2015年广东高考数学备考资料：数学试题设计与复习备考（共100张PPT）.ppt.ppt

广州市第五中学 2014年9月,数学试题设计与复习备考,一、对数学复习备考的认识,1、备考复习是较为艰巨的过程 复习中有一种不正确的观念： 总认为学生学习不得力，教师用做题的方式来强化 学生的学习。 认为高考题不好琢磨，常考常新。 无论是学生还是高考命题，这都不是主要原因，其 实在高考复习过程中，教师才是关键。,道理很简单： 只有教师了解全部考试内容，知道主干和一般原 则，懂得工具的使用和如何思考问题； 教师备考资源比较丰富，明白解决问题的策略， 且具有创造性的本能； 教师基本知道考试的方向。,在复习中，教师的具体作用在哪里？ 在了解学生的基础上组织复习； 如何使自己知道的交给学生也能知道； 如何对数学问题进行组织这是最重要的。,2、研究复习备考，需不需要关注考试信息？ 要围绕“猜”、“压”做文章的心理。 其实这些不重要，高考不仅是在考学生，同时也是在考老师。 备考研究主要研究三个方面：一是备考的指导思想，即通过分 析考题和学生现状，搞清楚如何组织复习，这是思想性的。 二是备考的策略交流分享，了解大环境下的备考形势，便于在 自己的备考过程中进行完善。 三是在问题选择上进行探讨，如何用最少的问题来获得复习的 高效益。,试题内容选择心理： 心理原则一 ：选择的内容必须具有代表性，选择实际上意味 着“强调”。努力使试题都是若干可共选择的同类试题中的 代表，出一道好题应具有“纲举目张”的功能，使整个体系 抖动起来。 心理原则二：选择的内容必须是重点，选择实际上意味着“ 强化”。努力使试题能找到实际教学的影子。 心理原则三：选择的内容应是有利于学生巩固和加工经验。 选择实际上意味着“诚信”。,基础复习有三个遵循原则： 原则一：改错 辩证地看，学习的意义在于做错了题，只有错题才能反映学 习过程中的不足。 原则二：研究 要研究典型题。选择的题都要深入思考，找到一类题共同的 考点。 原则三：纠偏 补短就是让头脑中有完整的知识网络。要在知识点间建立联 系，形成知识网络。,3、复习不是炒现饭。 要在原有基础上加工、改造，是具有造血功能的过程。 “复”指又、更、再的意思，也指还、返的意思，复习不是 重复的学习，而是具有加工、改造的学习。 要利用数学本身的逻辑性、抽象性和学生反映的错误性作为 主要备考资源。逻辑性：语言的准确转译和数学问题的科学 表征；抽象性：具有概括、联系、创新的功能。错误性：由 学生思维惯性引起。“观察、联想、变换”是解题的本质， 其中“变换”是关键。,复习中组织恰当的问题让学生进行经验的改造，不仅摆脱 了题海，少做多获，更是效率的保证。正如波利亚所说： 一个专心备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的 题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题, 就好像一道门，把学生引入一个完整的理论领域。,二、对数学高考的认识,这些年高考题已形成了一些稳定的风格： 结构稳定： 三大题型格局不会改变，题型、题量、分值基本稳定，实测 难度大都控制在0.60左右。 重点突出： 突出五大能力和两个意识，突出数学主干和数学思想方法， 突出数学与现实生活的联系。 技术成熟：以考试说明为依据，不拘泥于教材，在知识 交汇处设计命题，能力立意，难度稳定，增加思考时间。对 选、填、解的设计从易到难出现3个小高潮，试题切入容易 但深入难，大题几乎都是阶梯题。,选择题的特点： 概念性强，术语、符号、习惯用语都有明确具体含义。 量化突出，定量试题比例较大，计算中蕴含了对概念,原理, 性质和法则的考查。 充满思辨性，源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。 填空题特点：短、小、灵，考查目标集中。 解答题特点：考点目标较多，综合性强，难度较高。 总体上突出通性通法，淡化特殊的技巧，基本上没有思路 比较狭窄和有歧义的试题，起点低落点高。,高考试题难度呈现的特点,1、阅读量较大： (2011粤理21题)已知抛物线c:4y=x2，实数p、q满足p2 -4q0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记(p,q)=max|x1|，|x2|. 过c上横坐标为p0(0)的点a作c的切线交y轴于点b证明：对线段ab上的任一点q(p,q)，有(p,q)=|p0|/ 2； 设m(a,b)是定点，其中a、b满足a2-4b0,a0.过点m作c的两条切线l1,l2，切点分别为e(p1,y1)，e/(p2,y2)，l1,l2与y轴分别交于f,f/.