[理学]第四章 矩阵的运算.doc

第4章 矩阵的运算 1 矩阵的运算1. 矩阵的加法与数量乘法 设都是数域上的矩阵，令，其中 ，则称矩阵是矩阵与矩阵的和，记作。 （1） 设，令，则称矩阵是数与矩阵的数量乘法，记作。 （2） 矩阵的加法与数量乘法满足下述8条法则：（和向量的加法与数量乘法的法则类似）1 （加法交换律）；2 （加法结合律）；3零矩阵使得；4设 矩阵称为的负矩阵，记作 则 5；6；7；8。矩阵的减法： （3）2. 矩阵的乘法 设 ，令，其中是的第行的元素与的第列的元素对应相乘再相加，即 ， （4） 称矩阵为矩阵与矩阵的乘积，记作 注意：两个矩阵相乘时，必须左矩阵的列数等于右矩阵的行数。例1. 设 ，求解 例2. 设同例1，求解 ；由例2可以看出，矩阵的乘法不满足交换律，即不是对任何矩阵都满足 但也有满足的矩阵，此时称与可交换。如 由例2还可以看出，矩阵的乘法总是满足结合律：即设 ，则总有 （5） 证明 。首先与都是矩阵。 其次， 且 。所以 ，从而 例3 一行与一列也可以相乘，如设 ，则 ， 注意：在数的乘法当中，由可以推出或，即当，时总有 但这对矩阵的乘法不成立，即当都不是零矩阵时，它们的乘积可以是零矩阵。例如， ，但3。矩阵的乘法与加法适合左、右分配律：即 ； （6） 。 （7） 矩阵的乘法与数量乘法满足以下关系： （8） 例5. 设 ， ， 求与。解 ； 例5 表明：由且，推不出，这表明矩阵的乘法不适合消去律。4. 单位矩阵与数量矩阵1单位矩阵：称主对角线上的元素都是1，其余元素全为0的阶矩阵为阶单位矩阵，记为，简记为。容易验证 （9）当是阶矩阵时，有 。 （10）2数量矩阵：称主对角线上的元素都是同一个数，其余元素都是0的阶矩阵为阶数量矩阵，记为 容易验证 ，。 （11） （12）3矩阵的幂运算：对一个阶方阵，定义的幂运算如下 (个相乘)。当时，规定：。 幂运算适合下列规则： (13) 但一般来说，只有当与可交换时（即），等号才成立。5.用矩阵的运算表示线性方程组： 在第一章给出了线性方程组的第一种表示方法。 (14)在第三章给出了线性方程组的第二种表示方法： ， (15)其中是系数矩阵的列向量，是常向量。现在利用矩阵的运算可以给出线性方程组的第三种表示方法.利用矩阵的乘法运算，（14）可以写成 (16)或简单地写成 （17）其中，是由未知量构成的列向量，是系数矩阵的列向量，是常向量。（17）就是线性方程组的第三种表示方法。这种表示方法无疑是线性方程组最简单的表示方式。对齐次线性方程组则可以表示成如下简单形式： （18） 设是系数矩阵的列向量，即，比较（15）和(17)两式可得 。 (19)一般地有由此表明，的列向量都是的列向量的线性组合。如果设矩阵的行向量组为，则由此表明，的行向量都是的行向量的线性组合。6.矩阵的加法、乘法、数量乘法与矩阵的转置之间的关系 （1）； （2），； （3） （1）和（2）很明显成立，只需验证（3）成立。 2 特殊矩阵1.对角矩阵 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，其一般形式为 ， （1）简记为设是一个的矩阵，它的行向量组为，列 向量组是。则 =， （2）即用对角矩阵去左乘以矩阵，相当于用主对角线上的元素去乘以的相应的行。 同理 ，（3）即用对角矩阵去右乘以矩阵，相当于用主对角线上的元素去乘以的相应的列。 特别地，对角矩阵乘以对角矩阵还是对角矩阵： = 。2. 上（下）三角矩阵：主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵，其一般形式为 ， 即，当时，；， 即，当时，。