框架的稳定性和扰动.doc

鲁东大学毕业设计（论文） i 框架的稳定性和扰动 吴延红 数学与信息学院数学与应用数学专业 2001 级 4 班 摘要 框架概念最早由 R.J.Duffin 和 A.G.Schaeffer 于 1952 年研究非调和 Fourier 级数时正式提出的，它在小波分析的发展中起到了非常重要的作用.近几年来，由于 D.R.Larsor，Deguang Han 和 Xingde Dai 把算子代数理论运用到框架理论的研究，使得 框架理论的研究更上一个层次.本文在此基础上引入了框架的概念，并主要研究了框架的 稳定性和扰动，本文分四章讨论. 第一章简述了框架的历史背景、其重要的理论意义和广泛的应用. 第二章给出了一些基本概念和相应的定理，为更好的理解全文打下了奠定了良好的 基础. 第三章讨论的框架与基的关系,特别给出了框架与 Riesz 基和标准正交基的关系，及 框架成为 Riesz 基或标准正交基的条件.正因为框架与基有密切的关系，框架的一些稳定 性和扰动的结果对一些特殊基也同样适用，所以本文给出了这部分知识，使全文内容更 加完善. 第四章主要研究框架的稳定性和扰动.分三节分别研究了 Hilbert 空间的框架、 Riesz 框架、Banach 空间的框架的稳定性和扰动，得出了一些非常有意义的结果，并适 当对其进行了推广. 关键词 框架；Riesz 基；稳定性；扰动 Abstract Frames that play an important role in wavelet analysis were firstly defined by R.J.Duffin and A.G.Schaeffer in 1952 when they studied the nonharmonious Fourier series. Recently D.R.Larson ,Deguang Han and Xingde Dai have put forward some definitions such as unitary system ,frame vector in terms of applying operator theory to the study of frame theory , which made the research develop rapidly. On this foundation , we introduce the definitions of frame,and the stability and perturbation of the main research frame on this basis, this text divides four chapters and discusses. Chapter 1 said the important theories meaning and extensive applications of the history background, it of the frames. Chapter 2 give some basic concepts and homologous axioms, beat to descend the good foundation for the better comprehension full text. Chapter 3 discuss of frame and base of relation.Specially give the frame and the Riesz base and standards are handing over the relation of the base , and the frame become the condition that the Riesz base or standards are handing over the base .Positive the frame and base have the close relation, the result that the some stabilities and perturbation of the frame move also applies equally to some special base, so this text give this part of knowledge, make the full text contents more perfect. Chapter 4 mainly researched the stability and perturbation of frame .Stability and perturbation that divide the frame that the three sections studied the frame, frame of Riesz of the Hilbert space, the Banach space respectively move, getting some very meaningful result, and appropriate as to its carried on the expansion. and research the stability and perturbation of frame, this text divides four chapters to discuss. 