的方向与x轴的正方向限定了角的两边所在的射线，最小正角给出了角的范围，这样的的表述就保证了坐标平面内的任意一条直线都有唯一的角与之对相对应我们把这个角称为直线的倾斜角请一位同学完整地叙述直线的倾斜角这个概念（四） 巩固过程的层次性数学概念形成之后，严格地逐字逐句地叙述、审核定义，通过具体例子说明概念的内涵、认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固和解题能力的形成必要时通过反例、错解等进行辨析，完成掌握概念引入棱柱的概念后，（1）结合直观图，请学生逐一说出名称（2）展示模型（底面是等腰梯形的四棱柱，但把较大的侧面置于桌面上）并问：这个几何体是棱柱吗？为什么？(变换视角判定，是)又如，得到直线的斜率公式后，可推出题组：（1）直线L过原点和点（1，1），其斜率和倾斜角分别是多少？（2）设直线L过点A（2m+3，m），B（m2，1）当m为何值时，直线L与x 轴平行？当m为何值时，直线L与y轴平行？当m为何值时，直线L的倾斜角是?（3）设点M(4，3)，N(2，15)，若直线L的倾斜角为直线MN的倾斜角的一半，则直线L的斜率是多少?通过这三个问题的解决，既使学生加深了对数学概念(倾斜角、斜率)的认识，又提高了学生的认知水平和实际操作能力!二、数学概念课教学的原则 根据数学概念课的特征，数学概念课教学有下列主要原则：（一）科学性与思想性统一的原则是指教师传授的知识、引导学生发现的共性应当是正确、可靠的，引用的事实有根据；提出的定义合情理，并且语言规范、排除歧义；概括的概念应内涵具体、外延确定；作出的论断应逻辑性强、正确无误使学生从中了解科学方法、培养科学态度在引入、概括数学概念的过程中，结合社会、生活实际及学生的思想实际，适时进行品德教育，鼓励其勤奋学习，发挥教材的内在思想性和教育功能，培养其辨证唯物主义观点（二）启发性原则是指在教学中教师要视学生为学习的主体，注重调动其学习主动性，引导他们独立思考，积极探索，生动活泼地学习通过主体内因发展思维能力，自觉地掌握科学知识和提高分析问题、解决问题的能力概念课教学中，教师应根据教学内容和学生实际提供机会、创设情景，启发学生积极、主动地思考，逐步培养学生独立思考、自主学习的能力正象波利亚所说：教师讲了什么并非不重要，但更重要千万倍的是学生想了些什么，学生的思路应该在学生自己的头脑中产生，教师的作用在于“系统地给学生发现事物的机会”如前述引入“直线的倾斜角”时的设计学习等比数列时，设计系列启发性思考题，启动学生自主的观察、归纳、概括出等比数列的概念，并把类比的数学思想方法落到实处引导学生将等差数列与等比数列进行：概念定义的类比、内涵类比、外延类比、通项公式的结构类比、概念应用中的解法类比等，使学生在类比和自主探索中学习、理解、掌握等比数列及相关概念（三）直观性与抽象性相结合的原则在概念教学中，以典型、生动、直观的事例，让学生观察、感知，使其从具体到抽象、从表象到概念、从感性认识发展为理性认识，设计不同层次的直观实例，逐步加工、抽象，形成正确、合理的数学概念其过程可描述如下：形 成 新 概 念 完 善 新 概 念一类事物（对象）的实例观 察 概 括 抽 象 比 较 深 化 创 造1 创 造2共同的本质属性此类事物的共同属性扩充（改组）原有认知结构新的知识结构（网络）树图明确新概念的外延区别于已知的有关概念例如，在“数列的极限”概念课教学时，可设计下列六个层次层次一，观察（感性）：观察数列中各项的值在数轴上的变化情况；观察此数列的共同属性：当项数n无限增大时，各项向A越来越靠近；层次二，抽象：抽象出 有极限的含义：当n无限增大时，与A越来越接近（定性）；借助差值|A |考察：当n无限增大时，与A的接近程度（定量）层次三，定义（理性）： 描述性定义（略）；数列极限的N 逻辑性定义）层次四，理解概念 常数A是客观存在且惟一的； 正数具有相对的固定性（某一时刻）和绝对的任意性（全过程而言），且的绝对任意性由它的无数个相对的固定性来表现！