定理1 两个阶上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵； 两个阶下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵。证明3.基本矩阵 只有一个元素为1，其余元素全部为零的矩阵称为基本矩阵。其中第行、第列的元素为1，其余元素全部为零的基本矩阵记为。 由 可推出：对一般的矩阵，有 ， （4）即任何一个矩阵都可以写成基本矩阵的线性组合，这也是为什么称为基本矩阵的原因。（类似于中的）用基本矩阵去左乘、右乘别的矩阵有其独特之处。设是一个的矩阵，它的行向量组为，列向量组是。则在第行； （5） （6） 。 在第列 （5）和（6）表明：用左乘一个矩阵，相当于把的第行搬到第行的位置；用右乘一个矩阵，相当于把的第列搬到第列的位置。 4. 初等矩阵 由单位矩阵经过一次初等行、列变换得到的矩阵都称为初等矩阵。 例如 , , 上述右边的矩阵都是初等矩阵，它们依次记作 一般有，。注意：既表示把单位矩阵的第行的倍加到第行上得到的初等矩阵，也表示把单位矩阵的第列的倍加到第列上得到的初等矩阵。而，对行和列的作用效果是一致的。 用初等矩阵去左乘、右乘别的矩阵有其独特之处。设是一个的矩阵，它的行向量组为，列向量组是。则, （7） 。 （8）（7）和（8）表明：用1型初等矩阵左乘一个矩阵，相当于把的第行的倍加到第行上去；用1型初等矩阵右乘一个矩阵，相当于把的第列的倍加到第列上去，其余列不变。 对于第2型初等矩阵，第3型初等矩阵，也有类似的结论。总结成下面定理就是： 定理2 对矩阵作一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等矩阵去左（右）乘矩阵。 5对称与反对称矩阵 如果矩阵满足，即，则称是对称矩阵。对称矩阵的一般形式： 如果矩阵满足，即，则称是反对称矩阵。 令，则有，从而有，。于是反对称矩阵的一般形式为： 3。 矩阵乘法的秩与行列式一. 矩阵乘积的秩 设矩阵的列向量组为，则由此表明，的列向量都是的列向量的线性组合。设矩阵的行向量组为，则 由此表明，的行向量都是的行向量的线性组合。由以上分析得定理1 设，则 ，；或 定理2 设是实数域上的矩阵，则 证明的依据：设是矩阵，是矩阵，如果与有相同的解，则，从而。二. 矩阵乘积的行列式 定理3 设都是阶矩阵，则证明 以的情形写出证明。设 ，。构造辅助行列式 。分别用两种方法计算的值。方法1：用拉普拉斯定理，按前两行展开得 方法2. 用初等变换法 所以，当是2阶矩阵时，成立。 课后练习题：请大家写出阶矩阵情形的证明。 定理3可以推广到多个矩阵乘积的情形： 定理4 （Cauchy公式） 设是矩阵，是矩阵。 如果，则；如果，则等于的所有阶子式与的相应阶子式的乘积之和。即 证明 如果，则 。 因此阶矩阵不是满秩的，从而。 下面设。这里给出情形的证明，证明方法类似于上面定理3的证明。一般情形请同学们自己完成。设 ， 。构造辅助行列式。分别用两种方法计算的值。方法1. 用初等变换法 方法2：用拉普拉斯定理，按前两行展开得 所以，当时， 4。可逆矩阵 1.矩阵可逆的定义 对于数域上的矩阵，如果存在数域上的矩阵使得 ， （1）则称矩阵是可逆矩阵（也叫非奇异矩阵）. 注 （i）从（1）式看出，与可交换。因此可逆矩阵一定是方阵。（ii）如果是可逆矩阵，则适合（1）式的矩阵是唯一的。理由如下：根据以上唯一性，我们把满足（1）式的矩阵称为的逆矩阵，记为。