鲁东大学毕业设计（论文） ii In cChapter 1,we saysdiscuss the history background、important theory meaning and extensive applications of frame. In cChapter 2,we gives some basic concepts and homologous axioms, they can help to comprehend the full text. In cChapter 3, we discusses the relationship between frame and basises, especially gives the relationship between frame and Riesz basies and normal orthogonal basis(标准正交基), and gives the condition that frame become Riesz basies and normal orthogonal basis, Norm bases (标准正交基)，because frame and basies have close relation, the result that some stabilities and perturbation of frame also applies to some special basies, so this text gives this section, which makes the contents of the full text more perfect. In cChapter 4,we4 mainly researches the stability and perturbation of frame. Three sections respectively researches the stability and perturbation of frame in Hilbert space、Riesz frame and frame in Banach space, getting some meaningful results and giving some appropriate expansion. Key Words Frames；Riesz Basies；Stability；Perturbation 鲁东大学毕业设计（论文） ii 目目 录录 一一. .前言前言 1 1 二二 预备知识预备知识 2 2 三三 框架与基的关系框架与基的关系 3 3 四四 三种特殊框架的稳定性和扰动三种特殊框架的稳定性和扰动 4 4 （一） HILBERT空间框架的稳定性和扰动4 （二） RIESZ框架的稳定性和扰动 .7 （三） BANACH空间框架的稳定性和扰动 9 结论 14 致谢 14 参考文献参考文献 1515 鲁东大学毕业设计（论文） iii . 鲁东大学 毕 业 设 计 （论 文） 设计（论文）题目：奥运会临时超市网点设计 姓 名 # 鲁东大学毕业设计（论文） iv 院 系 数学与信息学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2001 级 学 号 2001E110224 指导教师 翟金刚 2005 年 6 月 1 日 鲁东大学毕业设计（论文） v 框架的稳定性和扰动 吴延红 (数学与信息学院 数学与应用数学 2001 级数本四班 2001E110428) 摘要 框架概念最早由 R.J.Duffin 和 A.G.Schaeffer 于 1952 年研究非调和 Fourier rier 级数时正式提出的，它在小波分析的发展中起到了非常 重要的作用.。近几年来，由于于 D.R.Larsor，Deguang Han 和 Xingde Dai 把算子代数理论运用到框架理论的研究，使 得框得框架理论的研究更上一个层次.。本文在此基础上引 入了框架的概念，并主要研究了框架的稳定性和扰动，本 文分四章讨论.。 鲁东大学毕业设计（论文） vi 第一章简述了框架的历史背景、其重要的理论意义和广泛 的应用.。 第二章给出了一些基本概念和相应的定理，为更好的理解 全文打下了良好的基础.。 础。 第三章讨论的框架与基的关系,。