江苏省2020版高考数学第三章3第三节导数与函数的极值、最值精练.docx

第三节导数与函数的极值、最值课时作业练1.函数y=2x-1x2的极大值是.答案-3解析因为y=2x-1x2,所以y=2+2x3.令y=0,得x=-1,且x0,函数递增,-1x0时,y0时,y0,函数递增,所以当x=-1时,y取得极大值-3.2.已知函数f(x)=ex-eln x,则f(x)的最小值为.答案e解析易知f (x)=ex-ex=xex-ex(x0).令f (x)=0,解得x=1.当x(0,1)时, f (x)0, f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=e.3.(2018江苏泰兴中学期中)已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,则此函数在-2,2上的最小值是.答案-37解析由题意得f (x)=6x2-12x=6x(x-2),则f(x)在-2,0上单调递增,在(0,2上单调递减,所以x=0为f(x)的极大值点,也为最大值点,则f(0)=m=3,所以f(-2)=-37, f(2)=-5,故最小值是-37.4.(2018江苏苏州调研测试)已知x=0是函数f(x)=(x-2a)(x2+a2x+2a3)的极小值点,则实数a的取值范围是.答案(-,0)(2,+)解析易知f (x)=3x2+(2a2-4a)x=3xx-4a-2a23.由x=0是函数f(x)的极小值点得4a-2a232或a0,则关于x的不等式f(x)0可得f(x)在x=1处取得极小值,f (x)=ln x+x+mx,则f (1)=1+m=0,m=-1, f(x)2x-2(x-1)ln x2(x-1)0x2或x1,lnx2,则1x0,函数f(x)递增,x0,4时, f(x)0,则a=ln k-m,b=eke.令f(k)=a-b=ln k-m-eke,k0,则f (k)=1k-eke=e-kekek,令f (k)=0,得k=1,且k(0,1)时, f (k)0, f(k)递增,k(1,+)时, f (k)0,f(k)递减,则f(k)max=f(1)=-m-1=2,m=-3.8.(2018苏州学业阳光指标调研)已知直线y=a分别与直线y=2x-2,曲线y=2ex+x交于点A,B,则线段AB长度的最小值为.答案3+ln22解析由题意可设A(x1,a),B(x2,a),则a=2x1-2,a=2ex2+x2,|AB|=|x1-x2|=a+22-x2=2ex2+x2+22-x2=ex2-12x2+1,令f(x)=ex-12x+1,则f (x)=ex-12,令f (x)=0,得x=ln 12,且xln 12时, f (x)ln 12时, f (x)0, f(x)递增,则f(x)min=fln12=32-12ln 12=3+ln220,故线段AB长度的最小值为3+ln22.9.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为.答案-3解析f(x)=2x3-ax2+1,f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a0,则x0时, f (x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,又f(0)=1,f(x)在(0,+)上没有零点,a0.当0xa3时, f (x)a3时, f (x)0, f(x)为增函数,x0时, f(x)有极小值,为fa3=-a327+1.f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,fa3=0,a=3.f(x)=2x3-3x2+1,则f (x)=6x(x-1).x-1(-1,0)0(0,1)1f (x)+-f(x)-4增1减0f(x)在-1,1上的最大值为1,最小值为-4.最大值与最小值的和为-3.10.(2019江苏五校高三模拟)已知函数f(x)=ln x,g(x)=x-1.(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)证明: f(x)g(x);(3)若不等式f(x)ag(x)对任意的x(1,+)均成立,求实数a的取值范围.解析(1)f (x)=1x,f (1)=1.又f(1)=0,切线的方程为y-f(1)=f (1)(x-1),即所求切线的方程为y=x-1.(2)证明:设h(x)=f(x)-g(x)=ln x-x+1,则h(x)=1x-1,令h(x)=0,得x=1,当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)h(x)+0-h(x)单调递增极大值单调递减h(x)h(x)max=h(1)=0,即f(x)g(x).(3)易知对任意的x(1,+), f(x)0,g(x)0.(i)当a1时, f(x)g(x)ag(x);(ii)当a0时, f(x)0,ag(x)0,不满足不等式f(x)ag(x);(iii)当0a(1)=0,不满足不等式.综上,实数a的取值范围是1,+).11.(2019江苏南京高三模拟)已知函数f(x)=(2x-4)ex+a(x+2)2(x0,aR,e是自然对数的底数).(1)若f(x)是(0,+)上的单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)当a0,12时,证明函数f(x)有最小值,并求函数 f(x)的最小值的取值范围.解析(1)f (x)=2ex+(2x-4)ex+2a(x+2)=(2x-2)ex+2a(x+2),依题意得,当x0时, f (x)0恒成立,即(2x-2)exx+2-2a恒成立,记g(x)=(2x-2)exx+2(x0),则g(x)=2xex(x+2)-(2x-2)ex(x+2)2=(2x2+2x+2)ex(x+2)20,所以g(x)在(0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=-1,所以-2a-1,即a12.(2)当a0,12时,f (x)=2xex+2a0,所以y=f (x)是(0,+)上的增函数,又f (0)=4a-20,所以存在t(0,1)使得f (t)=0,则a=(1-t)ett+2,又当x(0,t)时, f (x)0, f(x)单调递增,所以当x=t时, f(x)取得最小值,即 f(x)min=f(t)=(2t-4)et+a(t+2)2.因为a=(1-t)ett+2,所以f(x)min=f(t)=(2t-4)et-(1-t)(t+2)et=et(-t2+t-2).记h(t)=et(-t2+t-2),则h(t)=et(-t2+t-2)+et(-2t+1)=et(-t2-t-1)0,所以h(1)h(t)f(a+3),则实数a的取值范围是.答案(-3,-1)(3,+)解析由已知可得a2-a0,a+30,a2-aa+3,解得-3a3.所以实数a的取值范围是(-3,-1)(3,+).3.“a1”是“(a+1)x2对任意x(1,+)恒成立”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”).答案充分不必要解析若(a+1)x2对任意x(1,+)恒成立,则a1,所以“a1”是“(a+1)x2对任意x(1,+)恒成立”的充分不必要条件.4.(2019苏州模拟)设f(x)=-ln(-x+1),g(x)=x2,x0,f(x),x0,则函数y=g(x)+1的零点是.答案1-e解析由题意可得x0,x2+1=0或xlog2(3x)的解集为. 答案(0,1)解析由题意得4-x23x,4-x20,3x0,解得0x0,由图象得0=a(4-2)2-1,解得a=14,所以y=14(x-2)2-1.综上可知, f(x)=x+1,x-1,0,14(x-2)2-1,x(0,+).8.(2018江苏无锡普通高中期中)若函数f(x)=14sin(x)与函数g(x)=x3+bx+c的定义域均为0,2,且它们在同一点有相同的最小值,则b+c=.答案-14解析因为函数f(x)=14sin(x)在0,2上的最小值为f32=14sin32=-14,又g(x)=3x2+b,所以g32=274+b=0,g32=278+3b2+c=-14.解得b=-274,c=132,所以b+c=-14.9.已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求y=f(x)的单调区间.解析(1)由f(x)=lnx+kex得f (x)=1x-lnx-kex,由题意得f (1)=1-ke=0,故k=