线段ef上异于两端点的点集记为x，证明：m(a,b)x等价于|p1|p2|等价于(a,b)=|p1|/ 2； 设d=(x,y)|yx-1，y(x+1)2/4-5/4，当点(p,q)取遍d时，求(p,q)的最小值（记为min）和最大值（记为max）,2、变量较多： (2014年粤理7题)若空间中四条两两不同的直线l1，l2， l3，l4，满足l1l2， l1l2，l2l3， 则下列结论一定正确的是( ) al1l4 bl1l4 cl1，l2既不垂直也不平行 dl1，l2的位置关系不确定,3、证明艰涩： (2010年粤理21题)设a(x1,y1)，b(x2，y2)是平面直角坐标系xoy上 的两点,现定义由点a到点b的一种折线距离为(a,b)=|x2-x1|+|y2-y1|， 对于平面xoy上给定的不同的两点a(x1,y1)，b(x2，y2) (1)若点c(x,y)是平面xoy上的点，试证明：(a,c)+ (c,b)(a,b)； (2)在平面xoy上是否存在点c(x，y)，同时满足 (a,c)+ (c,b)(a,b) (a,c)= (c,b) 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。,4、问题抽象： (2013年粤理8题)设整数n4，集合x=1,2,3,n。 令集合s=(x,y,z)|x,y,zx，且三条件xyz,yzx,zxy 恰有一个成立，若(x,y,z)和(z,w,x)都在s中，则下列选项正 确的是 a.(y,z,w)s，(x,y,w) s b.(y,z,w)s，(x,y,w)s c.(y,z,w) s，(x,y,w)s d. (y,z,w) s，(x,y,w) s,5、设问新颖： (2014年粤理8题)设集合a=(x1，x2，x3，x4，x5)| x i-1,0,1，i=1,2,3,4,5，那么集合a中满足条件 “1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为( ) a60 b.90 c.120 d.130,6、方法难觅： (2012年粤理19题)设sn是数列an前n项和， 2sn=an+1 -2n+1 +1(nn+)，且a1、a2+5、a3成等差数列。 求a1； 求an； 证明：a1，a2，an的倒数之和小于1.5。,7、推理困难： (2011年粤理8题)设s是整数集z的非空子集，如果任意 a,bs，有abs，则称s关于数的乘法是封闭的若t,v是z 的两个不相交的非空子集，yv=z,且任意a,b,ct，有 abct；任意x,y,zv，有xyzv,则下列结论恒成立的是( ) at,v中至少有一个关于乘法是封闭的 bt,v中至多有一个关于乘法是封闭的 ct,v中有且只有一个关于乘法是封闭的 dt,v中每一个关于乘法都是封闭的,三、数学题设计策略,(一)数学问题设计举例 1、角度原则：圆o：x2 +y2 =r2 (r0)和直线l：kx-4y+m=0。 若m=10，k=3，圆o上仅有两个点到直线l的距离为1，求r的取值范围。 若m=10，k=3，圆o上仅有三个点到直线l的距离为1，求r的取值范围。 若m=10，k=3，圆o上仅有四个点到直线l的距离为1，求r的取值范围。 若r=2，k=3，圆o上仅有四个点到直线l的距离为1，求实数m的取值范围。 若r=2，k=3，直线l上至少存在一点使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆o有 公共点，求实数m的取值范围。 若r=2，m=16，直线l上至少存在一点使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆o 有公共点，求实数k的取值范围。 把圆中“形”的概念转译到数的推理中，强化认识的增值。,2、加固原则 问题1：数列an是公差不为0的等差数列， an的部分项组成的数列 恰为等比数列， 如果k1 =1，k2 =5，k3 =17，求kn。 巩固基本数列概念，拓展思维空间，融知识与方法之中， 训练转化能力。,问题2：各项都为正数的等差数列an的公差不为0， 设a1，a3，a7是公比为q的等比数列bn的前三项， 若首项a1 =2，将数列an与bn中相同的项去掉，剩下 的项依次构成新的数列cn,设其前n项的和为sn , 求 的值。 易知an=n+1，bn=2n，数列cn前2n -n-1项的和正好是 数列an前2n -1的和减去数列bn前n项的和，余下的项 正好是(2n-1)-n=2n -n-1，所以 加大经验改组水平，体验数学活动经验的获得，训练表征能力,3、概括原则曲线中定值、定点问题(难点),问题1：在圆中，直径所对圆周角是直角，那么两 直角边所在直线的斜率乘积为-1。在椭圆中，过中心 的弦交椭圆于a、b，p是椭圆上异于a、b的任意点，那么 pa,pb所在直线的斜率乘积是多少？ 可以证明： (当e=0时，是圆，将b2换成-b2就是双曲线问题) 提供经验对比，创设发现新经验的活动环境.,问题2：(江苏2011年理18题)： 设m、n是曲线2x2 +4y2 =8的左顶点、下顶点，过中心 的弦为pa(p在第一象限)，过p作x轴的垂线，垂足为c，直线 ac交椭圆于b，设直线pa的斜率为k， 当直线pa平分线段mn时，求k的值； 当k=2时，求点p到直线ab的距离； 对任意的k0，求证：papb. 【3问：设p(x,kx)，则c(x,0)，a(-x,-kx)，因为pa是直径，所以kbp kba = -0.5，而kba =kac =0.5k， 所以kpa kpb = -1】 巩固发现成果，在具体活动中增强数学活动的兴趣。