特别给出了框架与 Riesz 基 和标准正交基的关系，及框架成为 Riesz 基或标准正交基的 条件.。正因为框架与基有密切的关系，框架的一些稳定性 和扰动的结果对一些特殊基也同样适用，所以本文给出了 这部分知识，使全文内容更加完善.。 鲁东大学毕业设计（论文） vii 第四章主要研究框架的稳定性和扰动.。分三节分别研究了 Hilbert 空间的框架、Riesz 框架、Banach 空间的框架的稳定 性和扰动，得出了一些非常有意义的结果，并适当对其进 行了推广.。 关键词 框架；Riesz 基；稳定性；扰动 Abstract Frames that play an important role in wavelet analysis were firstly defined by R.J.Duffin and A.G.Schaeffer in 1952 when they studied the nonharmonious Fourier series. Recently D.R.Larson ,Deguang Han and Xingde Dai have put forward 鲁东大学毕业设计（论文） viii forwardsome definitions such as unitary system ,frame vector in terms of applying operator theory to the study of frame theory ,which made the research develop rapidly. On this foundation , we introduce the definitions of frame, and the stability and perturbation of the main research frame on this basis, this text divides four chapters and discusses.待完成 Combine to mainly studied the stability and perturbation 扰 s of the frame to move, this text divides four discussions. A Chien Chapter 1 said the important theories meaning and extensive applications of the history background, it of the frames. Chapter 2 give some basic concepts and homologous axioms, beat to descend the good foundation for the better comprehension full text. 鲁东大学毕业设计（论文） ix Chapter 3 discuss of frame and base 基 of relation.Specially give the frame and the Riesz base 基 s and standards are handing over the relation of the base 基 , and the frame become the condition that the Riesz 基 base or standards are handing over the base 基 .Positive the frame and base 基 s have the close relation, the result that the some stabilities and perturbation 扰 s of the frame move also applies equally to some special base 基 s, so this text give this part of knowledge, make the full text contents more perfect. Chapter 4 mainly researched tThe stability and perturbation 扰 s of a main research frame move.Stability and perturbation 扰 s that divide the frame that the three sections studied the frame, frame of Riesz of the Hilbert space, the Banach space respectively move, getting some very meaningful result, and appropriate as to its carried on the expansion. 