【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学（主干知识典例精析）6.2均值不等式及其应用课件理新人教B版.ppt

第二节 均值不等式及其应用,三年8考 高考指数: 1.了解均值不等式的证明过程. 2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.,1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明. 2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.,1.均值定理： (1)均值不等式成立的条件是 _. (2)等号成立的条件是：当且仅当_时取等号. (3)其中_称为正数a,b的算术平均值，_称为正数a，b 的几何平均值.,a，br+,a=b,【即时应用】 判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写“”或“”) (1)a2+b22ab(a,br) ( ) (2)ab (a，br) ( ) (3) ( ) (4) ( ),【解析】(1)由(a-b)20得a2+b2-2ab0， 即a2+b22ab，故(1)正确. (2)由(1)可知a2+b22ab，即a2+b2+2ab4ab, 即(a+b)24ab,即ab 故(2)正确. (3)由 故(3)正确. (4)若a,b异号，如a=-1,b=1,则 故(4)错. 答案：(1) (2) (3) (4),2.利用均值定理求最值 设a、b为两个正数,若ab为常数p,则a+b有最小值_,积定和最小,若a+b为常数q,则ab有最大值_,和定积最大,【即时应用】 (1)已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy的最大值为_. (2)函数 的最大值为_. (3)已知m0,n0且mn81，则m+n的最小值为_.,【解析】(1)由 等号当且仅当x=1,y= 时取得. (2)x0，当x=0时，f(0)=0； 当x0时， 当且仅当 即x=1时取等号. 所以f(x)的最大值为,(3)m0,n0,mn81, 故m+n的最小值为18. 答案：(1) (2) (3)18,利用均值不等式求最值 【方法点睛】 应用均值不等式求最值的类型 (1)若直接满足均值不等式条件，则直接应用均值不等式. (2)若不直接满足均值不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等. (3)若可用均值不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.,【提醒】(1)应用均值不等式注意不等式的条件. (2)若多次应用均值不等式要注意等号需同时成立.,【例1】(1)(2011无锡模拟)若x-3，则 的最小值为 _. (2)已知a，b为正实数且a+b=1，则 的最小值为 _. 【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用均值不等式形式可解. (2)将 与 中的1用a+b代换整理后利用均值不等式可求.,【规范解答】(1)由x-3得x+30, 又 等号成立的条件是 即 答案：,(2)a0,b0,a+b=1, 同理 等号成立的条件为 答案：9,【互动探究】若将本例(1)中x-3去掉，而求 的取 值范围，又将如何求解？ 【解析】分情况讨论，由题意得x-3, (1)当x-3时，由例题可知 (2)当x0, 等号成立的条件是 故 的取值范围是,【反思感悟】1.利用均值不等式求最值的关键在于凑“和”或“积”为定值. 2.使用均值不等式时容易忽视的是不等式成立的条件.,均值不等式的实际应用 【方法点睛】 均值不等式实际应用题的解法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. (2)当运用均值不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解,【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为 矩形且面积为162平方米的三级污水处 理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.,【解题指南】(1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用均值不等式求得最值，得出结论； (2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.,【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为 米. 则总造价 当且仅当 即x=10时取等号. 当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为 38 880元.,(2)由限制条件知 设 由函数性质易知g(x)在 上是增函数， 当 时(此时 ), g(x)有最小值，即f(x)有最小值 当长为16米，宽为 米时，总造价最低，为38 882元.,【反思感悟】1.本例(2)中由于条件限制应用均值不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内容的常规解法. 2.应用均值不等式解实际应用题时定义域是关键，涉及到等式能否成立，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围.,【变式训练】(2012潍坊模拟)某工厂生产一种产品的成本 费共由三部分组成：原材料费每件50元；职工工资支出 7 500+20x元；电力与机器保养等费用为x2-30x+600元； 其中x是该厂生产这种产品的总件数. (1)把每件产品的成本费p(x)(元)表示成产品件数x的函数， 并求每件产品的最低成本费； (2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部 销售，根据市场调查，每件产品的销售价为q(x)(元)，且 试问生产多少件产品，总利润最高？并 求出最高总利润.(总利润=总销售额-总成本),【解析】(1) 由均值不等式得 当且仅当 即x=90时，等号成立. p(x)= +x+40，每件产品的成本最小值为220元.,(2)设总利润为y=f(x)元，则 则当0x100时，f(x)0，,当100x170时，f(x)0， f(x)在(0，100)上单调递增，在(100,170上单调递减， 当x=100时， 故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为 元.,均值不等式与其他知识的综合应用 【方法点睛】 均值不等式在其他数学知识中的应用 以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查均值不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用均值不等式求解的形式，同时要注意均值不等式的使用条件.,【例3】(1)设x,yr，a1,b1，若ax=by=4且 则 的最大值为_. (2)已知函数f(x)=log2k(x+4)+2+1恒过定点p，且点p在 直线 (a,br+)上，则3a+2b的最小值为_. 【解题指南】(1)用a,b表示x，y代入后，再利用均值不等式 可求. (2)求得p点坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为均 值不等式求解.,【规范解答】(1)由ax=by=4得x=loga4,y=logb4, 故 又a1,b1, 故 等号当且仅当 即x=y=4时等号成立. 的最大值为 答案：,(2)由函数f(x)=log2k(x+4)+2+1可知， 当x=-4时，f(x)=2,即p点坐标为(-4，2)， 又p在直线 (a,br+)上， 故 当且仅当3a2=4b2，即 时等号成立. 3a+2b的最小值为 答案：,【互动探究】若本例(2)中函数改为f(x)=2k(x+1)+1,其余条件不变，又将如何求解? 【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知图象恒过定点p(-1，2)， 依题意，p在直线上，故 等号当且仅当 时取得. 所以3a+2b的最小值为,【反思感悟】解决与其他知识综合的均值不等式题目，难 点在于如何从已知条件中寻找基本关系.本例(1)中其关键是 构建x,y与a,b的关系得到x=loga4，y=logb4，从而将 成功转化为a,b的关系，再利用均值不等式求解，而对本例 (2)中其关键点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问 题便会迎刃而解.,【变式备选】已知函数y=loga(x-1)+1(a0,且a1)的图象恒 过定点a，若点a在一次函数y=mx+n的图象上，其中m0,n0， 则 的最小值为_. 【解析】由函数y=loga(x-1)+1(a0,且a1)的图象恒过定点 a，可得a(2,1), 点a在一次函数y=mx+n的图象上， 2m+n=1,m0,n0, (当且仅当n= ,m= 时等号成立). 答案：8,【易错误区】忽视题目的隐含条件致误 【典例】(2011江苏高考)在平面直角坐标系xoy中，过坐标 原点的一条直线与函数 的图象交于p、q两点，则线段 pq长的最小值是_. 【解题指南】由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设 出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可.,【规范解答】由题意可知 的图象关于原点对称，而 与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两 交点分别为 由两点间距离公式可得 等号当且仅当x2=2，即 时取得. 答案：4,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以 得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011福建高考)若a0,b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于( ) (a)2 (b)3 (c)6 (d)9 【解析】选d.由题意得f(x)=12x2-2ax-2b, 函数f(x)在x=1处有极值， f(1)=0,12-2a-2b=0,即a+b=6. 又a0,b0，由均值不等式得：