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如何利用线段中点（一）引入：上两节课我们研究了中点问题的一般方法.接下来,我们研究如何灵活地利用中点用多种方法构造中心对称图形或多角度构造中位线来解决问题.图1（二）例题：例1如图1，在ABC中，D是AB的中点， ,tanBCD=1/3,求A的正切值设计思想：本题首先是要巩固上两节课中点问题的一般方法，然后学会灵活地利用中点用多种方法构造中心对称图形或多角度构造中位线来解决问题.图2本题由于要为tanBCD的利用创造直角，由于平行线有移角的功能，考虑到D是AB的中点，因此可以利用中位线或构造中心对称图形，把BCD移到直角三角形中，或把直角移到BCD所在的三角形中来.方法一：如图2，延长CD至F，使DF=CD，连结BF，易证：ACDBFD中，图3在RtCBF中，tanBCD= =,设BF=2x，则CF=6x,则：CD=3x,AC=BF=2x.得tanA=. 方法二：如图3，取B的中点，连结.得：CDE=ACD=90.在RtC中，tanBCD=,设=x，则C=x,AC=2x, tanA= =图4方法三：如图4,，取A的中点G，连结G.图5方法四：如图5,延长AC至N，使AC=CN，连结BN.图6方法五：如图6, 延长BC至I，使BC=CI，连结AI.图1例2已知：如图1，ABC中，AB=AC，在AB上取点D，在AC延长线上取点E，连结DE交BC于点F，若F是DE中点，求证：BD=CE设计思想：学会灵活地利用中点用多种方法构造中心对称图形或多角度构造中位线来解决问题.分析：要证的BD，CE不在同一个三角形中，而它们所在的三角形又不是同类三角形，无法证明它们全等，由于F是DE的中点，想到利用中点构造中心对称图形或中位线来移动BD或CE的位置，把它们集中到同一个三角形中或把不同类三角形转化为同类三角形，使问题得以解决.图2方法一：如图2，过D作DM/CE交BC于M， 易证DMFECF,再证：BD=DM.图3方法二:如图3 , 过E作EG/AB交BC的延长线于G. 易证BDFGEF,再证：EC=EG.图4方法三：如图4,在AC取点H,使CH=CE,连结DH .则CF为EDH的中位线.再证BD=CH.图5方法四: 如图5,在AB的延长线上取点N,使BN=BD,连结NE.则FB为DNE的中位线. 再证BN=CE.图6方法五: 如图6, 连结BE,取BE的中点K，取BC的中点M ,连结MK,KF.则MK,KF分别为中位线. 再证KM=KF,得BD=CE.图7方法六: 如图7, 连结CD,取CD的中点H，取BC的中点I,连结HI,HF.则HI,HF分别为中位线. 再证HI=HF,得BD=CE.（三）练习：1.已知如图1，ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F. 求证：FC=2AF . 图1图12.如图1所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且ABCE，求证：12.3. 如图1，ABC中，D是BC边的中点，BEAC于点E，若 ，图14. , 求证：.图14如图1，在四边形ABCD中，AB=CD， E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H. 求证：BGE=CHE. 练习答案:(每题都有多种解法,请仿照例题进行解答)1. 提示：证法一（其余方法略）：如图1，过点D做DGBF，交AC 于G 图1 D是BC边的中点,DGBF . FG=GC . 同理，AF=FG ,2AF=2FG=FG+GC=FC . 即 FC=2AF. 图12. 提示：证法一：如图1，延长ED到F,使DF=AD，连结CF.易证ABDFCD.AB=CF ,1F.AB=CE,CE=CFF2,.12.图2 (证法二：如图2，取AC的中点G,取AE的中点H,连结DG.GH,利用中位线来证明.) （其余方法略）图13.提示：证法一：如图1，取CE的中点G, 连结DG，所以，DG为中位线，得DGBE, 由得AGD=90,在ADG中，得DG=AD,于是AD=BE.图2（证法二：如图2，取BE的中点M, 连结DM，类似法一可证AD=BE. （其余方法略） 4提示：证法一：如图1：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，则 ME是BCD的中位线， MECD， MEF=CHE， 由MF是ABD的中位线， MFAB， MFE=BGE， AB=CD， ME=MF， MEF=MFE， 从而BGE=CHE.（证法二：如图2，延长GE到K,使EK=EH，连结BK.略. 或者延长GE到K,使EK=GE，连结CK也行. （其余方法略）图2图1（四）总结：通过这两道例题和习题，使学生熟练地掌握中点问题的一般方法，并在此基础上灵活地进行一题多解，提高他们的解题能力.习题中的每道题都有多种方法,希望同学们能仿照例题逐一进行尝试,逐渐形成一种解题能力.1. 如图，在ABC中，D是AB的中点， ,tanBCD=,求A的正切值.2. 已知：如图，ABC中，AB=AC，在AB上取点D，在AC延长线上取点E，连结DE交BC于点F，若F是DE中点，求证：BD=CE练习（三）姓名： 日期： 指导教师： 成绩： 1.已知如图1，ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F. 求证：FC=2AF . 图1图12.如图1所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且ABCE，求证：1