数学建模综合练习.doc

袃膁莃螇羆羃艿螆螅腿芅螅袈肂薄螄羀芇蒀螃肂肀莆螂螂芅节袂袄肈薀袁羇芄蒆袀聿肇莂衿衿节莈蒆羁膅芄蒅肃莀薃蒄螃膃葿蒃袅荿莅蒂羇膁芁薁肀羄蕿薀蝿膀薅薀羂羃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃薇袆芆薂薆羈聿蒈蚅肁芅莄蚄螀肇芀蚄袃芃膆蚃肅肆薄蚂螄莁蒀蚁袇膄莆蚀罿荿节虿肁膂薁螈螁羅蒇螈袃膁莃螇羆羃艿螆螅腿芅螅袈肂薄螄羀芇蒀螃肂肀莆螂螂芅节袂袄肈薀袁羇芄蒆袀聿肇莂衿衿节莈蒆羁膅芄蒅肃莀薃蒄螃膃葿蒃袅荿莅蒂羇膁芁薁肀羄蕿薀蝿膀薅薀羂羃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃薇袆芆薂薆羈聿蒈蚅肁芅莄蚄螀肇芀蚄袃芃膆蚃肅肆薄蚂螄莁蒀蚁袇膄莆蚀罿荿节虿肁膂薁螈螁羅蒇螈袃膁莃螇羆羃艿螆螅腿芅螅袈肂薄螄羀芇蒀螃肂肀莆螂螂芅节袂袄肈薀袁羇芄蒆袀聿肇莂衿衿节莈蒆羁膅芄蒅肃莀薃蒄螃膃葿蒃袅荿莅蒂羇膁芁薁肀羄蕿薀蝿膀薅薀羂羃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃薇袆芆薂薆羈聿蒈蚅肁芅莄蚄螀肇芀蚄袃芃膆蚃肅肆薄蚂螄莁蒀蚁袇膄莆蚀罿荿节虿肁膂薁螈螁羅蒇螈袃膁莃螇羆羃艿螆螅腿芅螅袈肂薄螄羀芇蒀螃肂肀莆螂螂芅节袂袄肈薀袁羇芄蒆 数学建模学习辅导第一章 数学建模方法论 本章重点：数学模型、数学建模、数学模型的作用和特点、建模基本过程、问题分析、合理假设常用建模方法、机理分析法、类比建模法、图示法、微元法、平衡原理、数据分析法、人口增长模型结论、分支定界法、均衡价格结论、存储模型（确定型）结论、货币的时间价值终值与现值公式、年金的终值与现值公式 复习要求：1了解数学模型与数学建模，理解数学模型的作用与特点 对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，在做出问题分析和一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构就称为该特定对象的数学模型. 依据下述的几个基本步骤建立数学模型，这个全过程便称为数学建模.第一步：根据现实对象的背景和要求进行问题分析； 第二步：根据问题的要求和建模目的作出合理的简化假设；第三步：根据问题分析与假设，利用相应的物理的或其它有关规律建立起现实对象的数学表达式建立数学模型；第四步：使用相应的数学方法求解数学模型以给出现实对象的数学解决模型求解；第五步：对模型的解给予检验和解释模型分析（包括检验、修改、应用和评价等）；注意：（1）若所得的解不符合实际，则所建数学模型有错误，应推倒重建.这是数学建模完全可能出现的情况，其产生原因往往是问题分析错误或假设不合理所至.（2）这五步构成了数学建模的一个个流程，其目的是指导我们更好地进行建模实践，其应用是可以有弹性的，切勿生搬硬套. 也就是说，不是每个建模问题都要一个不差地经过这五个步骤，其顺序也不是一成不变的.一个具体建模问题要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关. 数学模型的作用和特点：（1）数学建模不一定有唯一正确的答案.（2）数学建模没有统一的方法.（3）模型的逼真性与可行性.（4）模型的渐进性.（5）模型的可转移性.2掌握建模基本过程，会对实际问题进行问题分析，善于合理假设 问题分析也常称为模型准备或问题重述由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响 模型假设（即合理假设）是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步. 这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然，假设作得不合理或过份简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素3熟练掌握建模常用方法，会使用类比方法、平衡原理与微元法以及数据分析法对比较简单的实际问题进行建模与分析 建模常用的方法：(1) 机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法. (2) 类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决. 实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.(3) 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配. 注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.(4) 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理这类模型基本上是以微分方程的形式给出的(5) 图示法是利用几何图示建模. 有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可. 这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.(6 ) 数据分析法(基于测试数据的经验模型)的基本流程如下： 给出实际调查数据.调查的数据一定要具有充分的代表性，可以通过系统抽样、分层抽样等抽样方法获得样本数据. 另外，样本容量也不要太小，否则所得结果不具有代表性. 将样本数据绘制成数据散布图. 这是对数据进行分析最有效的第一步.为此，务必使用坐标纸绘制以求图象准确，为进一步的分析打好基础.当然能利用计算机绘制更好. 对散布图进行分析.这一步往往可获得对所表达变量关系的一定认识，形成初步看法，确定整体数据结构是否脱离实际.若所反映实际现象与散布图出现太大差距，则这批数据应当废弃. 根据散布图分析结果选择相类似函数关系，采用适当方法建立经验公式.这里也同样有一个简单化原则：即在满足问题精度要求的前提下，尽量选择形式简单的数学表达式. 模型分析、检验与修改.由于经验模型本身具有不确定性，并且这类模型的作用也常常是为了对所关心系统做出某种预测、控制. 因此，检验其结果的合理性，误差分析和修改模型等是必要的.4掌握人口增长模型、分支定界法、均衡价格、确定型存储模型、货币的时间价值等问题的结论，会用它门解决相关问题(1)人口增长模型结论 假设开始时的人口数为，那么人口增长模型的初值问题为模型的解为：模型修改后的阻滞增长模型或罗捷斯蒂克模型（Logistic）：其中为自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量.该模型的解为： (2) 分支定界法的基本思路是： 先求问题的解，若恰为整数解则停，否则转下一步； 以上述解为出发点，将原问题分解为两个支问题所谓“分支”，且每一支问题各增加一个新条件所谓“定界”. 求解支问题，并对新的非整数解问题再分支、定界，直到求得整数解.