,3、“显函数”与“隐函数”相关变量主变量与相关变量,问题1：(2013山东理)正实数x,y,z满足x2 -3xy+4y2 -z=0， 当 取最大值时，求 的最大值。 【分离变量，z =x2 -3xy+4y2 ，再利用基本不等式，转化为 单变量y的函数，求得最大值为1】 问题2：设点p在椭圆x2 +2y2=4上，求x+y的取值范围。 表征1：用参数方程； 表征2：转化为求只需截距范围； 表征3：由柯西不等式,(二)数学复习题的设计策略(5个增长点),1、从课本问题及知识间内在联系的角度寻找试题增长点 问题1：向量a=(x，1)，b=(4，x)，且两向量的夹角为， 则x=( ) 这是人教a数学4119页a组8题的改编。把显性条件“共线且方 向相同”换成了隐性条件“向量夹角为”，从而既考查了共 线性质，又考查了夹角概念。,问题2：集合m=4，3，1，0，-1， 记m的所有非空子集为mj，每个mj中所有元素的积记作mj， j=1，2，31，则m1 +m2 +m31 =( -1 ) 把集合概念与运算概念结合起来，考查子集概念和抽象思维 能力。-1的运用是隐含条件。,问题3：实数x,y满足x2 +y2 +xy=1，x+y最大值是( ) (2011浙江文16题) 常规思路1：基本不等式： 常规思路2：切线法：令m=x+y，则x2-mx+m2=1， 由判别式=0求得。 新思路1：方程法：令m=x+y，则xy=m2 -1，所以x,y是方程 t2-mt+m2=1的根，所以判别式0。 新思路2：基本不等式：2xyx2 +y2，3xyx2 +y2+xy=1， 3(x+y)2=3+3xy4。 新思路3：三角法：已知式变为： 写出“圆”型参数方程，整理可得到最大值,如在讨论三角函数性质时，注意指导学生回忆 最基本的数学概念和命题 函数f=msin(x+)(0)在区间a，b上是增函数，且最 大值是m，最小值是-m，那么函数g=mcos(x+) 在区间 a，b上( a ) (全国统考题) a.可以取最大值m b. 是减函数 c. 是增函数 d. 可以取最小值-m,2、从学生思维习惯及分析问题角度寻找试题增长点,问题1：曲线切线方程认识方法 过点(1,0)与曲线y=x3 相切的切线方程是( ) 可能认为y=0不是切线方程，因为这条直线穿过了曲线， 常规思路认为：在切点附近，曲线应在切线的同侧。 常规思路：设切点为a(t,k)，则斜率为3t2，在过a点的切线方程 中，将点(1,0)带入可求得t值唯一，故切线只有一条。 这里引入两个问题：直线x=0也穿过曲线，为什么x=0不是 切线？ 过原点的直线有无数条，为什么只有y=0是切线？(帮 助学生理解f/(0)=0，斜率唯一)。 举例让学生进一步理解： 求y=cosx在x=0.5+k处的切线方程。,问题2：多个变量三角问题认识 设,为锐角，cos(+)=sin(-)，求tan。 常规思路：通过和角公式展开，推出：sin=cos 思路改进：因为只要cosx=siny，就只需x+y=0.5， 所以只要+-=0.5即可。 也即=/4。,问题3：函数f(x)由分段函数表示，当x0时， f(x)=x2+1，当x0时，f(x)=1，满足： f(1-x2)f(2x)，则x的范围是( ) 常规思路：分段讨论或作出图像观察运算。 但就是这个思维习惯影响了思维发展， 事实上，当1-x20时，2x0是存在的.,3、从学生经验性思维巩固及形成整体经验结构的角度寻找试题增长点,问题1：几何中最值问题的认识 已知圆o：x2 +y2=1，点p在直线x+3y-8=0上，过p 作圆的切线pa ,pb，切点为a,b，则四边形oapb面积的最小 值是( ) 两个基本思路：p在直线上，设出p点的坐标，op的长可 用p点坐标参数表示，由于soapb=2soap，再根据二次函数 求最值。 设op=t，则s可用t表示，只有op直线时，t最小。 这两个思路不足以完善学生的经验思维，可引入问题：,求向量pa、pb的数量积的最小值。 数量积变化的本因是线段op长度的变化，设op=t， apo=，则tsin=1，cos2=1-sin2，于是 这个结论是错误的，原因就是等号是否成立，事实上等号不 成立，因为问题中的 ， 根据函数的单调性知，仅当 时，可求最小值。,引申：已知圆o：x2 +y2=1，点p(t,k)在直线x+3y-4=0上， 点a在圆上，opa=30，求k的取值范围。 思维难度在于不知如何下手，条件中，点a在圆上的深层次 的含义是直线pa与圆相交，因此点o到pa的距离就不大于1, 从而op长度就不小于2。 这是对经验性思维的一种上升。,问题2：注重联系与联想 直线bx+ay=ab过点m(cos,sin)，证明： 常规思路：点在单位圆上，所以直线与圆有交点，圆心 到直线距离不小于1。 联想1：由 ，联想到三角中合一变换(三角 辅助公式)；,联想2：由 , 再由基本不等式： ， 代换得证。 联想3：作向量 ， 且 ，即可得证。,问题3：强化经验 将a=10a2 +81a+207，b=a+2，c=26-2a进行适当 排列，再分别取常用对数，构成公差为1的等差数列， 求实数a的值。 