线性代数B模拟试卷及答案.docVIP

线性代数B模拟试卷一参考答案一、选择题1、行列式的值为（ ） （A） （B） （C） （D）解：因为 ，选（D）2、（）（A）（B）（C）（D）均不对解：因为所以，选（C）3、矩阵的秩为（） （A） （B） （C） （D）解：因为所以其秩为2。4、已知非齐次线性方程组的三个解为，则下列哪个仍是的解为（ ） （A）（B）（C）（D）解：利用结论：若是非齐次线性方程组的解，则当是仍然是的解。故选（B）。5、下列关于矩阵的秩的说法正确的是（ ）（A）秩为的矩阵中一定有不等于的阶子式；（B）秩为的矩阵中一定没有不等于的阶子式；（C）秩为的矩阵中一定没有等于的阶子式；（D）秩为的矩阵中一定有不等于的阶子式提示：根据矩阵的秩的定义，选（A）。二、填空题1、 解：2、设3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，是它的两个不同的解向量，则该方程组的通解为 或者 解：根据非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解之间的关系得，所求通解为：或者，其中。3、设，则中的系数为 将行列式中的各行各列化为只有一项含有，再将这些含的项移到主对角线上即可求出的系数，所以的系数为因为 .4、向量组的秩为解：因为 所以该向量组的秩为3.5、已知3阶方阵的三个特征值为，则 解：因为3阶方阵的三个特征值为，所以，从而 6、二次型是否正定： 解：二次型对应的矩阵为，其各阶主子式，都大于零，故该二次型是正定的。四、解方程组 解：该方程组的增广矩阵为：则，令，得原方程组的通解为：（）五、解矩阵方程：解：因为，所以与均可逆，故 即六、问取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时，求出其通解。解法一：原方程组的系数行列式为：（1）当，即且时，原方程组有唯一解；（2）当，即或时，原方程组无解或有无穷多解；当时，原方程组的增广矩阵为：此时，故当时原方程组无解；当时，原方程组的增广矩阵为：此时，故当时原方程组有无穷多解，且，则令，得原方程组的通解为：（）解法二：原方程组的增广矩阵为：（1）当且时，原方程组有唯一解；（2）当时，因为此时，故当时原方程组无解；（3）当时，因为此时，故当时原方程组有无穷多解，且，则令，得原方程组的通解为：（）七、已知二次型，求一个正交线性变换，将二次型化成标准型，并判断其正定性。解：二次型对应的矩阵为：因为 令，得矩阵的特征值，（1）求各个特征值对应的正交的特征向量当时，因为，令；当时，因为，令；当时，因为，令；（2）将线性无关的特征向量单位化：，令，则为正交阵，且从而为正交变换，将原二次型化为标准型为：。八、证明题设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，证明：线性无关。 证明：设存在一组数，使得 （*）即 （*）用矩阵左乘（*）式，得 （*）因为是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，所以，（），且线性无关代入（*）式，得，因为，所以代入（*）式，得，又线性无关，所以，从而即，故线性无关。模拟试卷二参考答案一、填空题（每空3分，共30分）1设，则 ； ；解：，。2设，则的行列式 ;方阵的秩为 ;解：，所以可逆，故3设向量组：，则的秩为： ；的一个最大线性无关向量组为： ；解：因为所以的秩为3，是一个最大无关组。4设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知，是它的三个解向量，且，则方程组的通解为： ;解：因为，所以的基础解系所含向量个数为：；又，是的三个解向量，且，所以是的一个非零解，故为其基础解系；从而的通解为：（）5设二次型，则二次型对应的矩阵为： ；它是 （正/负）定二次型。解：二次型对应的矩阵为：，因为该矩阵的各阶主子式为：，故该二次型是负定二次型。设非奇异方阵有一个特征值，则矩阵必有一个特征值为： 。解：因为，令，非奇异方阵有一个特征值，所以，即的一个特征值为。二、举例说明下列命题是错误的（每小题5分，共10分）1若，则。解：若，但。 2若有唯一解，则有唯一解。解：如只有零解，但无解。三、计算题（共50分）1计算行列式。（分）解法一：解法二：2设，问是否可逆？若可逆，求其逆阵。（分）解：因为，所以可逆，令，其中，则又，所以 3解矩阵方程。（分）解：因为，所以4已知，问(1)，为何值时，不能用线性表示？(2)，为何值时，可由线性表示，且表示式唯一，并写出表达式；(3)，为何值时，可由线性表示，且表示式不唯一，并写出表达式。