信号与系统PPT教学课件-第六章_离散系统的z域分析.ppt

第六章 离散系统的z域分析,本章主要内容：,第六章 离散系统的z域分析,z变换(定义、收敛域) z变换的性质(9条) 逆z变换 z域分析,第六章 离散系统的z域分析,6.1 z 变 换,一、从拉氏变换到z变换,对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号:,两边取双边拉普拉斯变换，得,令z = est，上式将成为复变量z的函数，用f(z)表示；f(kt) f(k) ，得,6.1 z 变 换,二、z 变 换,如果有离散序列f(k)，(k=0, 1, 2, )，z为复变量，则,称为序列f(k)的双边z变换。单边z变换表达式为：,若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等。本章统称为z变换。,f(z) = zf(k) , f(k)= z-1f(z) ；f(k)f(z),6.1 z 变 换,三、收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。,收敛域定义,例1 求以下有限长序列的z变换。,解:,6.1 z 变 换,(1) 单位抽样序列的z变换为：,收敛域：整个z平面,(2) 序列f(k)的z变换为：,收敛域：0z ,有限长序列的z变换收敛域一般为0z，有时它在0或/和也收敛。,有限z平面,例2 求因果序列的z变换。,解:,因果序列收敛域为圆外区域。,6.1 z 变 换,因果序列的z变换为：,等比级数求和,收敛域：z a,收敛域,例3 求反因果序列的z变换。,解:,反因果序列收敛域为圆内区域。,6.1 z 变 换,反因果序列的z变换为：,收敛域：z b,收敛域,6.1 z 变 换,例4 求双边序列的z变换。,解:,双边序列的z变换为：,收敛域：a z b,收敛域,双边序列收敛域为环状区域。,序列z变换的收敛域小结,6.1 z 变 换,有限长序列的收敛域为有限z平面； 因果序列的收敛域为圆外区域； 反因果序列的收敛域为圆内区域； 双边序列的收敛域为环形区域； 圆的半径由f(z)的极点绝对值确定；,四、常用序列的z变换,单位取样序列,整个z平面,单位阶跃序列,z 1,指数序列,z a,6.1 z 变 换,单边正弦序列,单边余弦序列,z 1,z 1,6.2 z变换的性质,一、线性性质,例 如：,第六章 离散系统的z域分析,例： 2(k)+ 3(k) ,z 1,二、移位特性,6.2 z变换的性质,双边z变换,单边z变换,6.2 z变换的性质,举 例,f(k+1) zf(z) - f(0)z f(k+2) z2f(z) - f(0)z2 - f(1)z,例：求周期为n的有始周期性单位序列的z变换。,z1,解:,复 习,z变换的定义 几种典型序列的收敛域特点 常用信号的z变换 z变换的性质（线性、移位）,6.2 z变换的性质,三、z域尺度变换(序列乘ak),例：求指数衰减正弦序列 aksin(k)(k) 的z变换。,解:,四、卷积定理,例 求单边序列 (k+1)ak(k)的z变换，(0a1)。,解：,式3.3-18,6.2 z变换的性质,五、z域微分（序列乘k）,6.2 z变换的性质,举 例,例：求下列序列的z变换。,6.2 z变换的性质,解：,6.2 z变换的性质,六、z域积分（序列除k+m）,若m = 0且k 0，则：,z,6.2 z变换的性质,举 例,例：求序列 的z变换。,解：,根据z域积分性质：,即：,七、k域反转,例：已知 ，求 的z变换。,解：,6.2 z变换的性质,八、部分和,例. 求序列 的z变换。,解：,则：,6.2 z变换的性质,6.2 z变换的性质,九、初值定理和终值定理,初值定理,适用于右边序列,对因果序列f(k)，序列的初值：,终值定理,极点在单位圆内,6.2 z变换的性质,举 例,例：因果序列的z变换如下，求f(0)、f(1)、f(2)。,解：,能否求终值？,6.2 z变换的性质,z变换性质小结,线性 移位（双边变换、单边变换） z域尺度变换 k域卷积 z域微分,z域积分 k域反转 部分和 初值定理 终值定理,6.3 逆 z 变 换,第六章 离散系统的z域分析,幂级数展开法（长除法） 部分分式展开法 反演积分（留数法）,由象函数f(z)求原序列f(k)的运算，称为逆z变换。常用方法包括：,6.3 逆 z 变 换,一、幂级数展开法（长除法）,把f(z)展开成幂级数：,幂级数的系数就是原序列f(k)。,6.3 逆 z 变 换,根据收敛域判断原序列f(k)的性质，再利用长除法展开成相应的z的幂级数。,幂级数展开法基本思想,因果序列,反因果 序列,z的 负幂级数,z的 正幂级数,降幂排列,升幂排列,6.3 逆 z 变 换,举 例,解：,（1） |z| 2 对应的f(k)为因果序列,分子、分母多项式按照z的降幂排列，利用长除法展成关于z的负幂级数。, f(z) = 1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + ,f(k)=1，1，3，5， k=0,6.3 逆 z 变 换,长除法：,6.3 逆 z 变 换,（2） |z| 1 对应的f(k)为反因果序列,分子、分母多项式按照z的升幂排列，利用长除法展成关于z的正幂级数。