在改造经验方面： 如何翻译问题； 作为真数，需要确定a的取值范围； 进行排列的数学含义，需要比较a,b,c的大小，在比较中 要用到二次函数性质，并将a的范围分成两个子区间； 分别在子区间上应用等差数列的性质。,问题4：在对比中加固思维 已知x2 +px+12x+p， x2,4时，不等式恒成立，求p的取值范围； |p|2时，不等式恒成立，求x的取值范围。 第一问：常规思路1：函数法，研究函数f(x)0，借用对称 轴进行分类讨论；比较复杂(通法) 常规思路2：分离变量，因为x1,所以p1-x，求其最大值。 启示：图像法,原不等式化为：(x-1)2 -px+p,作两函数图像, p0,得(-px+p)|x=21;p0,得(-px+p)|x=21;p=0，恒成立,第二问：常规思路1：函数法，此时，转化后的左边 表示一次函数，只需端点的函数值0； 常规思路2：分离变量，略 启示1：图像法,不等式变为：(x-1)p-(x-1)2. x1,p-x+1,只需1-x-2，所以x3；x1,p1-x，只需 1-x2，所以x-1。 启示2：讨论,把不等式看成方程,有两个根1,1- p,对根进行比较 1- p0，即p ,所以x1或x1- p|max=3； 1- p0，即p ,所以x1或x1- p|min=-1； 1- p=0，此时x1。取交集：x-1或x3。,4、从高考试题比较及考试说明要求的角度寻找试题增长点,问题1：(2008福建理)：已知向量m=(sina，cosa)， n=( )， ，a为锐角. 求角a；求函数f(x)=cos2x+4cosasinx(xr)的值域。 在此基础上课增加： 若 ，求cos。,问题2：(2010全国卷)： 抛物线c：y2 =4x的焦点为f，过点k(-1,0)的直线l与 c相较于a、b两点，点a关于x轴的对称点为d， 证明：点f在直线bd上。 改编：抛物线c：y2 =2px(p0)上两点p、q关于x轴对称， 点m(m，0)(m0)是x轴上一点，直线pm与c的另一个交点 为r，证明：直线qr经过x轴上一个定点n。,问题3：(2010广东理20题)：双曲线x2 -2y2=2的左右 顶点为a1,a2，点p(x1,y1),q(x1,-y1)是曲线上不同两点。 求直线a1p与a2q交点的轨迹e的方程； 过点h(0,h)(h1)的两条相互垂直的直线与轨迹e只有一 个交点，求h的值。 问是轨迹转移问题,通过解方程沟通新旧轨迹的联系,通过旧 轨迹转移得出新轨迹.只要找到直线a1p与a2q交点即可,p,q不 同的含义是y10,|x1|a。进行轨迹的转移得到椭圆的轨迹 (除去四个顶点)。,第二问中为什么要规定h1? 因为轨迹e是椭圆(四个顶点除外)，所以直线与e只有一个交 点，这个交点就是切点，于是可设点斜式方程，与e方程联 立转化为二次方程，令判别式为0，就得到关于这条直线斜 率的二次方程，这个方程两根的积等于-1，可求h。 由此可以做这样的推广： 把双曲线换成一般标准型，且第二问中将h1换成hb。这 就是2014广东理20题的背景题。,5、从推陈出新来增强知识通性规则的角度寻找试题增长点,问题1：椭圆方程推导再认识 由 ， 可设： 两式平方相减、相加，分别得到： ad=cx，x2 +y2 +c2 =a2 +d2，消去d即得到椭圆方程。,问题2：等比数列求和公式再认识 将和式两边同时乘以q，再根据定义得 qsn=a1q+a2q+anq=a2+a3+an+anq，用和式减去这个式子 得到：(1-q)sn=a1-anq。 另：外根据定义后项比前项等于常数q，再根据比例性质得 还可以由定义出发： 得到：,问题3：抽象函数再认识 函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x,yr， f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，求f(x)表达式。 特殊值：令x=y=0，f(1)=2，又f(0)=1，猜想：f(x)=x+1 再令y=1，有f(x+1)=2f(x)-x，设f(x)为一次函数，采用待定 系数法，求得f(x)=x+1 根据对称性，将已知式中的x,y对换后，两式相减得： f(x)+y=f(y)+x，令y=0即得。 根据上面关系可构造数列：数列an中，a1 =2， an+1 =2ann，求通项an . 直接推导比较困难，先猜想an =n+1，再数学归纳法证明。,四、备考复习对策,第一，抓基本概念、基本公式、基本定理的巩固 1、函数零点概念三个视角组织 方程的根,(2012湖北) 求函数f(x)=xcosx2在区间0,4上零点的个数； 函数图像与x轴交点的横坐标，(2009天津)研究函数 在区间(e -1,1),(1,e)内的零点。 两函数图像的交点横坐标,(2013天津)设f(x)=ex +x-2， g(x)=lnx+x2 -3，若实数a,b满足f(a)=0，g(b)=0，比较f(b)与 g(a)的大小。,强化：证明：f(x)=3ax2 +2bx+b-a(a,b不同时为0) 在(-1,0)内至少有一个零点。 【考查端点,不成功,需取分点.