解：设(*) 为一个非齐次线性方程组方程组(*)的增广矩阵为：（1）当或时，方程组（*）无解，即不能用线性表示；（2）当且时，方程组（*）有唯一解，即能用线性表示，且表示式唯一；此时，所以，即（3）当或时，方程组（*）有无穷多解，即能用线性表示，且表示式不唯一；当时，即，令，得方程组（*）的通解为：（）即（）；当时，即，令，得方程组（*）的通解为：（）即（）；5设，求一个正交阵,使为对角阵，并写出对角阵。（12分）解：因为令，得特征值，；当时，因为，取； 当时，因为，取，则应满足：，即，取；令，；则为正交阵，且。四、证明题（共10分）2设实对称阵的所有特征值的绝对值都等于。证明：为正交阵。（分）证：设实对称阵是阶矩阵，其特征值为，则（）；又实对称阵一定可正交对角化，所以存在正交矩阵，使得，则，即，又为对称阵，所以，从而，即为正交阵。线性代数B模拟试卷三参考答案一、选择题（每题4分，共24分）1、行列式的值为：（） (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 8解：，选（C）2、（ ）(A) (B) (C) (D) 均不对解：因为所以，选（C）3、矩阵的秩为：（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：所以秩为2，选（B）4、设、为同阶可逆矩阵，则下列说法正确的是：( )(A) (B) (C) (D) 提示：根据可逆矩阵的性质，选（D）。5、已知非齐次线性方程组的三个解为 ,则下列哪个仍是的解( )(A) (B) (C) (D) 解：利用结论：若是非齐次线性方程组的解，则当是仍然是的解。故选（B）。6、已知三阶方阵的行列式，则( ) (A) 3 (B) 9 (C) 27 (D) 81解：根据方阵构成行列式的性质，得,选（D）.二、填空题（每空4分，共24分）1、 ；解：2、设与相乘有意义，则 ；解：直接由矩阵取转置的性质，得3、，则与的夹角为： ；解：因为4、设方阵 满足，则 ；解：5、向量组，的秩为： ；解：因为，故秩为3.6、已知三阶方阵 ,这里 为3阶可逆方阵，则 ；解：，则三、计算阶行列式（10分）解：四、（10分）解方程 解：原方程组的增广矩阵为：即，令，得原方程组的通解为：（，）五、（12分）设，求。解：由 ，又，则可逆；所以，从而六、（12分）求矩阵的特征值及特征向量。解：因为 令，得特征值分别为：对，则，对应的特征向量为：；对，因为，对应的特征向量为：；对，因为，对应的特征向量为：七、证明题（8分）设，且向量组线性无关，证明向量组也线性无关。证法 因为而，则矩阵可逆，从而矩阵与等价，故，又向量组线性无关，则，从而，即线性无关。线性代数B模拟试卷四参考答案一、填空题：（每空4分，共24分）1、 . 解：2、设，则中的系数为 ；解：将该四阶行列式化为“各行各列只有一项含，再将这些含的项移到主对角线上”，即可求出的系数。要产生，则必须是三项含另一项含常数，此时只有主对角线上的四个元素中三项选另一项选常数，所以的系数为.3、已知三阶方阵的三个特征值为: ，则 ；解：根据方阵特征值的性质，得4、已知是三阶方阵 , 且 , 则 ；解：因为，所以可逆，且，则 5、设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，且它的三个解向量满足，,则的通解为 ；解：根据非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解的性质及关系可知，是的一个非零解解，而的基础解系所含向量的个数为：，所以的通解为：（）6.设,问是不是向量空间？回答： 。二、选择题:（每小题4分，共24分）1、行列式的值为( ) (A) (B) (C) (D)解：故 ，所以选（D）2、( ) (A) (B) (C) (D)解：因为所以，选C3、矩阵的秩为( ) (A) (B) (C) (D) 解：因为所以其秩为3。4、设为矩阵，齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是的（ ）(A)列向量组线性无关； (B) 列向量组线性相关；(C)行向量组线性无关； (D) 行向量组线性相关。解：齐次线性方程组只有零解的列向量组线性无关，选A5. 设线性方程组有个未知量，个方程，且，则此方程组（ ）(A) 时，有解； (B) 时，有唯一解；(C) 时，有唯一解； (D) 时，有无穷多解。解：有解，因为为型矩阵，要使，则为行满秩矩阵，即。故选（A）。6、与向量正交的向量是( ) (A) (B) (C) (D)解：与向量正交的向量应满足：，故选（C）。三、计算行列式:（6分）解： =75。四.求向量组，的秩和一个最大无关组。（8分）解：因为 所以，为其最大线性无关组。五、解矩阵方程：（8分）解：设，则原方程组可化为。