曲线积分和曲面积分.doc

第10章 曲线积分和曲面积分参考解答1、计算下列对弧长的曲线积分： （1），其中L为由Oxy平面上的直线及抛物线所围成区域的边界。第1（1）题解：，（2），L为椭圆，其周长为a。解：注意第一类曲线积分的对称性：若曲线关于x（y）轴对称，而被积函数关于y（x）为奇函数，则曲线积分为零！（3），L为圆周（）。解：圆周之参数方程为（），故（4），L为 解：（5），L圆周为解：因，故 2、计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中L为折线上从点到点再到点的二线段。 解：，（作代换，知第二个定积分与第一个相等）（2），L是圆周，从z轴正向看去，该圆周取逆时针方向。 解：L的参数方程为，故得3、利用Green公式计算下列曲线积分：（1）， L由，与x轴围成，沿逆时针方向。第3（1）题 解：L为封闭曲线，如图所示，直接运用Green公式。（）但，故得。从而得（2）， L由的正向。第3（2）题解：，。但和在L所围正方形区域内并不连续（在点处两者根本不存在），故不满足Green公式之条件。为此，采用“挖地雷”方法：取以原点为心、（或小于的任意正数）为半径的圆l，并取逆时针方向，如图所示。其参数方程为：于是，l和L所围区域D成为“安全地带”，在D上，P和Q均具有一阶连续偏导数，Green公式成立。于是 因此， 4、计算积分， 其中L是由点沿曲线到点的弧段。第4题解：这里，。因此，在曲线L和线段AB所围闭区域上，曲线积分与路径无关。这里，线段AB的方程为，方向为从点A指向点B。因此，。5、验证是某函数的全微分，并求出这样的一个。 解：这里，故因而，故知为某函数的全微分。以下我们用两种方法来求。方法1（利用曲线积分）： 方法2（利用待定函数法）：因，故得（将y看作常数）（其中为待定函数，与x无关）于是，但另一方面，故于是得 ，。因此所求函数为，其中C可取任意常数。6、计算下列对面积的曲面积分：（1），其中是锥面在柱体内的部分。 第6（1）题解：（2），其中为球面。解：因关于三个坐标面都是对称的，故，于是利用轮换对称性，因此，（注意球的表面积为）于是得（3），其中为平面被柱面所截下的部分。解： 第 6（3）题7、计算下列对坐标的曲面积分：（1），其中是圆柱面被平面和所截下的部分，取外侧。 第7（1）题 解：被yoz平面分成和两片，对于x轴正向而言，取上侧，而取下侧，它们在yoz平面上的投影区域和如上图所示。于是因此。（2），其中是球面，的外侧。解：利用公式得（3），其中是锥面被，所截部分的外侧。第 7（3）题解：利用公式，得注：第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）的解题步骤为“一投”、“二代”、“三定号”。上两题中，我们将积分统一化为在xoy平面投影区域上的二重积分，解题过程得到大大简化。这是在不适合用Gauss公式（曲面不封闭；或即使可以补成封闭，但计算未能得到简化）时常用的方法。否则，像第（1）小题那样，我们往往必须将曲面分块，分别进行投影。选择最优策略，省出宝贵时间，去做更多事情，不亦乐乎？8、利用Gauss公式计算曲面积分：（1），其中为平面，所围立体表面的外侧。解：（2），其中为下半球面的上侧。解：补一圆面：，取下侧。于是注意封闭曲面取内侧，与Gauss公式所要求的外侧相反，故第二个等式右边三重积分前有一个负号！9、求向量场在点处的散度。解：10、设流体密度为1，流速，求单位时间内从曲面 的下侧流向上侧的流量。解：将曲面记为（为旋转抛物面），补一取下侧的圆面：。于是注意封闭曲面取内侧，与Gauss公式所要求的外侧相反，故第三个等式右边三重积分前有一个负号！11、设，求的旋度，并计算曲面积分，其中为锥面，其法向量与z轴正向夹角为锐角。解：可用两种方法来计算。解法1（创造条件，运用Gauss公式）（第一类曲面积分）（第二类曲面积分）（其中为圆面之下侧，封闭曲面取外侧）（Gauss公式）（二重积分之极坐标算法）解法2（直接运用Stokes公式）（上侧）之边界线L为xoy平面上半径为2的圆，取逆时针方向，其参数方程为，于是12、用Stokes公式计算，其中为圆周，从x轴正向看，取逆时针方向。解：记，所围圆面为，取上侧。则（转化为第一类曲面积分）注意到平面之法向量为，故，因此得13、求，L为空间螺线。 解：14、设函数在XOY平面上具有一节连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t，恒有，求。解：因曲线积分与路径无关，故有。故可设，其中为与x无关的待定函数。于是因，故得即，从而得，或即。因此。15、确定常数，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求。解：向量为某二元函数的梯度，等价于说：存在某二元函数，使得，也就是说，为某二元函数的全微分。根据曲线积分与路径无关的条件，得即整理得故得。由得从而另一方面，。故得，。因此。16