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“耐 克” 函数及其性质延安市第一中学 陕西洛川 712400 常来胜安塞高级中学 陕西安塞 717400 加 艳对于函数和来说，大家并不陌生，掌握的也不错。但对于函数来说，看起来简单，掌握就不那么容易了,其图象形如“耐克”商标，由此得名“耐克”函数。下面我们就研究其函数的一些性质（定义域，值域，图像，对称性，单调性，奇偶性）（1）定义域：（2）奇偶性:首先函数定义域关于原点对称，又,故f(x)为奇函数，所以函数的图像（如下）关于原点对称(对称性)（3） 图像如下： 图像为双曲线，分两支；中心对称图形，以直线和为渐近线，在第一象限形状就是个“耐克”的形状。（4）值域：1）当时: 利用均值定当且即时，等号成立； 2）当时: ,利用均值定理: 当且仅当即时，等号成立。 综上知，函数的值域为(-,-22,+).（5）单调性：由于奇函数在对称区间上的单调性相同，故只研究当x0时的单调性： 1)定义法：任取且 则令只有正负不定，故只要限定在某个范围内取值即可，因此有：当时，此时.当时，,此时.由上可知，函数在 (0,1)上单调递减，在1,+)上单调递增.又由函数在对称区间上单调性相同知，f(x)在(-,-1上单调递增,在(-1,0)上单调递减.2)导数法： 则当时， 当时，,故函数在(-,-1)和1,+)上单调递增.在(-,-1和(0,1)上单调递减.同样可研究其他函数：1.函数的性质：（1）定义域：（2）奇偶性:定义域关于原点对称,又,故f(x)为奇函数，所以函数的图像（如下）关于原点对称(对称性) （3）图像如下：图像亦为双曲线，以直线以直线和为渐近线。从其图像上来看在(-,0)和(0,)上单调递增，其值域为R2.函数（1）定义域: 故（2）奇偶性：首先定义域关于原点对称：1）当为偶数时，所以为偶函数，故其图像关于轴对称；2）当为奇数时，所以为奇函数，故其图像关于原点对称。（3）图像如下： （4）值域：1）当为偶数时，当时，则利用均值不等式， 当且仅当即时等号成立，故 又当为偶数时为偶函数，而偶函数在对称区间上的值域相同，所以当时，此时，等号成立。综上知，（当为偶数时）的最小值为，但没有最大值，即值域为：2）当为奇数时，当时，则利用均值不等式， 当且仅当即时等号成立，故 又当为奇数时为奇函数，而奇函数在对称区间上的值域相反，所以当时，此时，等号成立。综上知，（当为奇数时）的值域为：（5）单调性：1）当为偶数时，任取，则令 当 时，则 此时，所以函数在上单调递增； 当 时，则 此时，所以函数在上单调递减；又当为偶数时为偶函数，而偶函数在对称区间上的单调性相反，所以当时 ，在上单调递减，在上单调递增。2）当为奇数时，任取，则令 当 时，则 此时，所以函数在上单调递增； 当 时，则 此时，所以函数在上单调递减；又当为奇数时为奇函数，而奇函数在对称区间上的单调性相同，所以当时 ，在上单调递增，在上单调递减
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