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线 性 代 数第14章 行 列 式先研究两个方程的二元一次方程组： 其中，不妨设，将方程组的第一个方程等式两端乘以（），再分别加到第二个方程，即得 情形1 ，此时可解出，再代入第一个方程可得、分别为 和 ，情形2 ，此时若，亦即则方程组无解；否则方程组有无穷多个解。显然表达式或在二元一次方程组求解中扮演了重要的角色，我们把它称为2阶行列式。为了便于记忆，将表达式（）记为，。 由此启发，若我们考虑n个方程的n元一次方程组时有没有类似的结论？这自然需要引进n阶行列式的概念。14.1 行列式的概念与性质行列式定义：由个数组成的阶行列式是一个算式，其结果是一个数。记为两种计算方式：（1）是的一个排序，注意和式中有项。（2）递归法计算当时，当时，。其中，称为行列式的第i行、第j列的元素，称为的代数余子式，称为的余子式。是划去中的第i行、第j列后剩下的元素按原来的次序排成的n-1阶行列式。证明 阶行列式的展开式有项。用数学归纳法，当时，命题显然，故设时命题为真，当时，的展开式中的每一个代数余子式为n-1阶行列式，对应的展开式有项，共有个不同代数余子式，故的展开式有项。行列式的性质(1) 行列式行列对换，行列式的值不变。即=(2) 行列式两行（列）对换，行列式的值反号。即= (3) 行列式中如果某一行（列）有公因子，则可以提到行列式外。= 特别当行列式某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零。(4) 行列式中如果某一行（列）的每个元素都是两个数之和，则此行列式等于两个行列式之和。这两个行列式除这一行（列）外，其余的行（列）全于原来的行列式的对应行（列）一样。=+(5) 行列式中如果某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变。= 特别若行列式某两行（列）的元素成比例，则行列式的值为零。(6) 行列式的拉普拉斯展开定理：行列式中按任一行（任一列）用下式展开，行列式的值不变。 行列式的第二种定义方式即是拉普拉斯展开定理的特例（按第一行（列）展开）。(7) 行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即， ， 。根据性质（6），这相当于行列式有两行或两列对应元素相同，利用性质（5）即得。几个特殊的行列式（1）对角行列式 。（2）上三角行列式 =。（3）下三角行列式 =。142 行列式的计算例14.2.1 最一般的办法，要掌握。例14.2.2 直接用行列式的性质（5）做。例14.2.3 一个行列式的计算中常用的技巧。例14.2.4 =。例14.2.5 计算五阶行列式 解： =。=143 典型例题例14.3.1 。例14.3.2 按定义做。例14.3.5 =。释例14.3.6 计算行列式此题用拆项法做是正解，亦可用如下的办法 =例14.3.6 注意行列式展开式中每一项只能有一行（一列）中一项。例14.3.7 注意行列式的性质。例14.3.8 注意并非行列式的根，故须先求行列式的值，循环阵的行列式。 = 多项式的韦达定理，。第15章 矩 阵矩阵的理论及其应用是线性代数的核心问题，熟练掌握矩阵的知识是学好线性代数的关键。15.1 矩阵的概念矩阵的定义：由个数排成m行n列的矩形数表称为矩阵，记为，简记为。数称为矩阵中的第i行第j列的元素。时，称为方阵，简称为n阶矩阵。的矩阵，称为n维行向量，如。 的矩阵，称为n维列向量，如。所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为。为了进一步讨论矩阵的运算，我们需要建立同形矩阵的定义：设，则称与为同形矩阵。如果，则称与相等，记为=。矩阵的运算（1） 矩阵的加法：设同形矩阵，则矩阵称为矩阵与的和，记为。矩阵加法的性质：设、是三个同形矩阵，则； ； ； 称为的负矩阵，满足 。（2） 矩阵的数量乘法：是一个数，矩阵数量乘法的性质：设、是两个同形矩阵，是两个数，则； 。（3） 矩阵的乘法：设矩阵，则矩阵称为与的乘积，记为。注意：矩阵乘积中的列数必须与的行数相同。