鲁东大学毕业设计（论文） x Key Words Frames；Riesz Bases；Stability；Perturbation 目录 目录目录 一.前 言 2 二.预备知 识 3 鲁东大学毕业设计（论文） xi 三.框架与基的关 系 4 四.三种特殊框架的稳定性和扰动 6 （一）Hilbert 空间框架的稳定性和扰 动6 （二）Riesz 框架的稳定性和扰 动10 （三）Banach 空间框架的稳定性和扰 动12 鲁东大学毕业设计（论文） xii 结 论 19 致 谢 19 参考文 献 19 一.前 言 3 鲁东大学毕业设计（论文） xiii 二.预备知 识 4 三.框架与基的关 系 5 四.三种特殊框架的稳定性和扰 动 6 Hilbert 框架的稳定性和扰 动 6 Riesz 框架的稳定性和扰 动9 鲁东大学毕业设计（论文） xiv Banach 框架的稳定性和扰 动 11 结 论 16 致 谢 17 参考文 献 18 鲁东大学毕业设计（论文） xv 鲁东大学毕业设计（论文） xvi 一 前言 1946 年，D.Gabor 在进行信号处理时，引入了一个信号关于基本信号的分解.。D.Gabor 鲁东大学毕业设计（论文） 1 一.前言 1946 年，D.Gabor 在进行信号处理时，引入了一个信号关于基本信号的分解. D.Gabor 的思想方法很快成为与时间频率方法联系起来的谱分析的范例.。他的短时 Fourier 变 换的引入导致了小波理论的诞生.。1952 年，R.J.Duffin 和 A.G.Schoeffer 在研究非调 和 Fourier 分析时，进一步提炼了 D.Gabor 的思想方法，把 Gabor 的技术发展到一个较 大的规模框架，并且在非调和 Fourier 级数中提出了一些较深的问题,。进入了更深的 研究.。同时，Paley 和 Wiener 的基本结果激发他们解决了非调和 Fourier 分析研究中的 许多问题，得到了一些新的结果.。Daubechies,Grossmann 和 Meyer 开创了框架理论的新 时代.。 我们知道，框架理论已广泛应用于信号处理、数据压缩、采样理论等科学领域的许 多 学科中.。这一理论发展到现在又有了更广泛的应用，它在光学、信号检测、Besov 空间 研究及 Banach 空间理论等许多学科中有更广泛的应用。.以算子论，Banach 空间理论为 有力工具，框架理论方面已产生了更深刻的结果.。新的研究者进入这个领域，促使框架 理论迅速得到了发展.。近几年，算子理论方向的许多专家开始进入框架理论的研究，他 们运用一些有利的算子代数工具研究了框架的一些性质，得到了一些新结果.。算子理论 工作者把框架看成算子，即在框架与之间建立相应的对应关系，通过研究来研 2 ,lHB f T 究框架的性质，给出了两个框架等价的判定条件，证明了 Hilbert 空间上的任意一个框 架的分解等等.。 关于框架扰动性方面的研究，许多工作者做出了重要的贡献.。1995 年，Ole Christensen 讨论的 Hilbert 空间的框架稳定性，他的结论接近于 Paley 和 Wiener 关于 正规正交基的稳定性.。不久，Ole Christensen 又推广了 Paley 和 Wiener 关于 Riesz 基 的稳定性研究，它与 Kato 的扰动性定理有关系.。1997 年，Ole Christensen 与 P.G.Cazassa 合作推广关于 Banach 空间算子可逆的扰动性，得出一个更弱的扰动结果，并把U 这个结果运用到 Hilbert 空间和 Banach 空间中框架的扰动性的研究.。1999 年，Ole Christensen 先 推广了 Ding 和 Huang 关于闭值域算子扰动性的结论，得出一个更弱的扰动条件，并把这 个结果用到子空间中框架的扰动性研究.。 由于 D.R.Larson 和 Deguang Han 和 Xingde Dai 把算子代数理论运用到框架 理论的研究，使得框架理论研究更上了一个层次，开辟了一个新的局面，从整体上把握 和研究框架和的基的性质.。 Hilbert 空间的框架有着丰富的内容，它的概念是小波分析中的基本概念之一.。它 是 研究小波分析的一个主要工具，在小波分析的发展中起到了非常重要的作用.。我们知道 在小波分析中，给了一个信号，经常要进行分解、重构.。在重构中，我们当然希望这个 信号的噪音部分能忽略。.而如果用正规正交基重构的话，由于系数是唯一确定的，所以 不能有我们所要求的那样去调整.。因此我们要寻找一族元素，既能表示这个空间中的每 个元素，又能使表示后的系数不唯一，以便于生产实际中很好的应用.。这样，框架就应 运而生了.。 定义 1.1 令为可分的 Hilbert 空间，为可数集，,如果存在常数 4 HI Hf Iii ，使得对任意的,有,那么称为的一个0,BAHf , 2 2 2 fBfffA i i Iii f H 鲁东大学毕业设计（论文） 2 框架，称和为其框架界，满足条件的最大的和最小的称为最优框架界.