又因为 ，,则与可逆，且逆矩阵分别为：，所以，六、解非齐次线性方程组： （12分）解：对增广矩阵做初等行变换。则，所以原方程组有解，等价方程组为 ，即 令，则原方程组的通解可表示为，其中为任意常数。七、设，求一个正交矩阵，使为对角阵。（12分）解：矩阵的特征多项式为： 令 ,解得特征值 。对,解齐次线性方程组 ，即，得其基础解系为对,解齐次线性方程组，即，得其基础解系为： 对,解齐次线性方程组，即，得其基础解系为： 令，取正交阵为 ,则，且。八、证明题：（6分）设阶方阵满足，其中，为阶单位阵，证明可逆并求。证明：所以可逆，并且 线性代数B模拟试卷五参考答案一、填空题（每空3分，共18分）1设，则= ；解：2设，则向量与的夹角为 ；解：因为，而，所以与正交，即与的夹角为（或者）3设向量组，则的一个最大线性无关组为： ；解：因为，所以，从而的一个最大线性无关组为：（或者，或者）4已知 3 阶方阵有特征值 -1，1，2，则 = 。解：因为，则，因为3 阶方阵有特征值 -1，1，2所以，从而5设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 , 且它的三个解向量满足，,则的通解为： ；解：因为，所以的基础解系含向量的个数为：，又的三个解向量，所以是的一个非零解，从而可作为其基础解系。故的通解为：（）6设，则 （是/不是）向量空间。解：因为对，则所以不是向量空间。二、选择题（每小题4分，共24分）1行列式 （ ）（A） （B） （C） （D） 解：，故选（D）2设 ，则中的系数为 。(A) -1 ； (B) 1 ； (C) -3 ； (D) 3 。 解：将行列式的各行各列化为只有一项含有，再将这些含的项移到主对角线上即可求出中的系数；，所以中的系数为，选（C）3设 均为 阶可逆方阵，下列各式正确的是 。(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。 提示：利用矩阵的运算规律，选（B）4设是 维向量组，下列命题中正确的是（ ）。（A） 零向量不能由线性表示；（B） 如不能由线性表示，则线性无关；（C如线性相关，不能由线性表示，则线性相关；（D） 如中，任意 个向量都线性无关，则线性无关。提示：利用向量组线性相关性的定义及判定，选（C）5已知，为3阶非零矩阵，且，则下列叙述正确的是 。(A) 时，的秩必为 1 ；(B) 时，的秩必为 2 ；(C) 时，的秩必为 2 ；(D) 时，的秩必为 1 。 解：因为，所以，当时，；当时，；又为3阶非零矩阵，所以又，则，因此，时，；当时，选（A）6设非齐次线性方程组 的未知量个数为 ，方程个数为 ，则在条件 成立时，一定有解。(A) 矩阵的列向量组线性无关； (B) 矩阵的列向量组线性相关；(C) 矩阵的行向量组线性无关； (D) 矩阵的行向量组线性相关。提示：一定有解，又为型矩阵，所以当时，此时。所以当矩阵的行向量组线性无关时，一定有解。选（C）三、计算行列式 。（8分）解：四、设，且，求未知矩阵。（8分）解：因为，所以 ，因为，则与均可逆，所以 因为 所以 ，故 五、问 取何值时，非齐次线性方程组 （1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并求出通解。（14分）解法一：原方程组的系数行列式为：（1）当，即且时，原方程组有唯一解；（2）当，即或时，原方程组无解或有无穷多解；当时，原方程组的增广矩阵为：此时，故当时原方程组有无穷多解，且，令，得原方程组的通解为：（）当时，原方程组的增广矩阵为：此时，故当时原方程组无解。解法二：原方程组的增广矩阵为：（1）当且时，原方程组有唯一解；（2）当时，因为此时，故当时原方程组有无穷多解，且，令，得原方程组的通解为：（）（3）当时，因为此时，故当时原方程组无解。六、已知二次型，记 （1）写出该二次型的矩阵； （2）求一个正交矩阵 ，使得 为对角阵；（3）写出该二次型在正交变换 下的标准型，其中；（4）该二次型是否为正定二次型，只需回答是或者不是。（14分）解：（1）该二次型的矩阵（2）因为 令，得特征值为：，；当时，因为，取；当时，因为，取；当时，因为，取；令，则为正交阵，且（3）该二次型在正交变换下的标准型为：（4）该二次型不是正定二次型。七、设，且与相似，求。（7分）解：因为与相似，所以与有相同的特征值和行列式，即，解得或，八、设 、均为正交阵，且 ，证明 。（7分）证明：因为、均为正交阵，所以 因为 ，所以 从而 线性代数B模拟试卷六参考答案一、选择题（每题4分，共24分）1设，则中的系数为（ ）。(A) 12 (B) 2 (C)-2 (D) -12解：先将化为各行各列只有一项含有，然后再将这些含的项移到主对角线上即可求出的系数；所以的系数为：-12， 选（D）2关于矩阵的乘法，下列结论正确的是（ ）。