于是有 . （2） 2. 矩阵可逆的必要条件 定理1 如果是可逆矩阵，则的行列式。 证明 3. 逆矩阵的求法一： 伴随矩阵法 伴随矩阵的定义：给定矩阵，是的代数余子式，称以下矩阵 为的伴随矩阵，记为。即 。 （3） 注意：在中的摆放顺序与在中的摆放顺序正好相反，即位于中的第行、第列的位置，而位于中的第行、第列的位置。 利用行列式的性质（见第二章），有 （4） 同理有 （5）于是，如果，则从（4）和（5）得出 ， （6）从而是可逆矩阵。定理2 数域上的阶矩阵可逆的充分必要条件是 ；且当可逆时， （7） 定理2给出的求逆矩阵的方法称为伴随矩阵法。 例1 设 ， 判断是否可逆；如果可逆，求出逆矩阵。 解 首先 ， 所以是可逆的。其次，求出：，。 。 最后，求出： 从定理2还可以推出阶矩阵可逆的其它一些充分必要条件。推论3 阶矩阵可逆的充分必要条件是（称为满秩矩阵）。推论4 阶矩阵可逆的充分必要条件是的行（列） 向量组线性无关。推论5 阶矩阵可逆的充分必要条件是的行（列） 向量组为的一个基。推论6 阶矩阵可逆的充分必要条件是的行（列）空间等于。 以下给出判别一个矩阵是否可逆的简便方法命题7 设与都是阶矩阵，如果（或者），则与都是可逆矩阵，并且。注意：命题7表明，当与都是阶矩阵时，判断，是否可逆，只需检验或者之一成立即可，而不必象定义要求的那样两者都要成立；另外，要求与都是阶矩阵这一条件不能少；4. 初等矩阵的可逆性例2 判断初等矩阵是否可逆？如果可逆，求出它们的逆矩阵。解 因为 ， 所以，可逆，且 同理，由，可得 由 ，可得 。例2表明，初等矩阵都可逆，并且它的逆还是同类型的初等矩阵。 5. 可逆矩阵的性质 性质1 单位矩阵可逆，并且。 性质2 如果可逆，则也可逆，并且 。 性质3 如果阶矩阵都可逆，则也可逆，并且 .性质3可推广到多个矩阵乘积的情形： 性质4 如果可逆，则也可逆，并且 。 性质5 可逆矩阵经过初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵一定是单位矩阵。例如，前面矩阵可逆，.性质6 矩阵可逆的充分必要条件是可以表示成一些初等矩阵的乘积。 比如，上面初等行变换的过程可表示为 ，, ，, 。合并在一起就是，简记为, 由此得 , 这就是性质6的意思。性质7 用一个可逆矩阵去左（右）乘矩阵，不改变 的秩。即若可逆，则 .6. 逆矩阵的第二种求法：初等变换法 设可逆，则有初等矩阵使得 （*） 从而有 即 （*）将（*）和（*）合并在一起相当于 上式表明，如果用一系列初等行变换把化成了单位矩阵, 则同样的这些初等变换就把化成了. 即 。 这种方法称作初等变换求逆法。例3 用初等变换法求下面矩阵的逆矩阵 解 . 因此， 。 例4 解矩阵方程，其中 ，。解 。只需求出。于是也可以这样：5 矩阵的分块 P54例1有， ，其中分别是阶、阶方阵，是的矩阵，是的零矩阵。将上述分块行列式写成矩阵形式就是分块矩阵 。1.分块矩阵的定义 由矩阵的若干行、若干列的交叉处的元素按原来的顺序排成的矩阵称为的子矩阵。把矩阵的行分成若干组，列也分成若干组，从而被分成若干子矩阵，把看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的分块。这种由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵。 例如，再比如，前面出现过的把矩阵按行、按列划分：， 就是一种最简单的矩阵分块方式。 2.分块矩阵的加法、数量乘法和乘法（1）分块矩阵的加法：两个分块矩阵只要有相同的分块方式，则它们相加时，只需将对应的子矩阵相加。