追问学校数学与生活数学的分野.doc

追问学校数学与生活数学的分野 不久前，学校组织了一次“青年教师同上一节课（三角形的认识）”的教学观摩活动连续五节课中，学生们多次类似的质疑，引发了听课老师对三角形稳定性的深入思考下面是其中的两则案例 案例1：“老师，我发现有的三角形没有稳定性！” 师：同学们想体验一下三角形的稳定性吗？ 生（齐）：想！ 师：在每张课桌的抽屉里各藏了一个三角形和四边形木架，请拿出来，同座之间相互拉一拉 大家正玩得高兴，突然一位学生叫起来：“老师，我发现有的三角形没有稳定性！”兴奋的叫声几乎吸引了所有人的目光只见学生手中拿着由四根小棒钉成的木架（如下图）： “三角形具有稳定性学生手上的木架是三角形的所以它应具有稳定性”这似乎是一个严密的三段论可事实上，学生手上的三角形木架却不稳定这该如何解释呢？ 案例2：“这个四边形车架是铁的，所以它也有稳定性” 师：三角形的稳定性在生活中有着广泛的应用，如自行车中部的车架就是三角形的（出示图片） 一个学生嘀咕：“那好像不是三角形的” “对，不是三角形，是四边形！”一些学生响应 “这个车架虽然是四边形，但它是铁的，也有稳定性”又一个学生补充道 对于“三角形稳定性”，教材中是这样描述的：“用三根木条钉成一个三角形，用力拉这个三角形，这个三角形的形状不会改变可见，三角形具有稳定性”同理，用四根钢管焊成一个四边形（车架），用力拉这个四边形，这个四边形的形状不会改变可见，四边形也就具有稳定性了但是，四边形怎么会具有稳定性呢？分 析 曾尝试着这样解释案例1中的问题四根小棒围成的这个木架形状虽然是三角形的，但它有一条边是由“两根”小棒组成的，所以它就容易变形了然而当我们对这个解释再作分析时，突然发现，其实我们已经从另一角度默认了“有的三角形不具有稳定性”这种错误论述 要真正向学生解释清楚这些看似简单甚至幼稚的问题，并不像我们想象的那么简单课堂上执教老师突然遇此质疑，视而不见、避而不答，应该说情有可原！可如果今后我们再遇到此问题，那该如何处理？ 带着思考和疑问，课后我讨教了几位经验丰富的老师他们的意见大体可归为两类： 一种意见认为，导致上述矛盾的主要原因在于，我们将“三角形”与“三角形物体”混为一谈：稳定性是三角形的特性，它有时在某些三角形物体身上表现为稳固、不易变形，但这并不说明所有三角形物体都很稳固、不易变形，更不说明不易变形的物体就具有稳定性如案例1中，对于“三根小棒围成的三角形”这个“图形”来说具有稳定性，但对于四根小棒围成的三角形木架这一“物体”来说，它却容易变形再如，四根钢管围成四边形“车架”虽不易变形，但它并不代表“四边形”就具有稳定性从这个角度看，教材中关于三角形稳定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑 另一种意见认为，主要原因在于学生将生活中的“稳定”与三角形稳定性的“稳定”混为一谈生活中，将一根木棒插入地面，使劲儿摇它，它不动，我们说这根木棍很稳定，显然此“稳定”并非三角形稳定性之“稳定” 认真推敲上述两类分析，再结合自己的想法，笔者认为，上述矛盾的根本原因在于老师们对数学教学生活化、活动化的误解，导致了对生活经验负面干扰的忽视和对数学自身科学性、严密性的弱视这在学校的观摩课中明显表现为，几乎所有上课老师的课堂中都出现了相似的环节：同桌两人兴奋地拉扯着三角形或四边形，发现“三角形木架不管怎么使劲儿拉，都不变形，而四边形木架不费吹灰之力，就变形了”，于是学生自然地归纳出“三角形具有稳定性，四边形容易变形” 热闹的活动、明显的对比，学生学得高兴，印象也很深刻然而热闹之后再思考，却发现学生“深刻的印象”其实只停留在使劲“拉”上四根木棍围成的三角形因为“拉”得动，所以“不”具稳定性；自行车车架虽是四边形，但它是铁的，“拉”不动，所以就“具有”稳定性 