轴对称、等腰三角形、等边三角形.doc

【知识点梳理】1、 轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。2、 轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。3、 轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1） 区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。（2） 联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。1. 轴对称的性质：图1（1） 成轴对称的两个图形全等。（2） 对称轴与连结“对应点的线段”垂直。（3） 对应点到对称轴的距离相等。（4） 对应点的连线互相平行。1) 线段的垂直平分线：（1） 定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。如图2，CA=CB， 直线mAB于C， 直线m是线段AB的垂直平分线。图2 （2） 性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。如图3，CA=CB， 直线mAB于C， 点P是直线m上的点。图3PA=PB 。 （3） 判定。 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。如图3，PA=PB， 直线m是线段AB的垂直平分线， 点P在直线m上 。6、 等腰三角形：（1） 定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角。腰与底的夹角叫做底角。说明：顶角=180- 2底角图4 底角=可见，底角只能是锐角。（2） 性质。等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。等边对等角。如图5，在ABC中 AB=AC B=C 。三线合一。图5（3） 判定。 有两条边相等的三角形是等腰三角形。如图5，在ABC中， AB=AC ABC是等腰三角形 。有两个角相等的三角形是等腰三角形。如图5，在ABC中 B=C ABC是等腰三角形 。7、 等边三角形：（1） 定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。（2）性质。等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 等边三角形的三个内角都等于60。如图6，在ABC中 AB=AC=BC A=B=C=60。图6（3） 判定。 三条边都相等的三角形是等边三角形。如图6，在ABC中 AB=AC=BC ABC是等边三角形 。三个内角都相等的三角形是等边三角形。如图6，在ABC中 A=B=C ABC是等边三角形 。有一个内角是60的等腰三角形是等边三角形。如图6，在ABC中 AB=AC（或AB=BC,AC=BC） A=60（B=60，C=60） ABC是等边三角形 。（4） 重要结论。在Rt中，30角所对直角边等于斜边的一半。如图7，在RtABC中， C=90，A=30BC=AB或AB=2BC图78、 平面直角坐标系中的轴对称：(1)(2)说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见11（1）。9、 对称轴的画法：在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。注意：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。 成轴对称的两个图形只有一条对称轴。10、 常见的轴对称图形：（1） 英文字母。 A B D E H I K M O T U V W X Y（2） 中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，（3） 三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，（4） 圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。（5） 数字。0 3 8（6） 图形。【有关考点】考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识轴对称图形：如果_个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够_，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做_。轴对称：对于_个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成_，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做_【典例】1下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个2图9-19中，轴对称图形的个数是（ ） A4个 B3个 C2个 D1个3正n边形有_条对称轴，圆有_条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的_、_完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴_关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）关于原点对称点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形【典例】1、如图，RtABC，C=90,B=30,BC=8，D为AB中点，第1题图P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DP的最小值是 2、已知等边ABC，E在BC的延长线上，CF平分DCE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ.若AP=PQ，求证APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是_线段的垂直平分线上的点到_相等归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是_角平分线上的点到_相等【典例】1、如图，ABC中，A=90，BD为ABC平分线，DEBC，E是BC的中点，求C的度数。2、 如图，ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC3、如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC 的周长为（ ）A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米4、 如图，BAC=30，P是BAC平分线上一点，PM AC，PDAC，PD=28 , 则AM= FEDCBAG5、如图，在RtABC中，ACB = 90，BAC的平分线交 BC于D. 过C点作CGAB于G，交AD于E. 过D点作DFAB于F.下列结论：CED=CDE；ADF=2ECD； ；CE=DF. 其中正确结论的序号是( ) A B C D【课后练习】一、选择题1下列命题中：两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线；等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（）个A1个B2个C3个D4个2下列图形中：平行四边形；有一个角是30的直角三角形；长方形；等腰三角形. 其中是轴对称图形有（）个A1个B2个C3个D4个3已知AOB30，点P在AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则P1OP2是（）PAECBDA含30角的直角三角形；B顶角是30的等腰三角形；C等边三角形D等腰直角三角形.4如图：等边三角形ABC中，BDCE，AD与BE相交于点P，则APE的度数是（）A45B55 C60D755. 等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则 这个梯形较小的底角是（）度.A45B30C60D906已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则（） APA+PBQA+QBBPA+PBQA+QB DPA+PBQA+QBD不能确定7已知ABC与A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交与直线MN上一点O，则（）A点O是BC的中点 B点O是B1C1的中点 C线段OA与OA1关于直线MN对称 BADPOC D以上都不对8如图：已知AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若PC=4，则PD=（） A4 B3 C2 D19AOB的平分线上一点P到OA的距离 为5，Q是OB上任一点，则（） APQ5 BPQ5 CPQ5 DPQ510等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm则该等腰三角形的底长为（） A3cm或5cm B3cm或7cmC3cmD5cm二填空题11线段轴是对称图形，它有_条对称轴12等腰ABC中，若A=30，则B=_13在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是_14等腰ABC中，AB=AC=10，A=30，则腰AB上的高等于_15如图：等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=6，AD=5，BC=8，且ABDE，则DEC的周长是_BECDA16等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60，则它的两底长分别为_17若D为ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD， 则BAC=_18ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若BAC=115，则EAF=_三解答题ACDOB19如图：已知AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到AOB两边的距离相等20如图：AD为ABC的高，B=2C，用轴对称图形说明：CD=AB+BDACDB21有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，BEG=60，求折痕EF的长22如图：ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，BCDEA 若BCD的周长为8，求BC的长； 若BC=4，求BCD的周长23等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，问 APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论ACBQP考点五、等腰三角形的特征和识别等腰三角形的两个_相等（简写成“_”）等腰三角形的_、_、_互相重合（简称为“_”）特别的：（1）等腰三角形是_图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应_.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的_也相等（简称为“_”）特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形【典型例题】例1、如图：在ABC中，AB=AC，ADBC， DEAB于点E, DFAC于点F。试说明DE=DF。FEDCBA例2、如图,E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE.求证：ABC是等腰三角形.【巩固练习】1、如图，ABC中，AB=AC=8，D在BC上，过D作DE AB交AC于E，DFAC交AB于F，则四边形AFDE的周长为_ 。2、 如图，ABC中，BD、CD分别平分ABC与ACB，EF过D且EFBC，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则AEF周长为( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 NMFECDBA3、 如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF,A=20o,则FEB=_度4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则它的一个底角的度数是_5、ABC中， DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若DAE=20，则BAC等于 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 7、 已知，在ABC中，ACB=90，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则DCE = 度.考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各_相等，各_相等并且每一个角都等于_三个角相等的三角形是_三角形有一个角是60的_三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_【典例】例1、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。ABCDEM求证：M是BE的中点。例2如图，点P是等边ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE、PF、PG，等边ABC的高为AD，求证：PEPFPGAD【巩固练习】1、填空等边三角形的各_相等，各_相等并且每一个角都等于_三个角相等的三角形是_三角形有一个角是60的_三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_2下列推理中，错误的是【 】AABC，ABC是等边三角形BABAC，且BC，ABC是等边三角形CA60，B60，ABC是等边三角形DABAC，B60，ABC是等边三角形3已知ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AECF，BE、AF交于点D，则BDF _度4如图，D、E、F分别是等边ABC各边上的点，且ADBECF，则DEF的形状是【 】A等边三角形 B腰和底边不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等边三角形5如图B、C、D在一直线上，ABC、ADE是等边三角形，若CE15cm，CD6cm，则AC_，ECD_6如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，