《函数的连续性》doc版.doc

数学分析教案膀蒀罿袃蒈蒀蚈聿蒄葿袁袂莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁蒅袇羈莇薄羀膄芃薄虿羇腿薃螂膂肅薂羄羅蒃薁蚄芀荿薀螆肃芅蕿袈艿膁薈羀肁蒀蚈蚀袄莆蚇螂肀节蚆袅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒃蚃衿膆荿蚂羁罿芅蚂蚁膅膁螁螃羇葿螀袆膃莅蝿羈羆莁螈螈芁芇莅袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈莂螄芈芄蒁袆肁膀蒀罿袃蒈蒀蚈聿蒄葿袁袂莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁蒅袇羈莇薄羀膄芃薄虿羇腿薃螂膂肅薂羄羅蒃薁蚄芀荿薀螆肃芅蕿袈艿膁薈羀肁蒀蚈蚀袄莆蚇螂肀节蚆袅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒃蚃衿膆荿蚂羁罿芅蚂蚁膅膁螁螃羇葿螀袆膃莅蝿羈羆莁螈螈芁芇莅袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈莂螄芈芄蒁袆肁膀蒀罿袃蒈蒀蚈聿蒄葿袁袂莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁蒅袇羈莇薄羀膄芃薄虿羇腿薃螂膂肅薂羄羅蒃薁蚄芀荿薀螆肃芅蕿袈艿膁薈羀肁蒀蚈蚀袄莆蚇螂肀节蚆袅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒃蚃衿膆荿蚂羁罿芅蚂蚁膅膁螁螃羇葿螀袆膃莅蝿羈羆莁螈螈芁芇莅袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈莂螄芈芄蒁袆肁膀蒀罿袃蒈蒀蚈聿蒄葿袁袂莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁蒅袇羈莇薄羀膄芃薄虿羇腿薃螂膂肅薂羄羅蒃薁蚄芀荿薀螆肃芅蕿袈艿膁薈羀肁蒀蚈蚀袄莆 第四章 函数的连续性 教学目的：理解与掌握一元函数连续性的定义（点，区间），间断点及其分类，连续函数的局部性质，理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质;了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。教学内容：1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；3、初等函数的连续性。教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明 。 教学时数：14学时 连续性概念 （4学时）教学目的：使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。教学重（难）点：函数连续性概念。教学方法：讲授为主。一函数在一点的连续性 函数在点连续的定义定义（在点连续）设函数在某内有定义，若，则称在点连续。注 ，即“在点连续”意味着“极限运算与对应法则可交换。例子例在处连续。例。例讨论函数在点x=0处连续性。函数在点连续的等价定义） 记号：自变量在点的增量或改变量。设，函数在点的增量。注：自变量的增量或函数的增量可正、可负、也可为零。（区别于“增加”）。） 等价定义：函数在点连续。） 等价定义：函数在点连续，当时，。注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种定义，可以证明以下命题：例证明函数在点连续，其中为Dirichlet函数。函数在点有极限与函数在点连续之间的关系） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定在内不定义（在点可以没有定义）。而在点连续则要求在某内有定义（包括）。） 在极限中，要求，而当“在点连续”时，由于x=时，恒成立。所以换为：.） 从对极限的要求看：“在点连续”不仅要求“在点有极限”，而且；而在讨论时，不要求它等于，甚至于可以不存在。总的来讲，函数在点连续的要求是：在点有定义；存在；. 任何一条不满足，在点就不连续。同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函数在这点的局部性质。在点左（右）连续定义 定义：设函数在点（内有定义），若（），则称在点右（左）连续。 在点连续的等价刻划定理4.1函数在点连续在点既是右连续，又是左连续。如上例：（右连续），（左连续）。例讨论函数在点的连续性。二区间上的连续函数定义若函数在区间上每一点都连续，则称为上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。若函数在区间上仅有有限个第一类间断点，则称在上分段连续。例子（）函数是上的连续函数；（）函数在内每一点都连续。在处为左连续，在处为右连续，因而它在上连续。命题：初等函数在其定义区间上为连续函数。函数，在上是分段连续的在上是分段连续吗？在上是分段连续吗？三间断点及其分类不连续点（间断点）定义定义设函数在某内有定义，若在点无定义，或在点有定义而不，不则称点为函数的间断点或不连续点。注这个定义不好；还不如说：设在内不定义，如果在不连续，则称是的不连续点（或间断点）。由上述分析可见，若为函数的间断点，则必出现下列情形之一：在点无定义；不存在；。据此，对函数的间断点作如下分类：间断点分类） 可去间断点若，而在点无定义，或有定义但，则称为的可去间断点。例如：是函数的可去间断点。“可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”。设是的可去间断点，且。则是的连续点。例如，对，定义，则在连续。） 跳跃间断点若存在，但，则称点为函数的跳跃间断点。例如，对，故是它的跳跃间断点。再如是的跳跃间断点。可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、右极限都存在。） 第二类间断点函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数的第二类间断点。例如，是函数，的第二类间断点。连续函数的性质 （6学时）教学目的：掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用；理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。教学重点：闭区间上连续函数的性质；教学难点：一致连续的概念。教学方法：讲授为主一连续函数的局部性质性质（局部有界性）若在连续。则在某有界。性质（局部保号性）若在连续，且则对任何正数，存在某有。