矩阵乘积不满足交换律，即使两个矩阵，的乘积与都存在也是如此。 ， 矩阵乘法的性质：设矩阵、在下面的矩阵乘积中均能进行，是一个数，则； ；即矩阵乘法满足结合律与分配律。（4） 方阵的幂乘：为n阶矩阵，个连乘称为的次幂，记为。方阵幂乘的性质：是任意两个正整数，则； 。注意：由于矩阵乘积不满足交换律，一般； 。例15.1.8 一个构造可交换矩阵的例子。例15.1.9 其一般化的结论是令，则。例15.1.10的一般化结论若 ，则 。（5） 矩阵的转置：称矩阵是矩阵的转置矩阵，这里满足注意：若是的矩阵，则是的矩阵。矩阵转置的性质：； ； 。（6） 方阵的行列式：设，则称为的行列式，这里。方阵行列式的性质：； ； 。几个特殊矩阵（1）单位矩阵 。单位矩阵满足，。（2）对角矩阵 ，常简记为。对角矩阵的和、数乘、乘积仍为对角矩阵。（3）上（下）三角矩阵上三角矩阵，下三角矩阵。上（下）三角矩阵的和、数乘、乘积仍为上（下）三角矩阵。当、均为上三角矩阵时，注意此时 ，故 。同理可得、均为下三角矩阵时的结论。至于对角矩阵的情形，当为上（下）三角矩阵的特例。15.2 可逆矩阵可逆矩阵的定义：设，若存在，使成立则称为可逆矩阵，并称为是的逆矩阵，记为。显然矩阵与的位置是对等的，表明亦可逆，且。矩阵可逆的充要条件：设，是元素对应的代数余子式，令，称为矩阵的伴随矩阵。 利用方阵行列式的性质，即利用行列式的拉普拉斯展开定理，可得 。由此给出矩阵可逆的充要条件：n阶矩阵可逆的充要条件是。此时成立。释例15.2.1：设 ，问：当、满足什么条件时，矩阵可逆？当可逆时，求。解： 可逆。当可逆时 。释例15.2.2：对角矩阵、上（下）三角矩阵可逆的充要条件是 。释例15.2.3：设，证明。证明：由 ，两边取行列式，得。当可逆时，故 。当不可逆时，等式也成立。可逆矩阵的性质：（1） 若矩阵可逆，则其逆矩阵唯一；证明：。（2） 若矩阵可逆，则其逆矩阵亦可逆，且；证明：。（3） 若矩阵可逆，则其转置矩阵亦可逆，且；证明：，。（4） 若矩阵可逆，常数，则也可逆，且；（5） 若、为同阶的可逆矩阵，则也可逆，且；证明：，。（6） 若矩阵可逆，则；证明：。（7） 若、是方阵，满足，则、均可逆，且，；证明：。用左乘，得；用右乘，得。（8） 若矩阵可逆，且，则有，。证明：左乘，则有；右乘，则有。例15.2.3 。例15.2.4 示为幂等阵。例15.2.6 含未知矩阵项移到等式的一边是必须的过程。15.3 矩阵的初等变换 3种矩阵初等变换的定义及对应的初等变换矩阵：设是的矩阵（1） 互换矩阵的某两行（列）；，=， 验算可得 。（2）将矩阵某一行（列）元素的倍加到另一行（列）对应元素上去；，或，=，验算可得，。（3）用一个非零常数乘矩阵某一行（列）。 ，验算可得，。3种矩阵初等变换的作用于矩阵时，左乘变行，右乘变列。目的在于将矩阵化简，即化简为下述的阶梯形矩阵；亦可用于求可逆矩阵的逆矩阵等。阶梯形矩阵的定义：形如下列的矩阵称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵有如下特征：（1） 全零行位于矩阵的下方；（2） 各非零行的第一个非零元素（称为主元）的列指标随着行指标的递增而严格增大，且。一般的阶梯形矩阵只能由如上定义。但阶梯形矩阵的产生背景是线代数方程组求解，在后面介绍的内容中，阶梯形矩阵所对应的方程组即可直接求解。在上面的定义中元素前均为零意指阶梯形矩阵所对应的方程组中前系数均为零，这样的方程组显然可以简化。故可将阶梯形矩阵简化为定理15.3.1 任何矩阵均可经过有限次初等行变换化简为阶梯形矩阵。用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵定理15.3.2 若矩阵可逆，则可以经过一系列初等行变换化为。矩阵求逆的技巧在于构造一个的矩阵，对进行初等行变换，当化为单位阵时，单位阵即化为，。说明：一般对稍微复杂一些的矩阵求逆问题，用伴随矩阵的办法求逆时计算工作量太大。而利用初等行变换的技巧求可逆矩阵的逆矩阵是最常用的办法。例15.3.2 ，此例说明若，则，当然亦有 。15.4 矩阵的秩定义15.4.1在矩阵中，任取行列，位于这行列交叉处的个元素按其原来的次序排成一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式。