层次五，正例巩固、反例辩析层次六，运用概念：判断、证明等（四）循序渐进原则是指在数学概念教学中要按照学科的逻辑系统和学生认识发展的顺序进行，使学生系统地掌握基础知识、基本技能，形成严密的逻辑思维能力新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善有些概念，由于其内涵丰富、外延广泛等原因，教学中很难一步到位，需要分成若干个层次，循序渐进、逐步加深和提高例如，三角函数的定义，经历了“直角三角形内的定义锐角的坐标法定义003600间的角的三角函数定义任意角的三角函数定义”四个循序渐进、不断深化，最终成为“从一个角的集合到一个比值的集合的映射”的过程！并由此概念衍生出(1)三角函数值的符号，(2)同角三角函数关系，(3) 三角函数线，(4) 三角函数的图象和性质，(5)两角和的余弦公式，(6)复数的三角形式，(7)直线的斜率公式，(8)极坐标与直角坐标的互化等纵横交错的概念系统网络！（五）理解与巩固相结合的原则通过教学，使学生认识概念、理解概念、巩固并运用概念，是概念课教学的根本目的通过概念课教学，力求使学明了（1）此概念讨论的对象是什么？（2）概念中有哪些规定和限制条件？它们与以前的什么知识有联系？（3）概念的名称、表述的语言有何特点？与日常生活用语比较，与其他相应概念比较，有没有容易混淆的地方？应当如何强调这些区别？（4）此概念没有重要的等价叙述？为什么等价？应如何处理和运用？（5）由此概念中的条件和规定，能够归纳出哪些基本的性质？各个性质又分别由概念中的哪些因素或条件所决定？这些性质在具体运用中有何作用？能否派生出某些数学思想、数学方法吗？等等教学中常出现：学生上课似乎知道了概念，但用于解题中却屡屡出错其根源则是没能足够重视概念的理解与巩固教学中可用下列手法，设置递进式题组，促使学生理解、巩固数学概念(1)在释疑或改错练习中理解和巩固概念根据数学概念的内涵，编拟改错练习，辨析正误、巩固概念如复数中概念多，学生习惯于用实数性质解题的现象，可编拟下列例 下列命题正确吗？为什么？ 两复数不能比较大小； 两复数相等的充要条件是其模与幅角主值都相等；若实系数一元二次方程的两根共轭，则有0，等等(2)在引入的合理性中理解和巩固概念数学概念所反映的对象是观存在的，经历了具体抽象具体的过程，从而使概念具有合理性如异面直线，先从具体到抽象；欲确定两条异面直线的位置、方向差异，就涉及距离和角度，又从抽象到具体凡涉及位置、方向差异的概念，仅当它们存在且唯一时，方可定义(3)在定义方式的类比中理解和巩固概念数学概念的定义方式，除常见的是“种 + 类”型外，还有发生式定义（旋转体等）、关系式定义（对数函数等）、约定式定义、结构式定义（幂函数等）等弄清定义方式既是理解概念的重要方面，又可有效预防对概念的片面诠释（4）在变式或变式图练习中理解和巩固概念如用均值不等式求最值时，可根据“正数、定值、相等”，设计三类变式题组训练，增强学生对条件的重视，克服盲目性、提高准确性（5）在概念系统化中理解和巩固概念依据概念的外延，在“概念块状网络图”的从属关系中巩固概念如根据函数的外延可得到：单值函数（中学定义）单值函数初等函数其他单值函数初等代数函数初等超越函数有理函数无理函数指数函数对数函数幂函数三角函数反三角函数函数又如立体几何中“所成角”的概念，统归于两条相交直线所成的角等等，以使学生的学习收到“书本越读越薄、概念越学越清、知识越来越精、实践越用越活”的良好效果三、数学概念课教学的案例 根据数学概念课的特征及教学原则，设计概念课函数的概念案例如下课题 函 数 的 概 念教材分析 