注在具体应用局部保号性时，取一些特殊值，如当时，可取，则存在，使得当有；与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续”，把改为其余一致。性质（四则运算）若和在点连续，则也都在点连续。问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？性质（复合函数的连续性）若在点连续，记，函数在连续，则复合函数在点连续。注1) 据连续性定义，上述定理可表为：.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限。）例 求.2) 若复合函数的内函数当时极限为a，又外函数在连续，上面的等式仍成立。（因此时若的话是显然的；若，或在无定义，即是的可去间断点时，只需对性质的证明做修改：“”为“”即可）。故可用来求一些函数的极限。例 求极限（）;（）.性质（反函数的连续性）若函数在上严格单调并连续，则反函数在其定义域或上连续。二、初等函数的连续性三区间上连续函数的基本性质定义设为定义在数集上的函数，若存在，使得对一切都有（），则称在上有最大（小）值，并称为在上的最大（小）值。例如，。、。一般而言， 在其定义域上不一定有最大（小）值，即使在上有界。例如：无最大（小）值；在，上也无最大（小）值。性质（最大、最小值定理）若在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。性质（有界性定理）若在上连续，则在上有界。思考考虑函数，上述结论成立否？说明理由；要存在最大（小）值或有界是否一定要连续？是否一定要闭区间呢？结论上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。性质（介值定理）设在上连续，且。若是介于和之间的任何实数，则至少存在一点，使得。注表明若在上连续，又的话，则在上可以取得和之间的一切值。性质（根存在定理）若在上连续，且和异号（），则至少存在一点，使得。几何意义若点和分别在轴两侧，则连接、的曲线与轴至少有一个交点。闭区间上连续函数性质应用举例关健构造适当的；构造适当的闭区间。例证明：若，为正整数，则存在唯一正数，使得。例设在上连续，满足。证明：存在，使得。四一致连续性在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续。我们先叙述何谓一致连续。设在某一区间连续，按照定义，也就是在区间内每一点都连续。即对时，就有。一般说来，对同一个，当不同时，一般是不同的。例如图左。中的曲线，对接近于原点的，就应取小一些。而当离原点较远时，取大一些。（对后者的值就不一定可用于前者。但在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间内所有的点都适用的，这就需要引进一个新概念一致连续。一致连续的定义定义（一致连续）设为定义在区间上的函数。若对任给的，存在一个，使得对任何，只要，就有，则称函数在区间上一致连续。 函数在区间上连续与一致连续的比较（） 区别：定 义函数在连续，当时，函数在上一致连续，当，时，对的要求对于上的不同的点，相应的是不同的，换言之，的取值除依赖于外，还与有关，由此记为表示与和有关。的取值只与有关，而与无关，或者说，存在适合于上所有点的公共的，记作，它对任意的都适用。性 质与区间中每一点及其附近的情形有关，即只要在区间中每一点，连续就行。也即在每一点中可有适合定义中的，这是局部性质。要知在整个区间的情形，在整个区间内来找适合定义中的，这种性质称为整体性质。（） 关系若在上一致连续，则在上连续；反之不成立（即若在上连续，不一定在上一致连续。 问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：定理（康托Cantor定理）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。一致连续的例子例 证明在上一致连续。例 （）证明函数在内不一致连续。（），证明在内是一致连续的。例 证明在内是一致连续的，而在内连续但非一致连续。例 设区间的右端点为，区间的左端点也为（可分别为有限或无限区间）。试按一致连续性定义证明：若分别在和上的一致连续，则在上也一致连续。初等函数的连续性 （2学时）教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明。教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。教学重点：初等函数的连续性的阐明。教学难点：初等函数连续性命题的证明。教学方法：学导式教学。复习（关于初等函数）（）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数。（）基本初等函数：常量函数；幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数。初等函数的连续定理任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。定理 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。注： 初等函数的连续区间和间断点：初等函数的间断点是其连续区间的开端点，闭端点是其单侧连续点. 例1 求函数 的连续区间和间断点. 解 的连续区间为: 、 、 和 . 间断点为: 和 . 在点 右连续 . 利用函数的连续性求极限: 例2设，证明：。例3 解 I = 例求。例求。例6 作倒代换 例7 解 I = 习 题 课（2学时） 一、 理论概述： 二、 范例讲析： 例1 设函数 在区间 上连续, 且 证明: 在区间 上至少存在某个 使 证 若 , 取 或 即可; 若 不妨设 设 , 应用零点定理即得所证. 例2 设函数 在区间 上连续， 试证明： 使 例3 设 试证明：方程 在区间 内有实根. 例4 设函数 在 内连续且 则 在 内有最小值. 与 比较. 例5 设函数 和 在区间I上连续, 且在I的有理点 ,有 证明: 在I上 . 例6 设函数 和 在区间I上一致连续. 证明函数 在区间 I上一致连续. 例7 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在有限开区间 内一致连续, 和 存在( 有限 ). 例8 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在内一致连续, 在 内一致连续. 蒂薈袅膇蒁螀蚈肃蒀蒀羃罿葿薂螆芈葿蚄羂膄蒈螇螄肀薇蒆羀羆薆蕿螃芅薅蚁羈芁薄袃螁膆薃薃肆肂膀蚅衿羈腿螈肅芇膈蒇袈膃芇蕿肃聿芇蚂袆羅芆螄虿莄芅薄羄芀芄蚆螇膆芃螈羂肂节蒈螅羈芁薀羁芆莁蚃螄膂莀螅罿肈荿蒅螂肄莈蚇肇羀莇蝿袀艿莆葿肆膅莅薁袈肁莅蚃肄羇蒄螆袇芅蒃蒅蚀膁蒂薈袅膇蒁螀蚈肃蒀蒀羃罿葿薂螆芈葿蚄羂膄蒈螇螄肀薇蒆羀羆薆蕿螃芅薅蚁羈芁薄袃螁膆薃薃肆肂膀蚅衿羈腿螈肅芇膈蒇袈膃芇蕿