(3) 均衡价格结论设p是商品价格，表示商品需求量且仅与价格p有关，即= (p)，但. 一般设为p的线性函数（线性化）式中均为正常数，b该商品的社会最大需求量. 同理，设表示供给函数，并且式中均为正数，为厂方可能接受的最低价格.写成是因为商品的生产需一定的时间(一个生产周期)，价格对商品的供给量的影响有一定的滞后作用.则均衡价格为：设是该商品的初始价格，通过递推过程得到 当初始价格恰好为时，由上式知，对任意有称为静态均衡价格.可见，若初始价格为静态价格，则价格始终不变，整个供给过程变为静态. 当初始价格不是均衡价格时，随时间的推移而变化，供给过程变成一个动态过程. 若，由于越来越小，价格会越来越接近于均衡价格；若，由于无限增大，价格会逐渐远离静态均衡价格；若，由于不确定而使价格在均衡价格上下波动.(4) 存储模型（确定型）结论设商品每天销售量为常数R，商品的进货时间间隔为常数T ，且进货量为常数Q，进货一次手续费也是常数，单位商品存储费元/天. 又设开始时的库存量为Q，到第T天时库存量降为零.且销售是连续均匀的，故在周期内平均存量为/2.于是平均每天的支出为因为Q=RT，于是 模型的解（最优进货量）为：上式为存储论中著名的经济订购批量公式，简称EOQ(Economic Ordering Quantity)公式.(5) 货币的时间价值终值与现值公式货币用于存银行，会随着时间的推移产生效益，从而使货币增值，这就是货币的时间价值.衡量货币时间价值的两个常用概念是货币的终值与现值.在复利计息情形，若本金为P，利率为R，期数为n，则到n期末，本利和为其中的S即为货币P的终值.反之，现在手中的多少钱存银行n期就可以变成S元呢? 显然有这里的Q称为货币S的现值，亦即n期末的S元相当于现在的Q元. (6 )年金的终值与现值公式当投资行为是周期性的(如零存整取储蓄)，即把投资期限分为时间相同的若干期，在每期的开始或结束时投入数量相同的本金，这类投资问题在金融行业称之为年金问题，每期投入的本金称为年金.年金的终值设每期发生在期初的年金数为A，每期利率为R，表示n期的本利和，那么第一期投入A到n期末成为. 第二期年金仍为A，但只存了n-1期，到n期末成为，依此类推，到第n期的年金A便只存一期，到期末本利和为. 上述各期本利和的总和即为发生在期初的年金A的终值，利用等比数列前n项和公式即得为同理可推导发生在期末的年金的终值(每一期年金都比发生在期初的少存一期)应为年金的现值设发生在期初的年金数为A，则第一期的现值就是A，第二期的现值为，最后一期的现值为，于是年金A的现值总和同理有发生在期末的年金A的现值总和 典型例题 一、填空题：1设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 .解：根据现值计算公式：（万元）应该填写：12.2783万元2设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 .解：根据终值计算公式：=（万元） 应该填写：32.5779 3所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 . 解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析 4设某种商品的需求量函数是而供给量函数是，其中为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 . 解： 由商品的均衡价格公式：应该填写：80. 5一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 . 解：根据经济订购批量公式： 应该填写： 二、分析判断题 1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决 解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益 （2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等 （3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料 （4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型 2. 一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种 解：（1）车流的密度 （2）车的行驶速度 （3）道路的宽度 （4）行人穿越马路的速度 （5）设置斑马线地点的两侧视野等 3怎样解决下面的实际问题包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等 （1）估计一个人体内血液的总量 （2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额） （3）估计一批日光灯管的寿命 （4）确定火箭发射至最高点所需的时间 （5）决定十字路口黄灯亮的时间长度 （6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划 （7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收 （2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率 （3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间 （4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果 （5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t（S1+S2）/vS1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响 （6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新 （7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层） 4为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题： （1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点为什么？ （2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？ （3）某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟问他步行了多长时间解：（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇 （2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，那么从乙站到甲站经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29， （3）步行了25分钟设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55三、计算题1下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少解：人、猫、鸡、米分别记为i=1, 2, 3, 4，当i在此岸时记xi=1，否则记xi=0，则此岸的状态可用s=（x1, x2, x3, x4）表示记s的反状态为s=（1-x1, 1-x2, 1-x3, 1-x4），允许状态集合为S=（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态 决策为乘船方案，记作d =（u1, u2, u3, u4），当i在船上时记ui=1，否则记ui=0，允许决策集合为D=（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0） 记第k次渡河前的状态为sk，第k次渡河的决策为dk，则状态转移律为sk+1=sk+（-1）kdk，设计安全过河方案归结为求决策序列d1, d2, , dnD，使状态snS按状态转移律由初始状态s1=（1, 1, 1, 1）经n步到达sn+1=（0, 0, 0, 0）一个可行方案如下：k12345678skdk(1,1,1,1)(1,0,1,0)(0,1,0,1)(1,0,0,0)(1,1,0,1)(1,0,0,1)(0,1,0,0)(1,0,1,0)(1,1,1,0)(1,1,0,0)(0,0,1,0)(1,0,0,0)(1,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)xtOx0xm指数模型Logistic模型 2假定人口的增长服从这样的规律：时间t的人口为x (t)，t到t+Dt时间内人口的增长与xm- x(t)成正比（其中xm为最大容量）试建立模型并求解作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较 解 ，r为比例系数,，解为，如图1中粗实线所示当t充分大时，它与Logistic模型相近 图1 3在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1试用比例方法构造模型解释这个现象 （1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素cwO （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小解释实际意义是什么？ 解：（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w和s无关的成分又因为形状一定时一般有sw2/3，故商品的价格可表为C = aw+b w2/3+g（a，b，g为大于0的常数） （2）单位重量价格，其 图2wad简图如图2所示显然c是w的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的,说明单价的减少值随包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品 4用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条 不重叠，问布条与管道轴线的夹角a应多大（如图3）若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响） 如果管道是其它形状呢？ 解：将管道展开如图4，可得，若d一 图3awpd定，；，若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为，若考虑两 端的影响，则应加上对于其它形状管道，只需将 改为相应的周长即可 5建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr在每一生产周期T内，开 图4qtOT0Tk-rr始的一段时间（0tT0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0tT）只销售不生产，画出贮存量的图形设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期讨论kr和k r的情况 解： 贮存量的图形如图5单位时间总费用，使达到最小值的最优周期 图5 当k r时，相当 于不考虑生产的情况当k r时，因为产量被销量抵消，无法形成贮存量 四、综合应用题 1试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题 （ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤） 解：问题分析 所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的 模型假设 (1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形；ABDC(A)(B)(C)(D)xyoq (2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面； (3) 地面是相对平坦的，在任何位置，至少有三个桌腿同时着地 模型建立 如图6，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A，C两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度有关注意到假设3，设A，B两个桌脚与地面距离之和为，另外两个桌脚与地面距离之 和为则与中至少有一个为零，当 图6时不妨假设又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题： 已知则，使得 上述命题即为所建立的数学模型 模型求解 将桌子旋转，则A、B两点与D、C两点恰好交换位置由假设便有，又由前述假设， 令则有由于的连续性知也是连续函数依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度，使得，即又根据成立，故有 模型分析 由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略 2试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一