分数概念教材的处理方式.doc

薈袁膀薁蒄袀芃莃螂袀羂膆蚈罿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蚁羅芃芁薇羄羃蒇蒃肃肅艿螁肂膈蒅蚇肁芀芈薃肀羀蒃蕿蚇膂莆蒅蚆芄薂螄蚅羄莄蚀蚄肆薀薆蚃腿莃蒂螂芁膅螀螂羁莁蚆螁膃膄蚂螀芅葿薈蝿羅节蒄螈肇蒈螃螇腿芀虿螆节蒆薅袆羁艿蒁袅肄蒄莇袄芆芇螆袃羆薂蚂袂肈莅薈袁膀薁蒄袀芃莃螂袀羂膆蚈罿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蚁羅芃芁薇羄羃蒇蒃肃肅艿螁肂膈蒅蚇肁芀芈薃肀羀蒃蕿蚇膂莆蒅蚆芄薂螄蚅羄莄蚀蚄肆薀薆蚃腿莃蒂螂芁膅螀螂羁莁蚆螁膃膄蚂螀芅葿薈蝿羅节蒄螈肇蒈螃螇腿芀虿螆节蒆薅袆羁艿蒁袅肄蒄莇袄芆芇螆袃羆薂蚂袂肈莅薈袁膀薁蒄袀芃莃螂袀羂膆蚈罿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蚁羅芃芁薇羄羃蒇蒃肃肅艿螁肂膈蒅蚇肁芀芈薃肀羀蒃蕿蚇膂莆蒅蚆芄薂螄蚅羄莄蚀蚄肆薀薆蚃腿莃蒂螂芁膅螀螂羁莁蚆螁膃膄蚂螀芅葿薈蝿羅节蒄螈肇蒈螃螇腿芀虿螆节蒆薅袆羁艿蒁袅肄蒄莇袄芆芇螆袃羆薂蚂袂肈莅薈袁膀薁蒄袀芃莃螂袀羂膆蚈罿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蚁羅芃 柒、分數概念教材的處理方式：（一）分數 有理數有理數是分數的等價集（等值分數）。例如：1/2，2/4，3/6，.是由和 1/2等價的所有的等值分數所構成的集合，是一個類，也表示一個有理數。亦即：1/2 是一個分數，2/4 也是一個分數，這二個分數的等價集相同，都是1/2，2/4，3/6，.這個有理數。所以，也可以說：被同樣分數數詞（字）表徵的有理數與分數間的關係，是一個類（例如：1/2，2/4，3/6，.）與構成這一個類的個體（例如：1/2 ）之間的關係。 分數是透過等分割活動以及合成活動的實施，來確定一個量與一個單位量（例如：個糖果、個糖果裝一包）的數值關係的指標。由於確定同一個量與其單位量間的數值關係的等分割活動與合成活動並非唯一，以上述資料為例：個糖果中的個，可以透過將個糖果等分割成份，再合成其中的份而獲得，也可以透過將個糖果等分割成份，再合成其中的份而獲得。因此，在單位量確定的情況下，把測量同一量的不同數值指標視為相等（如：上例的 4/12 與 2/6），忽略不同數值指標的等分割份數與合成份數，而注重等分割份數與合成份數間的比值關係，並把比值當作數值指標的數，稱之為有理數。(1) 何謂分數？何謂有理數？試說明其相同及不同處？(2) 人類為什麼會發明分數？學會分數對我們有那些幫助？(3) 人類有了分數後，為何還要發明有理數？學會有理數對我們有那些幫助？(4) 國小階段處理的都是分數問題，為什麼到國、高中後都變成有理數問題？ 有理數比分數能夠多解決那些問題？ 試舉一些在日常生活中，必須用到有理數概念（分數概念無法解決問題）才能解決 問題的例子？（二）分數問題 比的問題(1) 何謂分數問題？何謂比的問題？試說明其相同及不同處？(2) 為什麼：2/3 ？為什麼2/3：？：是比、2/3 是分數或有理數，它們是不同類的數學物件，為什麼會相等？(3) 將一個長方形分割成等份，並把其中份（連在一起或分散各處）塗上顏色，問塗色部份是全部（長方形）的幾分之幾？。請先解題並反省解題活動，再說明這個問題是分數問題或是比的問題？(4) 有人認為可以透過將三分之一個圓當做是份，則個圓是份的方式，引入數詞三分之一。你同意他的說法嗎？(5) 教師在布（命）題時應注意那些事項，才不會混淆分數問題、比的問題或有理數問題？（三）單位分數、真分數的命名活動 分數數詞序列的命名活動(1) 為什麼分數數詞序列的命名活動要分兩階段進行（先進行單位分量及真分量的命名活動，再進行分數數詞序列的命名活動）？試說明分數數詞序列與整數數詞序列的命名活動有何不同？(2) 單位分數數詞三分之一中的三、分、一及三分之一分別代表 了什麼意義？ 單位分數數詞描述了單位分量獲得的過程？ 