如f(-1)=2a-b，f(-0.5)= -0.25， f(0)=b-a，有f(-1)f(-0.5)=-0.5a2+0.25ab， f(-0.5)f(0)= 0.25a2+0.25ab，当a=0，x= -0.5，a0时，两 式相减0，说明总有一式0； 也可以取分点-1/3； 还可以设出零点t，当a=0时，t=-0.5，a0时，分a0，a0 推出】,2、等比数列数列概念识别 an中，若an=qan-1，数列一定是等比数列？ an成等比数列的充要条件是对任意正整数n， 都有 ？ an是等比数列，则 也成等比数列？,3、有心圆锥曲线再认识,设中心在原点,焦点在坐标轴上,直线y=x+3与该曲线相交于p,q， pq中点为m(-2,1),且|pq|= ,求曲线方程。 利用中点把p,q坐标设出来,由点p在直线上和距离|pq|联立, 求出p,q坐标,设曲线系方程为mx2+ny2=1,由p,q在曲线上,得曲线方程. 推1,直线l1,y=k1x+1,l2,y=k2x+1,两直线交点在曲线2x2+y2 =1上,证明k1k2=-2. 曲线方程化为：2x2=-(y+1)(y-1),把直线带入曲线方程化简即得证明。 推2,直线l1,y=k1(x+a),l2,y=k2(x-a),两直线交点在曲线b2x2a2y2=a2b2上 证明：k1k2=b2/a2。 方程化为,a2y2=b2(x-a)(x+a),把直线方程带入曲线方程化简即得证明 总结：过中心的弦称为曲线的直径,曲线上动点p(异于直径端点),p点与直径 两端点的连线的斜率乘积为定值,这个定值为e2-1(椭圆)，1-e2 (双曲线),第二，抓方法的引领，建立自己的经验模式,问题1：抛物线y=ax2通过代数转化得到定义：,问题2：求满足条件ab=2，ac=bc的abc面积 的最大值， 【建立坐标系，设a(-1,0)，b(1,0)，c(x,y)， 则 注意|y|最大值为 】,问题3：方程x3 +3x-1=0的根在(k/12，(k+1)/12)上， 求整数k的值。 【令f(x)= x3 +3x -1,f(0)0,f(1)0,f(0.5)0,f(0.25)0 故根在(0.25,05)上,但题中分母是12,可尝试f(1/3),推得k=3】 问题4：求证： 左边是前n个自然数的和,很容易想到 ，右边不等 式也会自然想到 ，但这里放宽了。 于是可以借助 .,第三，抓语言的转译表征，巩固思维经验,问题1：不等式证明 【用 或用 】,问题2：(2011山东理)：极限思想处理零点 函数f(x)=logax+x-b，当2a3b4时， 有零点x0(n，n+1)，nn+，求n。 【函数在(0，+)是增函数，所以f(n)0，f(n+1)0恒成立. 当a无限趋近于2，b无限趋近于3时，f(n)无限趋近于log2n+n-3 log2n+n-30，同理，log3(n+1)+n+1-40于是有n=2，这 是极限的思想】,第四，抓整体观念、全局观的训练，厘清整体与局部的关系,问题1：求1,2,n这n个正整数中每两个数乘积之和. 【即求s=12+13+1n+23+24+2n+ (n-2)(n-1)+(n-1)n.由(1+2+n)2 =12 +22 +n2 +2s得到】 问题2：求sin220+cos250+sin20cos50的值。 【设x= sin220+cos250+sin20cos50 , y= cos220+sin250+cos20sin50， 则x -y= -0.5-sin70，x+y=2+sin70】,问题3： 证明：令an=左边的乘积式,由于 当n取1,2,n时，由得到n个不等式，两边分别相乘后， 再两边同时乘以an的式子,就得到(an)21/(2n+1),再开方得证. 总结：当左边式子无法计算时，转化为能够计算的式子. 本题目结构：分母是连续的偶数，分子是连续的奇数，便于整 体考虑。难点是构造不等式。,第五，抓数学问题的表征，提高解决问题能力,问题1：已知x21,0,x，求x 有两种含义：集合的含义，x2取1,0,x三者之一。 数学含义：方程x2=1或x2=0或x2=x.这个问题的表征有两层意 思：元素与集合的关系(显性关系).元素的互异性(隐性关系). 问题表征阶段的结果主要有两种：对问题表征促使联想起 一个有效的解题知识块,这种表征使得问题得到重新组织或重 新归类,从而联想起一个可行的解决方案,也就是激活了一个适 当的解题知识块.并没有一个现成的解题知识块能被联系起 来成为有效的解答方案，而是遵循探求解答的“尝试+顿悟” 的路线去探索。,问题2： 求整数m,使方程x2 -mx+m-2=0的根为整数； 方程x2 -mx+m-2=0的根及m均为整数，求m。 问1表征明显，根据公式再猜测m(=2),m为整数的信息显著。 问题2配置丰富,更关注根与m的关系,直接的信息是分离变量, 其实问题一样，只是顺序颠倒了。 问题信息表征一般有三种：语言文字、符号、图表，数学语言 因问题的一般性而具有抽象性，因便于计算和变换而具有符号 化，因事物的复杂性而造成表述的程序性。,问题3：抛物线y=-x2 +mx-1,点m(0,3),n(3,0).若抛物 线与线段mn有两个不同的交点,求实数m的取值范围。 表征1：方程y=-x2+mx-1与方程x+y=3在0,3上有两个解， 求m的范围. 