复数域和实数域上多项式.doc

辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第4.6.8页蚅螆膅节莅蕿肀莁蒇螄羆莀蕿薇袂荿艿螂螈荿蒁薅膇莈薃袁肃莇蚆蚄罿莆莅衿袅莅蒈蚂膄蒄薀袇肀蒃蚂蚀羆蒃莂袆袂聿薄蚈袈肈蚇羄膆肇莆螇肂肇葿羂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃膄莃螃聿膃蒅薆羅膂蚇螂羁膁莇蚄袇膁葿袀膅膀薂蚃肁腿蚄袈羇芈莄蚁袃芇蒆袆蝿芆薈虿膈芅莈袅肄芅蒀螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肀莁蒇螄羆莀蕿薇袂荿艿螂螈荿蒁薅膇莈薃袁肃莇蚆蚄罿莆莅衿袅莅蒈蚂膄蒄薀袇肀蒃蚂蚀羆蒃莂袆袂聿薄蚈袈肈蚇羄膆肇莆螇肂肇葿羂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃膄莃螃聿膃蒅薆羅膂蚇螂羁膁莇蚄袇膁葿袀膅膀薂蚃肁腿蚄袈羇芈莄蚁袃芇蒆袆蝿芆薈虿膈芅莈袅肄芅蒀螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肀莁蒇螄羆莀蕿薇袂荿艿螂螈荿蒁薅膇莈薃袁肃莇蚆蚄罿莆莅衿袅莅蒈蚂膄蒄薀袇肀蒃蚂蚀羆蒃莂袆袂聿薄蚈袈肈蚇羄膆肇莆螇肂肇葿羂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃膄莃螃聿膃蒅薆羅膂蚇螂羁膁莇蚄袇膁葿袀膅膀薂蚃肁腿蚄袈羇芈莄蚁袃芇蒆袆蝿芆薈虿膈芅莈袅肄芅蒀螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肀莁蒇螄羆莀蕿薇袂荿艿螂螈荿蒁薅膇莈薃袁肃莇蚆蚄罿莆莅衿袅 6 复数域和实数域上多项式教学目的 通过2学时的讲授，使学生基本掌握复数域、突数域上多项式的因式分解定理，熟悉n次多项式的根与系数的关系教学内容本节讨论复数域和实数域上多项式的因式分解问题，并介绍复系数多项式根与系数的关系Vite定理6.1 上的多项式的因式分解大家知道，f(x)Fx，其中degf(x)=n0，在F中f(x)未必有根但是对于f(x)Cx的情形，却有重要的定理4.6.1(代数基本定理) 任何n(0)次复系数多项式在C中至少有一个根注意到20世纪代数学的发展，这个定理叫做复数理论的基本定理更准确些远在1629年，A.Girard对它就有所预见，后来J.L.R.DAlembert ，L.Euler ，J.L.Lagrange给出过证明，C.F.Gauss在DAlembert等人工作的基础上，1799年给出了第一个实质性的证明，后来他又给出了四个证明目前，这个定理已有很多证明下面介绍基于复变函数论的一个证明，供同学们参考Liouville定理 若函数f(z)在复平面C上解析，并且有界，则f(z)必为一常值函数Liouville定理的证明可以在复变函数的教材中找到这里只指出函数f(z)在复平面C上解析的意思是：f(z)在复平面C上的每一点的导数都存在复变量函数的导数定义以及求导公式都与数学分析中实变量函数一样例如，若函数f(z)，g(z)在复平面C上解析，并且对于C上每一点z，有g(z)0，则在复平面C上也解析，并且代数基本定理的证明 假如一个n次(n0)复系数多项式f(x)在复数域中没有根，则对于复平面C上每一点z，有f(z)0由于多项式函数在复平面C上是解析的,于是函数在复平面上也解析由于，所以存在正实数r和，使得当时，而当时，连续函数在上有界m2因此，对于一切C，有于是，由Liouville定理知道，必为一常值函数，从而f(z)为一个常值函数，这与多项式f(x)的次数大于零矛盾 因此，由Bezout定理(定理4.5.2)和定理4.6.1得到推论4.6.1 每一个n(0)次多项式在复数域上必定有一个一次因式 推论4.6.2 复数域上的每一个次数大于1的多项式都是可约多项式 再由定理4.4.2，我们推得定理4.6.2(复系数多项式因式分解定理)每一个n(1)次复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解为一次因式的连乘积 因此，n次复系数多项式具有如下标准分解式， (1)这里是互不相同的复数，N *，且由标准分解式易见推论4.6.3 每一个n(1)次复系数多项式在C上有n个根(重根按重数计算) 下面举一个例子说明复系数多项式唯一因式分解定理的应用例1 设f(x)Cx对于aC，表示a在映射f下的原象设f(x)，g(x)Cx首1证明，若，且 ，则f(x)=g(x)证 设maxdegf，degg=n不妨设degf=n显然 如果能证明则由推论4.5.1得，f(x)=g(x)设多项式f(x)，f(x) -1的标准分解式分别是C；C则根据定理4.4.3，我们有，其中h(x)不能被所有整除，也不能被所有整除于是另一方面我们有=因此， 6.2 R上多项式的因式分解引理4.6.1 若是实系数多项式f(x)的一个复根，则的共轭数也是f(x)的一个复根，并且与有相同的重数因此，实系数多项式的虚数根两两成对证 设Rx，则由于f(x)是实系数的，所以，即是f(x)的一个复根若是实数，则，其重数相同当然成立设是虚数，则是实系数多项式，且g(x)|f(x)于是f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)Rx若是f(x)的重根，则是h(x)的根，从而也必为h(x)的根因此，也是f(x)的重根进而，由数学归纳法易见与有相同的重数 现在，我们来证明定理4.6.3(实系数多项式因式分解定理) 每一个n(1)次实系数多项式在实数域上都可以分解为一次因式与二次不可约因式的连乘积证 对n用第二数学归纳法证明当n=1时，定理当然成立假设定理对次数n的多项式已经证明，那么对于n次实系数多项式f(x)，由代数基本定理，它有一个复根若，则，其中Rx若，则，其中Rx，且是R上的不可约多项式由于与的次数都小于n，因此由归纳假定，它们都可以分解为一次与二次不可约因式的乘积，故f(x)有如定理所述之分解据上，n次实系数多项式在R上的标准分解式为其中R；是R上不可约多项式，j=1，t；，N*由定理4.6.3，我们还得到推论4.6.4 实数域上的不可约多项式，除一次多项式外，只有含共轭虚根的二次多项式 例2 设求1) f(x)在C上的标准分解式；2) f(x)在R上的标准分解式解 的n个复根为因此f(x)在C上的标准分解式为对于R上的情形，易见是实数的充分且必要条件是=0因此，当n=2m+1时，只有一个实根，并且及于是，这时的标准分解式为；当n=2m时，f(x)只有两个实根，因而易见其标准分解式为当然，复根的计算是件复杂事，因而一般说来，C、R上多项式的因式分解也很麻烦因此，从另一侧面，我们来介绍6.3 Vite定理设是C上多项式 (2)的n个复根，则将此展开，并比较两边的系数，可以发现定理4.6.4(Vite定理) 复数域C上的如(2)所示的n次多项式f(x)的n个根与它的系数有如下关系： 证 对次数n用数学归纳法证明当n=1时，因为，所以，Vite定理正确假设定理对于n-1(1)次多项式已经证明，那么对于如(2)所示的n次多项式f(x)，令，由归纳假设，有 (4)因此，比较(2)、(5)两式中的系数，并利用(4)式得所以，即此时定理也真，故Vite定理正确 注 可以证明，Vite定理的逆命题也成立例3 设的三个根为，求作以，为根的三次多项式解 设所要求作的多项式为g(x)=x3-lx2+mx-n，则， ；所以，所要求的多项式是例4 已知的四个根成等差数列，求这四个根解 设其四根为a-3b，a-b，a+b，a+3b，则由此得到，且它们满足定理4.6.4中根与系数关系的另两式(在此n=4)，故f(x)的四个根为注 关于实系数多项式根的计算，仍有一些问题需要考察，如根的界、分离、近似计算。对此，建议同学们阅读文2，6。课外作业：P206207：2；3；4；6 螈袀肄薆袇羃芀蒂袆肅肃莈袅螅芈莄蒂羇膁芀蒁聿莇蕿蒀蝿腿蒅葿袁莅莁蒈羄膈芇薇肆羀薅薇螆膆蒁薆袈罿蒇薅肀芄莃薄螀肇艿薃袂芃薈薂羄肅蒄薁肇芁莀蚁螆肄芆蚀衿艿膂虿肁肂薁蚈螁莇蒇蚇袃膀莃蚆羅莆艿蚅肈膈薇蚅螇羁蒃螄袀膇荿螃羂羀芅螂蚂膅芁螁袄羈薀螀羆芃蒆螀肈肆莂蝿螈节芈螈袀肄薆袇羃芀蒂袆肅肃莈袅螅芈莄蒂羇膁芀蒁聿莇蕿蒀蝿腿蒅葿袁莅莁蒈羄膈芇薇肆羀薅薇螆膆蒁薆袈罿蒇薅肀芄莃薄螀肇艿薃袂芃薈薂羄肅蒄薁肇芁莀蚁螆肄芆蚀衿艿膂虿肁肂薁蚈螁莇蒇蚇袃膀莃蚆羅莆艿蚅肈膈薇蚅螇羁蒃螄袀膇荿螃羂羀芅螂蚂膅芁螁袄羈薀螀羆芃蒆螀