函数是中学数学的主线、基础，函数的教学分为两个阶段：在初中，初步掌握了函数的传统定义及表示法，讨论过一些常见的函数；在高中，运用集合、对应的思想概括出函数的近代定义学好函数的有关概念，是学好高中数学内容的前提，也是进一步研究函数性质及应用的基础本节需两课时，本课时为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域的求法等（第二课时：复习函数的概念、函数的三种表示、求较复杂的函数的定义域、值域、分段函数的概念、函数图象的作法等），本课的教学重点是：函数的概念、符号表示等；教学难点有二：一是用映射定义函数的探索过程二是对函数符号y=f（x）的理解教学目标 1、认知目标：用集合、映射的思想正确理解函数的概念，掌握函数的三要素及函数符号y=f（x）的具体含义，会求较简单的函数的定义域2、思维目标：培养学生观察、分析、推理及从特殊到一般、从具体到抽象的逻辑思维能力，通过实例培养学生初步运用函数分析、处理实际问题的能力3、情感目标：创设问题情景，激发学生观察、分析、探索的学习热情，强化学生的参与意识通过求函数的定义域、判断两个函数是否同一函数，培养学生严谨的学习态度；通过函数所反映的量与量之间的相互关系，培养学生的辩证唯物主义观点教学重点：函数概念的引入、对函数三要素及函数符号y=f（x）的理解教学难点：用映射定义函数的过程对函数符号y=f（x）的理解 教学方法：“启发 + 主体参与” 教学过程 (使用多媒体或投影仪，S表示多个学生，T表示教师) 1 创设情景，感知概念：T：我们在初中学过函数，都有哪些呢？S1：正比例函数y=kx（k0）；反比例函数y=k/x（k0）S2补充：还有一、二次函数y=kx+b（k0）、y=ax2+bx+c(a 0)T：初中对“函数”是怎样描述的？S3：我记得是这样的在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有一个值与它对应，那么就说y是x的函数（x是自变量）说得对！自变量x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的取值范围叫做函数的值域T：（电脑打出上述内容）分析此描述，它实际上就是在两个非空数集之间的某种对应关系这与我们学过的什么概念类似？S：映射T：对！那什么叫映射？你能具体点吗？S：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法规f ，对于A中的任何一个元素，在B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作 f ：AB如x与y对应（xA，yB）（电脑显示：三对对应中，由学生判断两对是映射，另一对不是具体略）2 分化其本质，提炼概念T：将上述对函数的描述与映射的定义比较，你发现了什么？谁想到了先说S：它们都反映了一种对应关系T：那么这两种对应关系的构成有什么相同点和不同点呢？S：它们均由两个非空集合及对应法则构成，即任意的x对应唯一的y其不同点是：函数中x、y的取值范围是非空的数的集合，而映射中的A、B可以是任意集合T：没错！映射与函数又有什么关系呢？S：我认为映射包含了函数，函数是特殊的映射 T：你有见解！你能用映射给函数下一个定义吗？3 抽象并概括，形成概念S：函数是两个非空数集合间的映射 T：你能否说得更具体、更准确一些吗?S：设集合A、B是非空数集，如果对于A中的任何一个x值，在B中都有唯一的y值与它对应，那么从集合A到集合B的映射f：AB叫做函数T：原象集A叫做函数的? (定义域)，函数值的集合C（象集）叫做函数的? (值域)，显然CB（电脑打出函数的完整定义，并将定义域、值域，f用红色显示，既突出其主体地位，又为形成函数的三要素作铺垫） 4 基础性练习，理解概念T：现在分析二次函数y=x22，看它的定义域、值域分别是什么？