表征2：若方程x2-(m+1)x+4=0在0,3有两个不等实根, 求m的范围。 表征3：若函数y=x+4/x,在0,3上的图像与直线y=m+1有两个交 点，求m的范围。 表征4：方程x+4/x=m+1在0,3上有两个不等实根,求m的范围. 不同的表征形式对问题的解决是有差异的。,问题4： (2010浙江理15题) 等差数列an中,s5 s6+15=0,求公差d的取值范围。 面对问题首选将和式转化为a1与d的关系式.但面对二元二次式 想不到转化为关于a1的一元二次方程，如果将这个二次式改写 成2x2+9xd+10d2+1=0，再求d的范围，相信都能轻松拿下。 问题5：实数x,y满足4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为( )。 如果设2x+y=m,将已知二元方程转化为关于x的一元二次方程， 即可求出m的范围。或数形结合也可以。 表征实际上是审题中的构思,问题6：函数f(x)=x3/3-(ax2)/2+bx+c(a0),曲线y=f(x)在 点(0,f(0)处的切线方程为y=1。确定b、c的值； 设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2)， 证明：当x1x2时，f/(x1)f/(x2)； 若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线，求a的取值范围。 问：求函数导数；根据切线结论可以表成关于x1,x2的两个3次方程 用反证法。若相等,则x12-x22=a(x1-x2)，若x1=x2即得证,否则x1+x2=a， 由切线的结论,两式相减得：x1x2=a2/4，于是x1,x2是方程x2-ax+a2/4=0 的根，这个方程有等根。于是x1=x2。 问：只需原函数方程有三个实数根，因此在a/2处函数的极小值小于0。,第六，抓评讲与点拨，把预设和解决错误当作复习资源,问题1：数列an满足an=n+c/n，若对nn+， 都有ana3成立，求实数c的范围。 法1：由a1a3，a2a3，a4a3，a5a3，得到6c12(以偏概全) 法2：n+c/n3+c/3,(n=3等号成立),n3,则c3n，(所以c3为什么？)； n3时，取n=4，c12；n3时，取n=2，c6。于是6c12。 法3：ana3,得；n2-(3+c/3)n+c0,由0,c=9(是充分非必要条件)。 法4：an=n+c/n,令其导数=0,得n2=c,由a3最小,取n(2.5,3.5),c(2.52,3.52) 法5：ana3,得f(n)=(n-3)(3n-c)0,f(3)=0,f(c/3)=0,于是2c/34. 法6：令f(n)=n+c/n,若c0,则f(n)递增,不合题意,当c0,有最小值a3，问题转 化为a2a3且a4a3，求得6c12. 强化练习1：an=n2-kn，恒有ana3，求k的范围； 强化练习2：an=n2-kn，(nn+)是递增数列，求k的范围。,问题2：已知曲线3y=x3+4,求过点p(2,4)的切线方程。 法1：因为p在曲线上，可求出切线斜率为4， 所以切线方程为4x-y-4=0 法2：先设切点，写出切线方程，将p点带入切线方程，得到 切点的横坐标为2或-1,所以切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0 法1是对题目的表征意义不明确,或是把“过p点的切线”与 “过p点处的切线”当成了同一个意思。 求过点的切线方程，无论点是否在曲线上，要把设切点放在 首位。,问题3：方程x2+a|x|+a2=9(a为实数)有唯一实数根， 求a. 常规思考：令t=|x|，则t2+at+a2=9有唯一解，所以t=0，得 a=3 (原因：t=0只是充分条件,a=3只是必要条件,实际上t0) 改进：原问题等价于t=0或有两个不同的解，其中t1=0， t20。当a=-3时，方程有两解，t1=0，t2=3。即a=-3要舍。,第七，抓总结、寻找认识方式,问题1： 在对数型函数中，定义域或值域为全体实数容易混淆： 如函数y=lg(x2+2x+2a)，在定义域、值域为实数r时，分别 求实数a的取值范围。,问题2：圆锥曲线有一类最值问题与讨论|ma|+|mf|/e 的最值有关(a是定点，m是曲线上动点，f是焦点)， 先讨论椭圆情况： 点f,f/是椭圆的焦点，a是定点，m在椭圆上，则有结论： a在椭圆内,|ma|+|mf|最小为2a-|af/|,此时m是椭圆与f/a延长线的交 点；|ma|+|mf|最大为2a+|af/|,此时m是椭圆与f/a的交点； a在椭圆外,|ma|+|mf|最大为2a+|af/|，此时m是椭圆与f/a延长线的 交点；|ma|+|mf|最小为|af|，此时m是椭圆与fa的交点； 再讨论双曲线、抛物线的问题。之后做做练习： f是双曲线3x2-y2=12的左焦点，a(1，4)，p在曲线右支上， 则|pa|+|pf|的最小值为: p是抛物线y2=2x上的点,p到点(0,2)的距离与到准线距离之和的最小值为:,问题3：几何概型表征方式贝特朗奇论,在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长度超过圆 内接正三角形边长的概率是多少？ 