,6.3 逆 z 变 换,（3） 1 |z| 2 对应的f(k)为双边序列,对应因果序列,对应反因果序列,按照因果序列和反因果序列的幂级数展开法，分别展开f1(z)f2(z)，得到,6.3 逆 z 变 换,二、部分分式展开法,mn,通常，先将 展开为部分分式：,根据收敛域及常用信号z变换，得到序列f(k)。,1、f(z)有单极点,6.3 逆 z 变 换,举 例,解：,首先展开象函数,6.3 逆 z 变 换,(1)当z2，f(k)为因果序列,(2)当z1，f(k)为反因果序列,(3)当1z2，f(k)为双边序列,6.3 逆 z 变 换,例2：求已知象函数的逆z变换。, 1z2,解：,首先展开象函数,6.3 逆 z 变 换,故对应的原序列分别为：,则原序列为：,复 习,逆z变换常用方法 幂级数展开法（长除法） 部分分式展开法,6.3 逆 z 变 换,2、f(z)有共轭单极点,若f(z)一对共轭单极点，解法同上，且有两分式的系数关系为：k2 = k1*。,解：,首先展开象函数,6.3 逆 z 变 换,则得f(z)的逆变换为：,两个分式的系数分别为：,3、f(z)有重极点,若f(z)在z = a处有r重极点，则,系数由下式确定：,6.3 逆 z 变 换,例：求已知象函数的逆z变换。,z 1,解：,首先展开象函数,6.3 逆 z 变 换,6.3 逆 z 变 换,z 1/2 ?,则得f(z)的逆变换为：,z域微分性质,6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z域分析,学习内容,第六章 离散系统的z域分析,第六章 离散系统的z域分析,复 习,z变换的性质（移位特性） 逆z变换（常用函数）,6.4 z 域 分 析,第六章 离散系统的z域分析,较离散傅立叶变换，z变换的应用范围更为广泛。且单边z变换可包含系统的初始状态，利于求解系统的各类响应。,一、差分方程的变换解,n阶系统后向差分方程的一般形式为：,f(k)在k=0时接入,6.4 z 域 分 析,整理得到：,解得系统全响应：,这里,系统函数：,6.4 z 域 分 析,举 例,例1：若某系统的差分方程为 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2) 已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。,解：,对以上差分方程取单边z变换,整理得：,6.4 z 域 分 析,从而得到系统的全响应：,代入初始状态y( 1)=2，y( 2)= ，及f(k)= (k) ：,系统零输入响应：,6.4 z 域 分 析,系统零状态响应：,系统的全响应：,6.4 z 域 分 析,例2：某系统，已知当输入f(k)=( 1/2)k(k)时，其零状态响应 求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。,解：,零状态响应的象函数为,输入信号的象函数为,6.4 z 域 分 析,系统函数为,系统单位序列响应为,系统差分方程为,二、系统的z域框图,6.4 z 域 分 析,延迟单元,零状态响应z域框图,加法器,数乘器,6.4 z 域 分 析,例3 某系统的k域框图如图，已知输入f(k)= (k)。 (1) 求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应yzs(k)。(2) 若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零输入响应yzi(k)。,z-1,z-1,f(z),yzs(z),x(z),z-1x(z),z-2x(z),解：,(1)画z域框图，,设辅助变量x(z),x(z) = 3z-1x(z) 2z-2x(z) +f(z),yzs(z) = x(z) 3z-1x(z),6.4 z 域 分 析,h(k) = 2 (2)k(k), yzs(k) = 2k + 3 2 (2)k(k),消去中间变量，得：,系统函数：,逆z变换，得系统单位序列响应：,系统零状态响应：,6.4 z 域 分 析,(2) 求解系统的零输入响应,根据系统函数：,得到零输入响应满足齐次方程：,两端取z变换，得：,整理得：,6.4 z 域 分 析,时域求解零输入响应？,零输入响应满足齐次差分方程：,特征方程为： 特征根为1=1， 2=2，,对应齐次解为：,由初始条件有,三、s域与z域的关系,6.4 z 域 分 析,s平面与z平面的映射,6.4 z 域 分 析,6.4 z 域 分 析,s平面到z平面的映射是多值映射。,6.4 z 域 分 析,四、离散系统的频率响应,由s平面到z平面的对应关系，有：,若连续系统的h(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应,幅频响应,相频响应,若离散系统h(z)收敛域含单位圆，则离散系统的频率响应为,6.4 z 域 分 析,例 图示为一横向数字滤波器，求滤波器的频率响应。,y(z)=f(z)+2z-1f(z)+2z-2f(z)+z-3f(z),收敛域包含单位圆，则该滤波器具有频率响应，为,解：,|z|0,由系统框图得到,系统函数为：,6.4 z