如果ABAB 的任意真子集都不是框架，则称为无冗框架.如果,那么称为严格 Iii f Iii f BA Iii f 框架，如果,那么称为正规严格框架.。本文对框架与基的关系作了简要介1 BA Iii f 绍，重点给出了一些特殊框架的稳定性和摄扰动的结果.。 二 预备知识 定义 2.1 设是中的一个序列，如果存在一个常数，使得 2 Iii ff H0B ,Hx 有成立，则称为的一个 Bessel 序列，其中xBfxfx Ii ii 2 , Iii ff H 称为序列的 Bessel 界.。B 命题 2.1 是的 Bessel 序列，界为的充要条件是 Iii f HB i Ii iIii fCIlC , 2 条件收敛，且.。 2 2 Ii i Ii ii CBfC 定义 2.22 框架称为是 Riesz 基,如果在中完全，且存在常 4 Hf Iii Iii f H 数 ，使得任意数列,有,满足上不等式0,Cc , 2 Ila Iii Ii i Ii ii Ii i aCfaac 22 的最大的 和最小的称为的 Riesz 基常数.。cC Iii f 如果是 Riesz 基，那么是框架，且其 Riesz 基常数就是的最优有 Iii f Iii f Iii f 框架界的平方根.。 等价地，是 Riesz 基充要条件是是框架，且. Iii f Iii f IiCfC iii , 00 定义 2.3 框架称为是 Riesz 框架，如果的任意子族关于自身的线 4 Hf Iii Iii f 性包是框架，且关于所有的框架有公共的框架下界.。 定义 2.4 设位 Ba 为 Banach 空间，.若存在正数使对任何 3 XXZnxn:BA, * Xx (1)，则称为 Banach 空间的框架，称为框 2 * 2 * 2 * xBxxxA n n Znxn:XBA, 架界，的上确界称为最佳上界.。若为的框架，但它的任意真子集都不是AZnxn:X 框架，则称为的无冗框架.。若对每个，都有唯一序列，使Znxn:XXx n a 鲁东大学毕业设计（论文） 3 即且存在正数，使得对任何有, n n nx ax , 0lim k n nk k n xaxBA, , 2 Zlan （2） ， n n n nn n n aBxaaA 2 2 2 则称为的 Riesz 基，称为 Riesz 界.。Znxn:XBA, 定义 2.5 为 Banach 空间，为以为指标集的空间 1 X d XNBK ，如果 :, SXyiXXd （a）,; i yx, d XXx （b）存在常数，使，有；0,BAXx X X i X xByxxA d , （c）有界线性，且，有；SXxxyxS i , 那么称为关于的 Banach 框架，称为重构算子，称为框架界.。 Syi, d XSBA, 注 2.1 设那么是有界线性，并且.易知是的框, i yxUx UISU US, 1 Syi, 架界.。 三 框架与基的关系 据我们所知，Hilbert 空间的一个框架有一个关于基的重要性质：给定H Iii f ，存在常数列满足.。这很自然的让我们研究框架与基的Hf , 2 IlC Iii i Ii if Cf 关系.。直觉上，我们认为框架是一些超完备基，所以一个很自然的问题：给定一个框架 ，能否从中抽取一组基.。即，能否包含一组基作为其一 Iii f Iii f IJf Jj j ; Iii f 个子集.。 显然，答案要依照我们对哪种基感兴趣，在这部分，我们首先找出框架含有一组 Riesz 基的充分条件. 定理 3.1 下列两叙述等价： 3 （i）是的 Riesz 基， Iii f H 鲁东大学毕业设计（论文） 4 （ii）为的框架且线性无关，即若 Iii f H IiaIlafa iii Ii i 0, 0 2 ，则且 ，框架界与 Riesz 界相同. 。 引理 3.21 设是一以非负数序列，假设是的一子集族，满足（i） Nii C NKK J N 存在满足，那么.。 iiJJJ, 321 , 0CNKCC K Ji i , K Ji i CC 定理 3.32 每个 Riesz 框架包含着一个 Riesz 基.。 证明：为方便起见，我们用指标集,设是一个 Riesz 框架，且设N 1ii f 是非空的，在上定义一个顺序： ,: 2 2 HffffANJfM Ji iJii 且MM .。现在考虑一个全序族，在一些指标集中，这样一个 JKff KiiJii K Jii f K 族有一个上界，它也是中的元素，我们只要证明： K Jii f M ，这是引理 3.21 的一个结果，因此，由 Zorn 引理，有一HffffA K Ji i , 2 2 M 个极大元.。现在我们证明是一个 Riesz 基.。显然是一个框架，因 Jii f Jii f Jii f 此是无关的.。若不然，我们可以找出一个元素，满足仍然 Jii f wJkfk, kJii f 是完全的，且知是的一个框架，也就是，这与是最大元矛盾.。