法1：以m为顶点作正mab，如图1， n点只能在劣弧ab上，故p=1/3 法2：任作弦mn后，再做垂直于mn的直径pq， 过p作内接正pcd，pq与cd相较于a， 则oa=aq，取po的中点b(如图2)， 于是弦mn的中点落在线段pq的任一位置是等可能的， 中点落在线段ab上满足条件，故p=1/2,法3：作内接abc的内切圆(与外接圆同心且半径是 外接圆半径的一半). 任取一条弦mn，记其中点为p(如图3)， p落在大圆内是均匀的，故p=1/4 比较三种方法：法1，建立在弦的端点在圆周上是均匀分布的,固 定一个端点m，则n在圆上各点是等可能的，所求结论正确。 法2，建立在弦的中点在垂直于弦的直径上是均匀的，则中点在 直径上各点是等可能的，所求结论正确。 法3，建立在弦中点在圆内分布是均匀的，则中点在圆内任何位 置是等可能的，所求结论正确。,为什么同一问题有三个不同结论： 总结：确定等可能角度，同一问题从不同等可能角度去理解可能 得到不同的答案；找出全部等可能基本事件区域和随机事件中等可能基本 事件区域，有区域确定测度。 选择类似且无歧义的练习中加深理解： m是半径为1的圆上定点，过m作圆的任意一条弦mn，求mn的长超过该圆 内接正三角形边长的概率； 在半径为1的一条直径上任取一点，作与该直径垂直的弦mn，求mn的长 超过该圆内接正三角形边长的概率； 在半径为2的圆上，随机地取一条弦mn，设p为mn的中点，求p点落在半 径为1的同心圆内的概率； (2009福建文14题)点a为周长是3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取 一点b，则劣弧ab的长度小于1的概率是( ),第八，抓变式比较，掌握数学本质,问题1：函数的值域与函数值的含义 函数f(x)=3x2 -(2m+6)x+m-3的值为非负数，求m的范围； 函数f(x)=3x2 -(2m+6)x+m-3的值域为非负数，求m的范围。 两问题一字之差，结果大不相同。 问，f(x)0，判别式0，得：-3m0； 问，函数的值域为 ，所以m=-3或m=0。,问题2：自对称与相互对称,函数y=f(x)在定义域内任意x都有f(x-1)=f(1-x)，求对称轴； 函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图像关于直线l对称，求l的方程 这是函数图像自对称与两函数图像相互对称问题，理解很容易犯错。 问，x-1与1-x互为相反数，作整体代换知，对称轴为y轴。 问，作平移可得，对称轴为x=1. 推广：函数y=f(x)满足关系f(x-a)=f(a-x)，则自对称轴方程为x=0 函数y=f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x)，则自对称轴方程为x=a 函数y=f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x)，则自对称轴方程为x=(a+b)/2； 函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)图像的互对称轴方程为x=(b-a)/2 函数y=f(x -a)与函数y=f(a-x)图像的互对称轴方程为x=a 函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)图像的互对称轴方程为x=0,问题3：恒成立与存在性 函数f(x)=x2-(3ax)/2+4，求满足下面条件实数a的取值范围。 任意x1,2恒有f(x)0； 存在x1,2，有f(x)0。(分类讨论与分离变量) 总结：恒成立有：kf等价于kfmax，kf等价于kfmin. 存在性有：kf等价于kfmin，kf等价于kfmax.,强化：函数f(x)=x3-(3ax2)/2+4(a0)，求满足下面条件实数a 的取值范围. 任意x1,2恒有f(x)0. 存在x1,2，有f(x)0.(导数法、分类讨论与分离变量) 设计两个函数的比较： 函数f(x)=x3-(3ax2)/2+4，g(x)=ax+4(a0). 求满足下面条件实数a的取值范围。 任意x1,2恒有f(x)g(x)； 任意x1,x21,2，恒有f(x1)g(x2)； 存在x11,2，任意x21,2，有f(x1)g(x2)； 任意x11,2，存在x21,2，有f(x1)g(x2)； 存在x11,2,存在x21,2,有f(x1)g(x2).(作差,求导,比较最值),总结： f(x)ming(x)max. f(x1)ming(x2)max. f(x1)maxg(x2)min. f(x1)ming(x2)min. f(x1)maxg(x2)min. 练习巩固： 函数f(x)=x2+2x，若f(x)a在1,3上有解， 求实数a的取值范围. 函数f(x)=x2+2x，若f(x)a在1,3上恒成立， 求实数a的取值范围.,问题4：主元与次元,函数f(x)=x2+ax+1在0,2上恒有f(x)0， 求实数a的取值范围。 