定义15.4.2 矩阵中不为零的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为。释例15.4.1：设阶梯形矩阵为则。解：这里仅需取此矩阵的前行和第列即得上三角行列式=，注意阶梯形矩阵的定义，必。而阶梯形矩阵的任何大于阶的子式，因其至少有一行全部元素为0，故必行列式为零。矩阵的秩虽然是一个非常简单的数，但却是矩阵理论中一个十分深刻的概念，它在线代数方程组求解，或是矩阵的特征问题计算时，均扮演重要的角色。对矩阵，显然成立；中有阶子式不为零；中所有大于阶的子式均为零；。矩阵运算后的秩的变化定理15.4.2 （1）；（2）；释例15.4.2：，此时和，此时。（3） ；（4）；说明；矩阵的每一列均可由的列表示；矩阵的每一行均可由的行表示。（5）若可逆，则；证明：。（6）若，则。矩阵秩的计算定理15.4.1矩阵初等变换不改变矩阵的秩。证明：此因矩阵的三种初等变换所对应的三种初等变换矩阵均为可逆阵，再用定理15.4.2之（5）立知。利用此定理，计算矩阵秩的一个简便方法是将矩阵通过初等行变换得到一个阶梯形矩阵，而显然阶梯形矩阵的主元个数就是的秩（或阶梯形矩阵非零行的个数就是的秩）。例15.4.4 。15.5 典型例题例15.5.3 。例15.5.4 拆项法亦可。例15.5.7 （B） 降阶化简得 ，若取，当然满足。即可逆不能保证一定成立。 形式逻辑里面的结论：一个全称肯定判断，只需找一个反例即可。例15.5.8 （D）直接解出。例15.5.10 移项的技巧。例15.5.12 循环矩阵，列和一样。例15.5.13 （A） 注意是矩阵，此时均有，。例15.5.14 变形后找出一个可逆阵是关键。例15.5.15 （A）和要求不可逆，否则 ，于题设矛盾。 故令解出。再用 ，则。这里，而显然，故必。此题既考查概念，亦考查计算。例15.5.16 是关键第16章 向 量16.1 n维向量向量的定义：个有序数组成的数组叫做维行向量。第个数称为第个分量，各分量均为实数的向量称为实向量。维列向量定义为 =。一般我们将列向量记为是为了节约纸张。维行向量就是的行矩阵，维列向量是的列矩阵。约定：列向量表示为等，而行向量表示为。若未加说明，所称向量均为列向量。各分量均为零的向量称为零向量，记为0。设，称为的负向量。因为向量可看作特殊的矩阵，因而两个向量相等即是同为n维且对应分量均相等。维向量的线性运算向量与的和：向量的数乘向量线性运算的性质（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。注意；示所有分量为零，但 是的矩阵。定义16.1.5 称为向量的长度，记为，当，称为单位向量。16.2 向量组的线性相关性向量的线性组合与线性表示定义16.2.1 对维向量和，若存在常数，使得，则称可由向量组线性表示。称为向量组的一个线性组合；称为组合系数。在讨论个方程的元线性方程组中，记 ，。 这里我们将矩阵进行了列分块，其中。这样线性方程组可表示为，假定存在一组数使上式成立，我们就说这组数是线性方程组的解，记为解向量。此时表明可由向量组线性表示。所以向量的线性组合与线性表示的概念的引入是十分自然的事。而要进一步讨论什么时候能够找到这样一组数使线性方程组成立，则需要建立下节的向量组的线性相关与线性无关的概念。前述把一个大的矩阵分成若干小的矩阵，是矩阵运算中常用的技巧，它可以简化矩阵的表示，突出矩阵的特点和方便矩阵的计算。常用的还有对矩阵进行如下的行分块，其中为的第j个行向量。向量组的线性相关与线性无关定义16.2.1 设有 维向量组。如果存在不全为零的数，使得，则称向量组线性相关；否则称为线性无关。由定义，仅含一个向量的向量组线性相关。两个向量，构成的向量组线性相关与对应分量成比例。证明：，无妨假定，于是。在线性方程组求解中，方程组有解可表示为这表明向量组线性相关。 所以向量组的线性相关与线性无关的概念产生的背景之一就是线性方程组求解的需要，理解这一点有助于接受在线性代数中为什么要引入“向量组的线性相关与线性无关”这个概念的做法。定理16.2.2 维向量组线性相关中至少有一个向量可以被其余个向量线性表示齐次线性方程组有非零解矩阵的秩（其中）。