实验3.基于动态规划方法求解0-1背包问题.doc

实验3. 基于动态规划方法求解0-1背包问题实验内容本实验要求基于算法设计与分析的一般过程（即待求解问题的描述、算法设计、算法描述、算法正确性证明、算法分析、算法实现与测试），在针对0-1背包问题求解的实践中理解动态规划 (Dynamic Programming, DP) 方法的思想、求解策略及步骤。作为挑战：可以考虑基于跳跃点的改进算法，以及对连续型物品重量/背包容量的支持。实验目的u 理解动态规划方法的核心思想以及动态规划方法的求解过程；u 从算法分析与设计的角度，对0-1背包问题的基于DP法求解有更进一步的理解。环境要求对于环境没有特别要求。对于算法实现，可以自由选择C, C+, Java，甚至于其他程序设计语言。实验步骤步骤1：理解问题，给出问题的描述。步骤2：算法设计，包括策略与数据结构的选择步骤3：描述算法。希望采用源代码以外的形式，如伪代码或流程图等；步骤4：算法的正确性证明。需要这个环节，在理解的基础上对算法的正确性给予证明；步骤5：算法复杂性分析，包括时间复杂性和空间复杂性；步骤6：算法实现与测试。附上代码或以附件的形式提交，同时贴上算法运行结果截图;步骤7：技术上、分析过程中等各种心得体会与备忘，需要言之有物。说明：步骤1-6在“实验结果”一节中描述，步骤7在“实验总结”一节中描述。实验结果步骤1：理解问题给定n和物品和一人背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，问如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？举例:若商店一共有5类商品，重量分别为：3，4，7，8，9价值分别为：4，5，10，11，13则：所选商品的最大价值为24所选商品的一个序列为：0001 1步骤2：算法设计动态规划算法与分治法类似，其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的，若用分治法解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，以至于最后解决原问题需要耗费过多的时间。动态规划法又和贪婪算法有些一样，在动态规划中，可将一个问题的解决方案视为一系列决策的结果。不同的是，在贪婪算法中，每采用一次贪婪准则便做出一个不可撤回的决策，而在动态规划中，还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优子序列。步骤3：描述算法1）编写voidValue(Typep,Typew,Typec,Typen,TypefnMaxnMax)函数，用以计算各个最优子序列的值；2）编写voidcompute(TypefnMaxnMax,Typew,Typep,Typec,Typen,Typex)函数用以确定计算装入的物品x和装入的物品的总重量totalWeight；3）编写主函数，控制输入输出；4）改进和检验程序。步骤4：算法的正确性证明设(y1,y2,yn)是 (3.4.1)的一个最优解.则(y2,yn)是下面相应子问题的一个最优解: 证明:使用反证法。若不然,设(z2,z3,zn)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,yn)不是它的最优解。显然有 vizi viyi (i=2,n) 且 w1y1+ wizi viyi, (i=1,n) 说明(y1,z2, z3,zn)是(3.4.1)0-1背包问题的一个更优解,导出(y1,y2,yn)不是背包问题的最优解,矛盾。步骤5：算法复杂性分析；假设Si的序偶是|i|。在i的情况下，每个i由1i-1和1i归并而成，并且1i|=|i-1|,因此i|=2|i-1|。在最坏情况下没有序偶被清除，所以对|i|求和(i=0,1,2,n-1)的结果是n-1,也就是说的空间复杂度为（n）。由i-1生成i需要|i-1|的时间，所以在计算S0，S1，S2，Sn-1时所消耗的总时间为（|i-1|），0in。由于in，所以计算这些i总的时间为（n）。该算法的时间复杂性为（n），似乎表明当很大时它的有效性不会让人满意，但由于支配规则的引入，很好的清除了不满足约束的序偶，因而该算法在很多情况下都能在可接受的时间内求出决策序列。步骤6：算法实现与测试;实验总结