函数f(x)=x2+ax+1当a0,2时恒有f(x)0， 求实数x的取值范围。 问，x为主元，a为参数，对x讨论，当x不为0时， 可分离变量 问，a为主元，x为参数，因为是一次函数，所以只需端点 的函数值同时大于0。,五、高考题欣赏,问题1：(2007湖南理10题) 设集合m=1,2,3,4,5,6,s1,s2,sk都是m的含有两 个元素的子集,且满足：对任意的si =(ai,bi),sj =(aj,bj)(ij, i,j1,2,3,k)都有minai/bi,bi/aiminaj/bj,bj/aj 求k的最大值。 难于理解的主要原因是不熟悉数学语言，可以这样翻译将题中 的字母具体化，将符号信息转化为语言文字。,语言转译方法： m的元素由6个数字构成； 把si全部找出来：共有15个,1,21,31,41,5 1,62,32,42,52,63,43,5 3,64,54,65,6； 理解当ij时，子集不同； 理解min的意义：如集合1,2，就是两个元素分别作分子 和分母时，取较小的分数，这样就共有15个较小的分数； 比较这15个分数，发现有4个相同，所以k的最大值为11。,如果淡化数学语言，则问题可以转化为： 集合m是一个由1,2,3,4,5,6六个数字组成的集合， 列出m的所有含有两个元素的子集,将每个子集的两个数作 商,并取两个商的较小者,试问：不同的商最多共有多少个？ 这样描述与原题意思大体相当，但数学味暗淡，就像文学作 品一样，有些作品通俗易懂，但韵味不足。数学是具有语言 美的学科，符号、简洁、精确是它美的主要特征，在解决问 题时，需要变通问题的表征形式。,问题2：(2011年广东文20题) 数列an满足a1=b, ，求an。 将已知式取倒数， ，转化为一个新的数列，通过 特征根求得。在过程中，需要讨论b等于1和不等于1两种情况. (2011年广东理20题)数列an满足 ， 求an。 将已知式取倒数，转化为一个新的数列，通过特征根求得。 在过程中，需要讨论b等于2和不等于2两种情况。,推广：数列an满足， 求an。 将已知式取倒数， ，转化为一个新的数列， 通过特征根求得。在过程中，需要讨论b等于p和不等于p两 种情况。,问题3：(2014年广东理20题) 已知椭圆b2x2+a2y2=a2b2的一个焦点为 ，离心率为 求椭圆方程；若动点p(x0，y0)为椭圆外一点，且点p到椭 圆的两条切线相互垂直，求p点的轨迹方程。 先看看圆：如果过圆心在原点，半径为r的圆外一点p作圆的 两条相互切线，那么p点的轨迹就是以原点为圆心，半径为的 圆，半径的平方就是 ，相当于椭圆的a2+b2，于是可猜想 已知问题的轨迹方程为x2 +y2=4+9=13。 一般过椭圆外p点作椭圆的两条相互垂直的切线，则p点的轨 迹是以椭圆中心为圆心，半径为 的圆。,在证明中分切线斜率存在与不存在讨论。当两条切线的 斜率存在时，其斜率k、-1/ k是关于k的方程 (a2-x02)k2+2x0y0k+ b2- y02 =0的根，由根与系数关系就可得证 (注意该二次方程判别式恒大于0)，即x02+y02=a2+b2。 (2010广东理20题)：双曲线x2-2y2=2,的左右顶点为a1,a2, 点p(x1，y1)，q(x1，-y1)是曲线上不同两点。 求直线a1p与a2q交点的轨迹e的方程； 过点h(0，h)(h1)的两条相互垂直的直线与轨迹e只有一个 交点，求h的值。,类比：双曲线中是否有这个结论呢？ 如果把焦点所在区域看成是双曲线的内部， 那么过双曲线外面点引它的两条相互垂直的切线，这一点的 轨迹是否存在。 设双曲线方程为b2 x2a2 y2 =a2 b2，m(x0，y0)在双曲线外面， 则两条切线的斜率是关于k的方程(x02-a2)k2-2x0y0k+y02+b2=0 的根，得到x02+y02=a2-b2。 说明只有实轴大于虚轴时才有这个性质。,同样，过抛物线外一点作它的两条相互垂直的切线， 这一点的轨迹又如何？ 设抛物线为y2 =2px，m(x0，y0)在抛物线外面，则两条切线的 斜率是关于k的方程2x0k2-2y0k+p=0的根，该方程的判别式恒大 于0，根据根与系数关系有x0=-p/ 2。 以上研究仅供参考。,问题4：(2011江西理10题) 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径 为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，m 和n是小圆的一条固定直径的两个端点。 那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周， 点m，n在大圆内所绘出的图形大致是( a ),分析：根据小圆 与大圆半径1：2的关系， 找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈， 刚好是大圆的四分之一，因此m点的轨迹是个大圆水平直径的 四分之一，而n点的轨迹是大圆竖直的半径。考查空间能力,推理：以m点为原点，大圆圆心为c(初始位置与n