或者描述了部份與全體並置的結果？(3) 真分數數詞七分之三中的七、分、三與七分之三分別代表了什麼意義？真分數數詞描述了真分量獲得的過程？或者描述了部份與全體並置的結果？(4) 是否可以透過單位分量（數）累積的方式引入分數數詞序列？例如將分數數詞七分之三視為個（單位分數）七分之一的合成結果？(5) 透過單位分數的累積建立分數數詞序列時，教師常使用積木當做教具。試說明使用積木當教具時應注意那些事項？(6) 試說明真分量的命名活動與分數數詞序列的命名活動有何異同？(7) 進行單位分數及真分數的說、讀、聽、寫活動時應注意那些事項？(8) 進行分數數詞序列的說、讀、聽、寫、做活動時應注意那些事項？（四）連續量情境 離散量情境(1) 何謂連續量？何謂離散量？試說明其異同處？(2) 不同階段的國小學童會將連續量與離散量情境的分數問題視為相同的分數問題嗎？(3) 首引分數問題時，應該在連續量情境下或離散量情境下引入較佳？ 連續量情境或離散量情境的分數問題，何者比較困難？難在那裡？(4) 透過連續量（一維）情境，選用繩子或數線當基準單位量首引分數問題是否恰當？ 教學時應注意那些事項？(5) 透過連續量（二維）情境，選用平面圖形或圓餅、方餅等實物當做基準單位量首引分數問題是否恰當？選用那一種平面圖形或實物當做基準單位量較恰當？教學時應注意那些事項？(6) 透過連續量（三維）情境，選用立體圖形或西瓜、蛋糕等實物當做基準單位量首引分數問題是否恰當？選用那一種立體圖形或實物當做基準單位量較恰當？教學時應注意那些事項？(7) 在離散量情境，選用集合（全部）或選用盒、袋等名數當做基準單位量首引分數問題是否恰當？教學時應注意那些事項？(8) 在離散量情境引入分數問題時，是否應考慮單位分數所指示內容所包括獨立個物的數量？（五）單一個物 多個個物（單位分數內容物）單位分數的內容是指構成單位分數的量所包含獨立個物的數量。例如：六個蘋果裝一盒，1/3 盒有個蘋果；如果三個蘋果裝一盒，1/3 盒有個蘋果；如果二個蘋果裝一盒，1/3 盒有 2/3 個蘋果；如果一盒蘋果不知其數量，1/3 盒蘋果的個數也是未知量。第一個例子的單位分數所指示的內容是多個獨立個物，第二個例子的單位分數所指示的內容是單一個物，第三個例子的單位分數所指示的內容是非整數個個物，而第四個例子的單位分數所指示的內容是未知數。要能運作第四個例子的單位分數內容，即可運作未知數如同運作已知數一般，這是國中的教學內容。當單位分數所指示的內容為多個獨立個物時，在離散量情境中，基準單位量內元素的個數不再等於等分割的份數，例如進行個柳丁裝一盒，將一盒柳丁平分成份，份是多少盒柳丁？的教學活動時，學童必須要能分辨份數（例如：平分成份）與基準單位量內的元素個數（例如：個柳丁）的差別，同時，也必須能分辨份與份內的個數（例如：個柳丁）的差別，亦即要能分辨以單位分量為計數的單位與離散物件的計數單位的差別。此時，學童的認知要達到測量運思才能清楚地掌握。問題：個蘋果裝一盤，將一盤蘋果平分成四份後的一份是多少盤蘋果？問題：個蘋果裝一盤，將一盤蘋果平分成八份後的一份是多少盤蘋果？問題：個蘋果裝一盤，將一盤蘋果平分成十份後的一份是多少盤蘋果？(1) 問題、中的個蘋果裝一盤，是否為多餘的條件？(2) 問題中包含三種單位：個、份（個）與盤（個）；問題中也包含三種單位：個、份（個）與盤（個）。有經驗的教師都知道，對中、低年級學童而言，問題比問題困難許多。試說明學童解問題比解問題困難的原因？(3) 部份學童解問題時將答案記成2/8 盤，為什麼學童會出現這種形式的答案？學童有錯嗎？錯在那裡？(4) 何時，如何引入單位分數所指示的內容為多個獨立個物的分數問題較恰當？ 進行單位分數所指示的內容為多個獨立個物的分數教學活動時，應注意那些事項？(5) 何時，如何引入單位分數所指示的內容為非整數個個物的分數問題較恰當？ 進行單位分數所指示的內容為非整數個個物的分數教學活動時，應注意那些事項？(5) 累進性合成運思的學童是否有能力解決問題？ 部份全體運思的學童是否有能力解決問題？ 