概率论PPT课件第七章 参数估计.ppt

第七章,参 数 估 计,二 、估计量的评选标准,一 、点估计,三 、区间估计,四 、正态总体均值与方差的区间估计,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题：如何估计未知参数？,由大数定律,把样本平均值作为总体平均值的一个估计。,即用,估计,机动 目录 上页 下页 返回 结束,点 估 计,第七章,第一节,二 、矩估计法,一 、点估计问题的一般提法,三 、最大似然估计法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一 、点估计问题的一般提法,是相应的一个样本值。,点估计就是,构造一个适当的统计量,用它的观察值,作为未知参数的近似值。,称,为估计量,为估计值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对未知参数估计的两种方法: 矩估计法、最大似然估计法,二 、矩估计法,其基本思想是用样本矩估计总体矩。,它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法。,是英国统计学家k.皮尔逊最早提出的。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,命题：若总体x 的 k 阶矩,存在，则,证明,因为样本,相互独立且与总体x,服从相同的分布。则,也相互独立，且,与,服从相同的分布。,由辛钦定理,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,基本思想:,eg.若x为连续型随机变量，设概率密度为,令,解出,例1 设总体,解: 令,其中,所以的矩估计量为,为x的一个样本，,估计量,估计值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 设总体x 的概率密度为,解,即,x1,x2,xn是取自x 的样本,求参数的矩估计量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,，则,从而的矩估计量,为x 的一个样本，求,的矩估计量。,例3 设总体,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 设,解 ：,令,其中,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解得数学期望,的矩估计量分别为,总结：任何分布的均值和方差的矩估计量的表达式都不变,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 设总体,解 由,所以由上例可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 若x为离散型随机变量，设其分布律为,令,，其中,为样本，,为样本值，,解出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、最大似然估计法,这是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 .,它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 ,gauss,fisher,然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇 。,费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质 .,最大似然法的基本思想：,假定一个盒子中有白、黑球共3个，但不知各有几个，,如果有放回的抽取3次球，发现第1，3次是黑球，第2次,是白球，试估计黑球所占的比例？,准备内容：,当总体x是离散型，,分布律改写为：,以泊松分布为例，,分布律为,，其中未知。,为x 的样本，,为x 的样本值，, x 为离散型,记为, 样本的似然函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为的最大似然估计量；,为的最大似然估计值；,满足条件:,具体算法：,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设x1,x2,xn是取自总体 xb(1, p) 的一个,解,例1,似然函数为:,样本值，求参数p的最大似然估计值。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,为 p 的最大似然估计值。,设 x1, x2, , xn 是取自总体 x 的一个样本,，求参数的最大似然估计值。,例2,解,例2,似然函数为:, x 为连续型,思想：随机点,落在点,的,邻域内的概率近似地为,所以似然函数为,利用,或,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,设 x1, x2, , xn 是取自总体 x 的一个样本,x 服从参数 的指数分布，求的最大似然估计值。,解,似然函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,令,所以,设 x1, x2, , xn 是取自总体 x 的一个样本值,解,例4,令,所以,的最大似然估计值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5,解,似然函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则要使得,取最大值,注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大， 需要从函数本身入手。,所以，最大似然估计量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6,解, 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解得参数和的矩估计量为, 设x1, x2, , xn是x1, x2, , xn的样本值，则,似然函数为,其中,当,时,令,，表明l是的严格递增函数，,，故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以当,时l 取到最大值,从而参数和的最大似然估计值分别为,则参数和的最大似然估计量分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,估计量的评选标准,第七章,第二节,二 、有效性,一 、无偏性,三 、一致性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一 、无偏性,定义,结论：,无论x 服从什么分布,只要它的数学期望存在，,总是,的无偏估计量。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,设 x1, x2, , xn 是取自总体 x 的一个样本,解 ,故当,时结论成立., 由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故当,时结论成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个未知数可以有不同的无偏估计量。,解,例3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、有效性,定义：,都是参数,的无偏估计量，如果,注：比较有效性，必须是在无偏估计量的前提。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,设 x1, x2, , xn 是取自总体 x 的一个样本, 问那个估计量最有效?,解 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证 (1) 由于总体,因此,例5 设,得,又由,(2) 由,得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得,又由,因为,三、一致性,定义：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,区 间 估 计,第七章,第三节,二 、正态总体均值与方差的区间估计,一 、置信区间,三 、两个正态总体均值与方差 的区间估计,一 、置信区间,定义1 设总体,含一待估参数,为一样本，,满足,则称,为,的置信度为 的置信区间，,的分布函数为,，其中,若由样本确定的两个统计量,下限,上限,通常, 采用95%的置信度, 有时也取99% 或 90%.,即置信度为,这时重复,抽样 100次, 则在得到的100个数值区间中包含,真值,的有95个左右, 不包含,真值的有5个左右。,含义： 若,具体的计算方法, 由样本,寻找一个样本函数,，不含其他任何未知参数，,分布已知，且只含有一个未知参数。,不等式,是的置信度为,的置信区间。, 对于给定的置信水平,，找 a , b 使得,二 、正态总体均值与方差的区间估计,设,为总体,的一个样本,置信度,下，来确定,的置信区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于给定的,，有,可得,所以的置信水平为1-的置信区间为,简记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注： 的置信水平1的置信区间不唯一。,可以取标准正态分布上分位点,-z0.04和z0.01，则也有,则的置信度为0.95的置信区间为,但对称时的区间长度,最短。,已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼,儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120,131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假设标准差,置信度为95%; 试求总体均值的置信区间,解 已知,由样本值算得：,查正态分布表得,，由此得置信区间,例1,设总体,问需要抽取容量为多,的长度不大于 0.49 ?,解 设需要抽取容量为n,的样本, 其样本均值为,查表得,于是的置,信水平为0.95的置信区间为,该区间长度,例2,解得,取,所以的置信水平为1-的置信区间为,简记为,用仪器测量温度, 重复测量7次, 测得温度分,别为: 115, 120, 131, 115, 109, 115, 115 ; 设温度,在置信度为95%时, 试求温度均值,所在范围。,例3,查表得,已知,由样本值算得：,解,得区间：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（均值未知）,设,为总体,的一个样本,并且样本函数：,置信区间,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,标准差的一个置信水平为,的置信区间,注意：在密度函数不对称时，如,习惯上仍取和对称类似的分位点，但其置信区间,的长度并不最短。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,某自动车床加工零件，抽查16个测得长,加工零件长度的方差。,解 先求,度（毫米）,，怎样估计该车床,查表,所求2的置信度为0.95的置信区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5,假设总体,求,未知，x的样本为,的置信度为95%的置信区间。,解, 的置信区间为, 2的置信区间为,所以2的置信区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三 、两个正态总体均值与方差的区间估计,设,为总体,的一个样本,为总体,的一个样本, x与y,相互独