H kJii f M Jii f 注 3.1：框架一般不是基，(即使),例如1 BA 设在中，对任意 , 2 1 , 2 3 , 2 1 , 2 3 ,1 , 0 321 eee 2 R, 21 xxx , 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 , 2 21 2 21 2 2 2 3 1 xxxxxxxex j j 是紧框架，故 321 ,eee., 2 3 321 不是基但eeeBA 但有如下的定理.。 定理 3.43 设是的紧框架，, ，则是一个标准正交 3 j eH1 BA1 j ej j e 基.。 证明：任何框架必张成整个空间，故只须证标准正交性.。取,有 j ef ，由于，故 2 4 2 2 , jk kjj k kjj eeeeee1 j ejkee kj 当, 0, 定理 3.4 下列两叙述等价： 3 （i）是的 Riesz 基， Iii f H （ii）为的框架且线性无关，即若， Iii f H IiaIlafa iii Ii i 0, 0 2 ，则且 框架界与 Riesz 界相同.。 定理 3.5 为的无冗框架当且仅当为的 Riesz 基.。 3 Iii f H Iii f H 鲁东大学毕业设计（论文） 5 注 3.2：定理 3.4，定理 3.5 对 Banach 空间中的框架仍然成立.。 四 三种特殊框架的稳定性和扰动 框架扰动性问题最早由 Feichtinger 和 Grochenig 在文章4中提出的，其后有大量文章 研究了这个问题,特别是 Ole Christensen 在这方面作了很多的工作.。在本章中，我们 分别对三种特殊的框架的稳定性和扰动作了研究，得出了一些有价值的结果。. （一） Hilbert 空间框架的稳定性和扰动 下面给出一些 Hilbert 空间框架的稳定性和扰动的结果.。 命题 4.1 设是 Hilbert 空间上的框架，上、下框架界为.。若 7 fHAB, 中的一族元素满足H Hg AgfR 2 : 则也是的框架，且框架界为 gH.1,1 22 B R B A R A 根据这个结论，我们可以得到一个推论.。 推论 4.2 设是 Hilbert 空间上的框架，上、下框架界为.。若 7 fHAB, 中的一族元素满足H Hg Ag 2 则也是中的框架，其框架界为. gfH 2 2 2 2 1,1 B g B A g A 命题 4.3 设是H 的框架，框架界为.。如果存在 i f Ni HBA, i g Ni .H ，使得max1,且任意 1 2 01,max 21 A 21 , A ，满足NnCCCC n , 21 鲁东大学毕业设计（论文） 6 ， 2 1 1 2 1 2 1 1 1 n i i n i ii n i ii n i iii CgCfCgfC 则是的框架，且界为.。 Nii g H 2 2 21 2 2 21 1 1, 1 1 B B A A 现在我们给出 Hilbert 空间上的一个一般的框架扰动定理.。 对于一个 Hilbert 空间及其中的序列引入算子,和H NiiNii gf 和UT,S i iii gCCUHNlT,: 2 ii i iii gfUUfSfHHS fCCUHNlU 1 * 2 ,: ,: 其中 是的共轭算子.。 NlHU 2* :U 定理 4.4 设是一个 Hilbert 空间，是的一个框架，和分别是此框H Nii f HBA 架的上、 ，下界，使是的一个序列，若算子有界，且算子可逆，则是 Nii g HTS Nii g 的一个框架.。H 证明：（i）算子的共轭算子；算子的共轭算子TN i i gffTT ,: * U i i i Ni i ffffUUfffUU ,: * 故 因为是的框架，故及可逆，是一个框架，上、下界分 Nii f HU * UUN ii fUU 1 * 别为。 2 2 1 * 21 , 1 , 11 f A fUUff BBA i i 即和 又定义 i fUUffUUUfUNlHU 1 * 1 *2 ,: 所以，因此存在连续逆算子且有界.。 2 2 211 f A fUf B U 又可逆，所以因为 TUSgfUUffTUSf i i i , 1 * . 1 11 , , 2 , 2 1 2 , 2 1 2 , 2 1 2 , 2 1 * 1 2 1 * 124 i i i i i i i i i i ii fgfS A fgfS A fgfTU A fgfUUfTU fgfUUfTUfff 鲁东大学毕业设计（论文） 7 因为，故算子有界，由关于逆算子的 Banach 定理，则算子有界， UTTUSS 1 S 不妨设，则.。CS 1 2 2 2 ,f C A fg i i （ii）因为，所以 2 * 2 * , i i gfffTTfTfTfT ，故， 222 2 * 2 ,fTfTgf i i 2 2 2 ,fMgf i i 结合（i）和（ii）,知是的框架.。 i gH 下面推论是定理 4.4 的一个推论，也是命题 4.3 当=0 时的特殊情况.。 