其实，打开百度网站，搜索“三角形稳定性”，就会发现很多网页中的“三角形稳定性”明确指向于“形状和大小完全确定”其中最具代表性的描述是：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性”这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了” 比较教材和网上关于三角形稳定性的描述，应该说各有千秋网上的描述明确地揭示了“三角形稳定性”的本质特征“边长确定，则大小、形状唯一”，而教材上的描述则显得亲切、形象，与生活十分贴近尝 试 学生思维的“具体、形象”与数学自身的“抽象、形式”之间的关系到底该如何处理？能在两者间找到一个恰当的平衡点吗？在与同事们一起思考、推敲后，我试上了一节三角形的认识，截取其中关于三角形稳定性的教学片段如下： 师：刚才同学们用三根牙签围成了一个三角形想一想，用这三根牙签还能围成其他形状的三角形吗？ 生（齐）：能 老师请来几位认为“能”的学生到投影仪上演示，若干次尝试后，学生们发现不管怎样移动牙签，三角形除姿势变化外，其形状、大小都不会改变 于是老师顺势引导学生归纳：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性” 师：下面我们来做个实验在每一张课桌的抽屉里各藏有一个三角形和多边形木架，请拿出来，同座之间互相拉一拉 师：通过实验你发现了什么？ 生：我发现三角形木架怎么拉也不变形，而多边形木架轻而易举就变形了！ 师：知道这是为什么吗？ 生：因为三角形只要三条边长固定了，它的形状和大小就完全确定了 生：因为多边形的边长虽然固定，但它的形状和大小并不能确定 将三角形稳定性明确定位于“边长确定，大小、形状也就确定”，先用牙签围三角形，再借助经典的拉三角形、多边形木架验证之这样的教学不仅形象、易懂，而且科学、明确地指向三角形稳定性的本质，有效地避免了理解上的歧义现在回过头再来解释文章开始提及的两个问题，就显得有理有据，更有说服力了 案例1中，四根小棒围成的三角形木架虽然有两条边长度固定，但它的第三条边由两根小棒组成，它两端点间的距离随两根小棒的活动而变化边的长度不确定，其形状、大小也就不能确定由此可见，以前我们习惯的说法“三角形具有稳定性”并不严密，严密的说法应该是：“边长确定的三角形具有稳定性” 案例2中，因为判断某图形是否具有“稳定性”，要看该图形“如果边的长度确定，所围成的图形形状、大小能否确定”用长度确定的四根钢管焊车架，可以焊成各种形状的图形，显然不具有数学意义上的“稳定性” 当然，若从另一个角度思考，这个例子正好又说明了三角形具有稳定性四边形钢管之所以“拉不动”，是因为它是铁做的，四条边被焊在一起，四个顶点中任意三个相邻的顶点间的距离不能改变，即“三角形三条边长确定”根据三角形稳定性的定义，三角形三条边长度确定，其形状、大小也就确定了思 考 长期以来，数学教学一直存在严重脱离实际的弊病“中国乃至世界各国历次数学教育改革一直想解决好此问题，然而结果始终不尽如人意”实施新课程以来，有人再次提出了“数学教学生活化”、“数学教学活动化”、“学校数学应向生活数学回归”等口号，生活、活动成为数学课程改革中的两个关键词 然而，生活与数学的关系怎能用一个简单的“回归”就可以概括！ 首先，生活中获得的各种经历、体验，未必就恰好能为抽象的数学概念和知识提供适切的基础，不仅如此，它还可能包括许多干扰因素 其次，“生活数学”与“学校数学”之间存在着本质的区别“生活数学”是学生在日常生活中自然积淀、自由生成的“纯经验”型数学信息，它具有个体性、随意性和直接性而学校数学则是学生在学校中，通过有目的、有计划的学习获得的数学信息，它具有社会性、计划性、抽象性和形式化特征因此，笔者认为数学应