（2）分块矩阵的数量乘法：用数乘一个分块矩阵，只要用去乘每一个子矩阵。（3）分块矩阵的乘法（比较复杂）：需要左矩阵的列的分块方式与右矩阵的行的分分块方式一致才可以相乘，例如 ， ， 则 。 另外还要特别注意：子矩阵之间的乘法应当是左分块矩阵的子矩阵在左边，右分块矩阵的子矩阵在右边，不能颠倒次序，因为矩阵的乘法不满足交换律。3分块矩阵乘法举例例1 设是的矩阵，是的矩阵，的列向量为 ，则。例2 设，的列向量为，则 都是齐次线性方程组的解。 利用例2可以解决许多有关两个矩阵相乘等于零的问题，如P142习题4.5中的1,2,3,4,5,8,9,10题。 4分块对角矩阵：主对角线上的所有子矩阵都是方阵，其余子矩阵全为0的分块矩阵称为分块对角矩阵，形式为 ，其中都是方阵，上述分块矩阵可简写为。 分块上三角矩阵：一般形式如下，其中都是方阵。类似的有分块下三角矩阵。 分块矩阵的转置：分块矩阵求转置时，不仅要行、列交换， 而且要把每个子矩阵转置。例如 ，。 5分块矩阵的初等变换 下述三种变换称为分块矩阵的初等行变换： 1把一个块行的左倍（是矩阵）加到另一个块行上，如 ； 2两个块行互换位置：；3用一个可逆矩阵左乘某一块行：。 类似的有分块矩阵的初等列变换，但要注意，这时1型和3型都要改为右乘。如 。 分块初等矩阵：分块单位矩阵（即把单位矩阵分块得到的矩阵）经过一次分块矩阵的初等行、列变换得到的矩阵称为分块初等矩阵。例如， 则就是一个分块初等矩阵。类似地， 也是。 与不分块的矩阵作初等变换的情形类似，对一个分块矩阵 作分块矩阵的初等行变换，相当于用一个相应的分块初等矩阵左乘；对一个分块矩阵作分块矩阵的初等列变换，相当于用一个相应的分块初等矩阵右乘。 例如，前面分块矩阵的初等行变换： 写成等式就是 ； 相当于 ； 相当于 。而分块矩阵的初等列变换 ， 相当于，。 利用分块矩阵的初等变换能解决很多复杂的矩阵计算问题。 例如前面矩阵乘积的行列式公式证明相当复杂， 特别是对阶矩阵情形。但是如果用分块矩阵的初等变换的方法证明就很简单。从分块矩阵出发，作一次初等行变换： 相当于 。两边取行列式得 ， 即 ， 也就是。 再比如，书上例4，设分别是的矩阵，证明 。 证明 作分块矩阵的初等变换 相当于 。上式两边取行列式得 。 由此得 即 。 注意：这里的证法是用作初等行变换将下面的化成0，当然也可以用作初等列变换将右边的化成0来证明。甚至还可以用作初等行变换将上面的化成0，或者用作初等列变换将左边的化成0，从而得到P143中第16题的结果： 。再结合例4的结果，又得到P143中第17题的结论： 。当时，相当于对任何阶矩阵都有 。请记住这一结论。 6 正交矩阵欧几里德空间 设，是中的单位向量（即长度为1）： ， （1） 并且与互相垂直，即 ， （2） 将（1）（2）中的式子合并在一起就是 这相当于 。 1. 正交矩阵的定义 实数域上的方阵如果满足 ， （3） 则称为正交矩阵。由定义1可得出实数域上的方阵是正交矩阵 ； 可逆，并且； 。 例1 判断下面矩阵是否是正交矩阵： ，其中是实数。2. 正交矩阵的性质 （1）是正交矩阵； （2）若都是正交矩阵，则也都是正交矩阵； （3）若是正交矩阵，则（即）也是正交矩阵； （4）若是正交矩阵，则或。 定理1 设实数域上的阶方阵的行向量组为；列向量组为，则 （1）为正交矩阵当且仅当的行向量组满足 （4）（2）为正交矩阵当且仅当的列向量组满足 （5） Kronecker 符合 （6）为正交矩阵，； （7） ，。 （8）3.内积的定义 在