測量運思的學童是否有能力解決問題？(6) 部份全體運思的學童是否有能力解決問題？ 測量運思的學童是否有能力解決問題？（六）分數的命名活動 除以整數的等分除活動 乘以單位分數的分數乘法活動問題：將條繩子平分成段後的一段是幾條繩子？問題：將條繩子平分給個人，一人分得幾條繩子？問題：將條繩子的 1/5 給甲，請問甲得到幾條繩子？(1) 先解決上述問題，再嘗試使用算式記錄解題活動與結果，最後再說明上述三個問題的異同處？(2) 試以一袋（個蘋果）中的個蘋果為例，仿問題命題後，再就解題活動類型的觀點說明分數的命名活動、除以整數的等分除活動、乘以單位分數的分數乘法活動的差別？(3) 試以將公尺長的繩子平分成段中的段為例，嘗試命一些問題，使它們是不同的解題活動類型？(4) 教師布題進行分數命名活動時，應注意那些事項？（七）分數數詞（字）的意義(1) 學童因為認知發展層次的不同，對分數（或有理數）的看法可能也不一樣，在不同認知層次學童的眼中，分數數詞五分之三可能代表那些不同的意義？(2) 甲認為分數數詞五分之三代表等分割成份，再合成其中份的結果。 乙認為分數數詞五分之三代表個單位分數五分之一的合成的結果。丙認為五分之三代表部分（）與全體（）並置（比較）的結果。丁認為分數數詞五分之三代表了除法活動（除以）的結果。戊認為五分之三代表兩數量相對關係（：）數值化（比值）的結果。 己認為五分之三代表了描述不滿一個單位量的量的測量值的結果。 庚認為分數數詞五分之三代表有理數系的一個元素。 你同意他們的看法嗎？你還有其它的看法嗎？(3) 學童何時才能脫離量的情境，將分數視為一個可以操弄的數？(4) 學童何時才能將分數視為有理數？（八）假分數與帶分數：(1) 何謂假分數？何謂帶分數？假分數與帶分數有何不同？(2) 有人認為：分數問題最後的答案只能用真分數與帶分數呈現，不可以記成假分數的形式。你同意這種說法嗎？在國小階段如此要求是否合理？(3) 為何在國中階段常要求有理化（分母不可以有根號），而高中以後則不要求？(4) 學童比較容易接受假分數的概念，或比較容易接受帶分數的概念？編排課程時應該先引入假分數的概念，或先引入帶分數的概念？如何幫助學童連絡假分數與帶分數的關係？(5) 有人認為要連絡假分數與帶分數的關係，必須先進行分子等於分母的分數與 的比較活動。你同意這種看法嗎？進行分子等於分母的分數與的比較活動時應注意那些事項？(6) 年課程標準將帶分數二又五分之一記成1/5 。你能接受這種新的記法嗎？它是數學界常使用的記法嗎？年課程標準的編寫者為何要如此修改？(7) 改變帶分數的記法對學童有那些好、壞處？教師在教學時應注意那些事項？(8) 改變帶分數的記法後，學童會混淆兩數的和（和式）與分數數字間的關係（混淆1/5 是一個算式或是一個分數數字）。如果你是課程的編寫者，你會如何處理這個問題？（九）等值分數：(1) 2/8與1/4是相同的分數嗎？為什麼有人將它們視為相同的分數，有人將它們視為不同的分數？(2) 1/22/43/64/8.，你心中的代表什麼意思？(3) 國小階段必須在量的情境下，透過一樣長或一樣大的關係，引入等值分數的等價關係（等號）？ 或者，高年級學童已能將分數視為有理數，可以直接透過數的比較活動（約分或擴 分），引入等值分數的等價關係（等號）？(4) 因為的倍是，的倍是，所以4/8是1/2的倍。如果學童有上述說法，試說明如何幫助學童澄清等值分數的概念？(5) 何謂約分活動？何謂擴分活動？為什麼分子與分母同乘（除）一數其值不變？為什麼被除數與除數同乘（除）一數，其商數的值不變（餘數會改變）？ 芁薇羄羃蒇蒃肃肅艿螁肂膈蒅蚇肁芀芈薃肀羀蒃蕿蚇膂莆蒅蚆芄薂螄蚅羄莄蚀蚄肆薀薆蚃腿莃蒂螂芁膅螀螂羁莁蚆螁膃膄蚂螀芅葿薈蝿羅节蒄螈肇蒈螃螇腿芀虿螆节蒆薅袆羁艿蒁袅肄蒄莇袄芆芇螆袃羆薂蚂袂肈莅薈袁膀薁蒄袀芃莃螂袀羂膆蚈罿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蚁羅芃芁薇羄羃蒇蒃肃肅艿螁肂膈蒅蚇肁芀芈薃肀羀蒃蕿蚇膂莆蒅蚆芄薂螄蚅羄