维向量组线性无关中没有一个向量可以被其余个向量线性表示齐次线性方程组只有零解矩阵的秩。例16.2.2 含有零向量的向量组必线性相关。证明：。例16.2.3 含有两个成比例向量的向量组必线性相关。证明：设，则。定理16.2.3 增加向量组中向量的个数，不改变向量组的线性相关性；减少向量组中向量的个数不改变向量组的线性无关性。例16.2.5 介绍方法2例16.2.6 经典题目，作，判断的秩。几个相关的结论定理16.2.4 设向量组线性无关，而向量组线性相关，则必能由线性表示，且表示系数唯一。证明： ，必， 故 。定理16.2.5 个维向量线性相关，其中；线性无关。定理16.2.6 个维向量必线性相关。例16.2.7 线性无关对应的行列式不为0。16.3 向量组的秩向量组的秩和最大线性无关组定义16.3.1 在向量组中，若存在个向量线性无关，并且任意个向量均线性相关，则称为向量组的一个最大线性无关组，并称向量组的秩为，记为。一个向量组的秩是唯一的，但一般它的最大线性无关组并不唯一。释例16.3.1： 此三个向量构成的向量组，秩为2，其中任两个都是最大线性无关组。只含零向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为0。向量组的秩和矩阵的秩有如下的关系，可表示为下述的三秩相等定理。定理16.3.1 记 ，则 。据此，给出计算向量组的秩和最大线性无关组的方法。构造矩阵 ，对进行初等行变换化成阶梯形矩阵，阶梯形矩阵的主元个数就是的秩（向量组的秩），与主元列的列标相对应的原向量组中向量的即为向量组的一个最大线性无关组。例16.3.1 看一个例子如何做。例16.3.2 只要可逆即可。例16.3.3 介绍方法116.4 典型例题例16.4.3 （A），的秩为2，线性相关；（B），的秩为2，线性相关；（C），的秩为3，线性无关；（D），的秩为2，线性相关。补充命题： 若线性无关，则可逆。证明： 设 ，当然成立，这等价于。线性无关，即方程组只有零解，当然系数矩阵可逆。例16.4.7 解法同上。例16.4.8 解法同上。例16.4.10 化为阶梯形矩阵判断。例16.4.12* 。 或 ，而可逆。第17章 线性方程组17.1线性方程组的基本概念非齐次线性方程组在讨论个方程的元线性方程组中，记 ，。则线性方程组可表示为如下两种简洁的形式（由此我们可以理解引进矩阵与向量记号的意义）（1）向量形式 ，（2）矩阵形式 。我们把矩阵称为线性方程组的系数矩阵；为右端向量，所谓非齐次方程组，一般。记为线性方程组的增广矩阵。当线性方程组有解时，我们把称为解向量。注意一般的非齐次线性方程组未必一定有解。释例16.1.1： ，若有解必成立 。这显然是不可能的。齐次线性方程组 我们再来考虑更为简单的一类线性方程组，即右端向量为零向量的线性方程组，把它称为齐次线性方程组， 对应的亦有（1）向量形式 ，（2）矩阵形式 。 与非齐次线性方程组不同的是齐次线性方程组总有解，事实上就是它的一个解，一般称零解为平凡解。我们更为关心的是一个齐次线性方程组有没有非零解。齐次线性方程组与非齐次线性方程组有如下的关系命题：若均为非齐次线性方程组的解，则是对应的齐次线性方程组的解；若是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的任何解，则亦是非齐次线性方程组的解。证明： ； 。 下面，我们由易到难，先讨论齐次线性方程组的求解问题，然后利用上面的命题，进而解决非齐次线性方程组的求解问题。17.2 求解齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解的条件定理17.2.1 元齐次线性方程组有非零解的列向量组线性相关。推论1 设是阶矩阵，则有非零解系数矩阵的行列式。推论2 设是阶矩阵，且，则必有非零解。证明：。齐次线性方程组解的性质若均是齐次线性方程组的任何解，则亦然。这里为常数。证明：。齐次线性方程组解的结构、基础解系定义17.2.1 设元齐次线性方程组有非零解（），若是的一组线性无关的解，并且的任意一个解均可由它们线性表示，则称是齐次线性方程组的一个基础解系。定理17.2.2设是阶矩阵，则齐次线性方程组的基础解系含有个线性无关的解向量。