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奇思妙想求二面角新课标下二面角的求解揭东云路中学 江创树摘要：本文将介绍几种解决二面角问题的常用方法关键词：二面角 平面角 定义法 垂线法 垂面法二面角是立体几何中的一个重要概念,它是一个较为突出的空间图形,故它成为历届高考的热点，几乎每年必考,而对于二面角方面的问题,学生往往很难找到作平面角的方法,由于新教材里面没有涉及三垂线定理的相关内容，给学生的学习增加了不少难度。在新课标下二面角的教学成了一个难点问题，二面角的求法成了学生学习的一大难题。教学中很多学生都抱怨二面角的内容太难，其实只要仔细分析，求二面角并不难，关键在于找出二面角的平面角。下面举例说明二面角的平面角的常用作法，进而求出二面角的大小。 一、定义法，利用二面角的平面角定义寻求二面角的平面角。 例1、如图，P是二面角棱上一点，分别在内引射线，如果=45，=60,那么二面角的大小是 。解析：在上取点，过在平面 内作垂直于的垂线， 连结，则为二面角的平面角,令,而。 为等腰，则注：二面角所在的两个面是对称图形或全等图形，常用定义法找出或作二面角的平面角。 二、垂线法，将三垂线定理及逆定理融于线面垂直的相关知识中寻求二面角的平面角。 例2（02年北京春招）如右图在三棱锥中，=90，AC=2，BC=，SB=，求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。解析：。 由于学生没学三垂线定理可先证再得。 在 在 。ABCDSOE例3（06年全国高考）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_。解析：如右图，O为底面正方形ABCD的中点，则SO平面ABCD ，SOBC E为BC的中点，OEBC 由于OESO BC平面SOESEBC而BC为正四棱锥侧面很底面的棱SEO为所求正四棱锥侧面与底面所成二面角的平面角由题意，易求得OE=，SO=3在SOE中，tan SOE=又0SOE180。SOE=60即所求正四棱锥侧面与底面所成的二面角为60。注：二面角所在的两个面如果条件告知了或能作出过一个面内的一点与另一个面垂直的垂线可以应用三垂线定理或逆定理来寻求二面角的平面角。由于新教材中没有涉及三垂线定理的相关内容，教学时可用线面垂直的判定和性质替换。三、垂面法，利用二面角的棱与平面垂直求解二面角。例4（95年全国高考）如下图，在三棱锥S-ABC中， SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小。 解析：由于SB=BC，且E是SC的中点， 所以 设SA=a,BC=SB=a.又 例5 (06广东高考)如右图所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.求二面角的大小。解析：AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD45.即二面角BADF的大小为45；注：二面角的棱与平面垂直，则棱垂直于该平面与二面角的两半平面的交线，从而寻求二面角的平面角。四、巧用等腰三角形的“三线合一”性质找出二面角的平面角。例如上面的例3，由于该棱锥是正四棱锥， SBC是等腰三角形，E是BC的中点，故可以利用等腰三角形“三线合一”的性质易得SEBC，从而找出SEO为所求正四棱锥侧面与底面所成二面角的平面角。这种方法在求解含有等腰三角形的问题中较为常用。很多有关二面角的问题表面看起来好像没什么头绪，但只要认真分析，从基本的定义、概念入手