(A) 若且有两列，则有两列；(B) 若，则；(C) 若和都是矩阵，则和都有意义；(D) 若，则或。 提示：根据矩阵乘法的性质，选（C）3设均为阶方阵，则下列等式正确的是（ ）。(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。 提示：根据方阵构成的行列式的性质，选（B）。4关于线性方程组，下列叙述正确的是（ ）。(A) 如果一个方程组有两个不同的解，则它必然有无穷多解；(B) 如果增广矩阵可以通过初等行变换变成行最简形，则方程组有解； (C) 含个变量个方程的线性方程组至多只有个不同的解； (D) 如果方程组有两个不同的解，则也如此。 提示：根据线性方程组是否有解的判定，选（A）。5下列向量组中，（ ）是线性无关的向量组。(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 提示：利用向量组的线性相关性的判定，可知选项（A）和选项（D）所含向量个数大于向量维数，故线性相关（也可求出其构成的矩阵的秩小于向量个数4）；选项（B），因为，故选项（B）中的向量也线性相关。从而选（C）6设为阶矩阵，是其伴随方阵，则下列命题不正确的是（ ）(A) 若可逆，则也可逆；(B) 若的秩为，则的秩为；(C) ； (D) 若可逆，则。 提示：因为当时，故选（B） 二、填空题（每空4分，共24分）7设，则 ；解：8设，则 ；解：因为，而，所以（或者）9设方阵，则 ；解：因为为分快对角阵，而所以10设，则矩阵的秩为 ；解法一：因为，所以解法二：因为所以矩阵可逆，故（可逆矩阵的秩等于其阶数）11设3阶方阵有特征值，则方阵有特征值 ；解：因为，令，因为有特征值，所以是的特征值。12设，则向量的夹角为 。解：因为，所以与正交，故的夹角为。三、计算下列各题（7小题，共52分）13计算行列式。（6分）解：14设阶行列式 ，为的余子式，计算 。解：15已知 ，求 A的逆矩阵。（6分）解法一：利用公式解法二：利用矩阵的初等变换：或者答案：16 设，且，求未知矩阵。解：因为，所以矩阵、均可逆，且，从而17解方程组 （6分） 解：原方程组的系数矩阵为：所以原方程组的通解为：18问取何值时，线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求出解。（12分）解法一：用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，由此可知：（1）当时，, 方程组有唯一解；6分（2）当时，方程组无解；7分（3）当时，方程组有无穷多个解；8分将代入矩阵，并利用初等行变换将其化成行简化阶梯形矩阵，即，令，得原方程组的通解为（，） 12分解法二：原方程组的系数行列式为：（1）当，即时，, 方程组有唯一解；（2）当，即时，原方程组无解或有无穷多解；此时原方程组的增广矩阵为：当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多个解；此时，令，得原方程组的通解为 （，）19设，求一正交矩阵，使得，其中为对角阵。（10分）解： 分令，得特征值，。对，因为，取，则满足，即，取 分对，因为则对应的线性无关的特征向量可取为：；分将，单位化，得，分因此，正交矩阵可取为：，对角阵为：。模拟试卷七参考答案一、填空题（每空4分，共24分）1、设，则 解：2、设，则 （是/不是）向量空间解：因为，则，所以是向量空间。3、已知阶矩阵有特征值，则 解：因为阶矩阵有特征值，所以可逆，且，而令，则，从而4、设矩阵，其中线性无关，且，则的通解为： （）解：因为，且，则线性相关，从而也线性相关，又线性无关，所以。由此，对应的齐次方程组的基础解系所含向量的个数为：；又，所以是的一个非零解，即可作为其基础解系； 而，则是的一个解，所以的通解为：（）5、设，则的列向量组的一个最大线性无关组为： ， 解：因为 所以，的列向量组的一个最大线性无关组为：，（4列中任选3列即可）二、选择题（每小题4分，共24分）6、设矩阵，则（ ）（A） （B）（C） （D）解：，选D。7、设，则中含的系数为（ ）（A） （B）（C）（D解：行列式的各行各列化成只有一项含，然后再将这些含的项移到主对角线上即可求出含的系数。因为所以中含的系数为-17选（C）8、设、均为阶可逆方阵，下列各式正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）提示：利用矩阵的运算性质。9、若阶方阵的行列式等于零，则必有（ ）（A）中至少有一行向量是其余向量的线性组合 （C）中必有一行为零（B）中每一行向量都是其余行向量的线性组合 （D）的行向量组线性无关提示：若