若把它看作是A到B的映射，A、B又怎样确定？S：定义域为R，值域C=x|x2，A=R，B可取包含C的任意集合，如R、x|x3、x|x8，甚至是值域C也可以 T：也就是说，B是一个包含值域C的不定集合，为了研究的方便,我们通常将B取为值域C，函数就是定义域到值域的映射 T：既然函数是定义域到值的映射，那么你能说出函数由哪些部分构成吗？S：由定义域、值域及定义域到值域的对应法则三部分组成 T：很好！你是如何知道的? S：因为函数是一种映射，而映射是由三部分组成的T：补充得对，应该这样联想、比较！函数的这三部分就是函数的三要素，为了方便，我们把这三个要素用一个式子y=f（x）来表示(电脑显示)：y=f(x)xA,yC时，定义域A到值域C的映射f：AC称y是x的函数T：y=f（x）只是一种数学符号,不一定就是解析式，更不是积f（x）！T：y=f（x）表明对于定义域中任意x,在对应法则f的作用下，得到y的唯一确定的值！可见，对应法则孕育了x与y之间的关系，它是联系x与y的纽带，从而说明f是函数的核心请具体说出函数y=2x3（xR），y=x2（xR）中的对应法则（略）T：为区别有着不同对应法则的函数，还将用y=g（x），y=F（x）等等来表示它们5 提高性练习，巩固概念T：上述f（x）=2x3，g（x）=x2是相同的函数吗？为什么？S1：不同，因为对应法则不同T：那么要认定两函数是否相同，你认为用什么标准去判定？S1：为因函数有三要素，所以定义域、对应法则、值域分别相同的两函数才是相同的函数S2：可不用三个要素因定义域、对应法则确定后，值域也随之确定了，所以只需定义域、对应法则相同就行了T：很好！又如何判定两函数不同呢？S：只需判定定义域、对应法则、值域有一要素不同就可以了T：回答得很好由此进一步说明，f不但给出了函数关系，而且不同的f给出了不同的函数，f是函数关系的本质、核心！例1 下列各对函数中是否是相同的函数对（A）y=x与y=；（B）y=；与y=|x|；（C）y=与y=（分组讨论、交流）T：（B）是y=，它与y=|x|还是同一个函数吗?S1：不是的，因为自变量不同 S2：是的，因为它们的定义域和对应法则都相同 T：这说明了什么呢？S：函数中的变量，不管用什么样的字母表示都可以例2 设函数f（x）=3x+5（xR），求f（3）、f（0）、f（1）、f（2）、f（a）及函数的值域S：（值域为R，过程略）T：当aA时，f（a）是什么含义？它与f（x）有何关系？与值域呢？S：f（a）表示x=a时的函数值，比如f（3）=4；而f（x）是xA时的任意函数值5 课堂讨论，应用概念T：为了更好的体会函数中三个要素之间的相互关系，我们来做下列变式训练（电脑打出）： 变式1 求函数f（x）=3x5的值域当0x2时；当x3,2,0,2,3时变式2 对函数f（x）=3x5当值域分别为5，11；5,8,2时，求此函数的定义域变式3 设函数f（x）=3x5试求f（a1）；f（4x1）（学生讨论，略）6 课堂小结，储存概念电脑打出，请同学回答：（1）什么叫函数？（2）函数的三要素是什么？（3）y=f(x)的数学含义是什么？课外作业（略）教 学 设 计 说 明 1、本课教学过程按“五流程、四阶段”设计五流程是：概念的体验概念的提炼概念的形成概念的巩固概念的应用四阶段是：（1）（感知阶段）提供感性认识材料，形成对概念的感性认识，通过辨认，对各种属性加以分化（2）从不同的角度和侧面去分析比较，舍弃非本质属性，分化出概念的本质属性，形成对概念的理性认识（3）（概括阶段）给概念下定义，明确概念的内涵和外延（4）（应用和强化阶段）运用概念，使概念具体化、纳入概念系统，形成新的认知结构，达到概念的掌握 2、函数是抽象性很强的概念，对它的透彻理解非一朝一夕能达到，设计函数课的教