设为齐次线性方程组的一个基础解系，则的任何一个解可以由这个基础解系线性表示，即，（其中为任意常数）。上式称为齐次线性方程组的通解（一般解或全部解）。齐次线性方程组解（基础解系）的计算消去法首先对齐次线性方程组的系数矩阵进行初等行变换至阶梯形矩阵，若，则只有零解。若，则有非零解。此时由阶梯形矩阵对应的阶梯形同解方程组求基础解系；将主元所在列的个未知量（称为独立未知量）保留在方程组左面，而将非主元所在列的未知量（称为自由未知量）移到方程组右面，得到，这里个独立未知量为，个自由未知量为中的其余分量。分别设维自由未知量为（自然保证线性无关）依次代入上面的阶梯形同解方程组，分别求出对应的，这样就得到个线性无关的解向量，或得到了齐次线性方程组的一个基础解系。例17.2.1 注意。例17.2.3 只要证明新的一组基仍然线性无关。17.3 求解非齐次线性方程组非齐次线性方程组有解的条件定理17.3.1 元非齐次线性方程组有解可被的列向量组线性表示。 特别，当是阶矩阵，则有唯一解。定理17.3.2 元非齐次线性方程组有解时（即有）：（1）有唯一解的列向量组线性无关。（2）有无穷多解的列向量组线性相关。非齐次线性方程组解的性质与结构定理17.3.4 设元非齐次线性方程组有解（即有），且，为对应的齐次线性方程组的一个基础解系，是线性方程组的任意一个解，则非齐次线性方程组的通解为（其中为任意常数）。 概括起来，非齐次线性方程组的通解等于非齐次线性方程组的一个特解+对应的齐次线性方程组的通解。非齐次线性方程组解的计算消去法（1）若，线性方程组无解；（2）若，线性方程组有解，此时依据定理17.3.2又分两种情形：情形一 当时，即，回代依次解出（只有唯一解）。情形二 当时，即得，和对应的齐次线性方程组 对此求出一个基础解系； 一般简单计算非齐次线性方程组的一个特解的方法是令，回代依次解出，再补足其它元素为0。例17.3.2 注意自由变量是。例17.3.3 注意的行数小于列数。例17.3.4 条件给出的三个解。17.4 典型例题例17.4.1 要考虑增广矩阵的秩例17.4.8 ，无解要求，但，故选（B）。例17.4.9 基变换 。例17.4.10 判断的秩是关键。第18章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量问题产生的背景有很多，解析几何里二次函数的分类就是一例。它本质上是通过适当的矩阵变换将原来的矩阵化成最简单的情形，以便我们能够把握问题的实质。回想一下线性方程组的求解问题不就是通过初等行变换将增广矩阵转化为阶梯形矩阵，进而能够清楚地解决问题。18.1 特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的定义定义18.1.1 设为阶方阵，若存在常数及非零的列向量，使得，则称是矩阵的特征值，是属于的特征向量。特征值和特征向量的计算由定义知，这是一个齐次线性方程组求解问题（是待定数），根据齐次线性方程组理论，上述方程组有非零解（特征向量）要求必，这提供了求矩阵特征值的途径。定义18.1.2设为阶方阵，则称为的特征多项式，称为的特征方程。 的特征多项式是的次方程，故阶方阵有个根（特征值）。定理18.1.1 阶方阵的个特征值（在复数域上）就是的特征方程的个根，而的属于的特征向量就是齐次线性方程组的非零解。例18.1.2 根据条件先确定，再求的特征值和特征向量。特征值和特征向量的性质定理18.1.2 若是的属于的特征向量，则其线性组合也是的属于的特征向量，这里为任意常数，且。定理18.1.3（韦达定理）设阶方阵的个特征值为，则：（1），称为的迹；（2）。定理18.1.4 阶方阵可逆。例18.1.4 注意特征向量也不变。18.2 矩阵的相似对角化相似矩阵的定义定义18.2.1 设为阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使，则称与相似，记为。相似矩阵的性质（1）反身性 ； 证明：。（2）对称性 若，则； 证明：。（3）传递性 若，则。证明：。定理18.2.1 若，则 ；。证明：，显然相同的特征方程有相同的根；。定理18.2.1的逆命题不真。释例18.2.1 ,有相同的特征值。对任