2 推论 4.5 设H 是一个 Hilbert 空间，是H 的一个框架，上、下界分别是H Nii f H .。AB, 又设是中的一个序列，且假定存在常数，对所有的数列，成立 Nii g H0， Nnn C , 1 A 2 1 2 i i Ni ii Ni iii CfCgfC 则是分别具有上、下界的一个框架.。 Nii g 2 2 1,1 A A B B 证明：因为 （1） ， 所以 iiii CCUCTCU ii CBCT 1 因此有界.。T 将代入（1）式，得 fUCi ，Hff A fTUf , 所以是可逆的，且.。 TU A TU A TU 1 1 ,1 1 下面给出当是框架时，序列成为框架的条件.。 Zii ff ZiiiZiiZiii fTTff , 定理 4.6 设是的框架，并且框架上、下界为和,则 Zii ff HBA （i）当为复数序列且满足时，有为的框架； Zii ii supinf0 Ziii f H 。 （ii）当有界且为满射时，有是的框架；。T Zii Tf H （iii）当有界，满足是 Bessel 序列且时，有 Zii T Ziii fTg 0infinf * 1 xTi xZi 是的框架.。gH 证明：（i）因为有,Hx .inf,inf, ,sup,sup, 22 22 xAfxfx xBfxfx iZi Zi iiZiii iZi Zi iiZiii 鲁东大学毕业设计（论文） 8 综合两式得是的框架.。 Ziii f H （ii）因为有,HxxTBfxTTfx Zi i Zi i * , xTB * 又是满射，则是下有界的.。即，使得，有，这样就有T * T0CHxxCxT * xACxTAfxTTfx Zi i Zi i * , 因此是的框架.。 Zii Tf H （iii）只需证明有框架下界.。令，则g0infinf * 1 xTr iiZi ，有，所以，有，因此有 Ziii TTHxx , 0r x x Ti * ZiHx,xrxTi * ，xArTAfxTfTx i Zi ii Zi ii * , 其中是与有关的算子，这就证明了有框架下界，综上得是的框架.。 * i TxggH 注 4.1：结论（i）中条件并不是是框架的必要条件.。例如：设0inf iZi Ziii f 1, 0 1, 1 , 10123 i i eeeeeff iZii 则有f 是框架和。f Ziii fg, 10123 eeeee 因此，有，Hx 2 22 ,xexgx Zi i Zi i 所以也是的框架，框架界为 1，但.。可以验证：若是的框架，gH0inf iZi Zii f H 且为的独立框架，则必有.。 Ziii f H0inf iZi 注 4.2：命题（ii）的逆命题也成立.。 注 4.3：若有 则只需一致有界和一致有下界就可以保证 Zi i f, 2 Zii T Z ii T * 是的框架.。gH （二） Riesz 框架的稳定性和扰动。 下面我们对 Riesz 框架的稳定性和扰动作一些有益的探索.。 其中用表示空间的标准就范正交基，为可数指标集，表示到的 Nii e Nl 2 JKHL,HK 有界线性算子全体.。 定理 4.7 设是的 Riesz 框架，是可逆的，使， Nii f HKHLT,NigTf ii , 则是的 Riesz 框架.。 Nii g K 证明：易知，是的框架，令 Nii g KN .。 HTTgspanKfspanH iiii , 由可逆知是可逆的，且且 ，有T KHLT, KgTT, 1 1 鲁东大学毕业设计（论文） 9 2 2 1 2 2 1 2 2 1 * 2 * 2 * 222 , , gTAgTA gTAgTAfgT fTgTfggg i i i i i i i i 故是的 Riesz 框架.。 Nii g K 推论 4.8 设是的 Riesz 框架，是其框架算子，则，有 Nii f HSR 是的Riesz 框架.。N ii fS H 证明：由S 是可逆正算子知可逆，故结论成立.由定理 2.2 即知.。S S 推论 4.9 设是H 的 Riesz 框架，则存在与相似的正规 Riesz 框架. Nii f H Nii f 。 证明：在推论 4.68 中，令即得是 Riesz 框架且是正规的.。, 2 1 Ni i fS 2 1 定理 4.10 设是的 Riesz 基，界为A,B. ， Hf Nii Nii fspan BA, Hg Nii 则在 命题 4.13 的条件下，是的 Riesz 基.。 Nii g Nii gspan 证明:显然，在中是完全的.。由定义，只须证 Nii g Nii gspan ，使得.。由 NnCCCCmM n , 21 、 2 1 1 2 1 2 1 1 2 n i i n i ii n i i CMgCCm n i iig C 1 n i iii gfC 1 n i iif C 1 n i ii n i i n i i n i ii n i ii gCCB CgCfC 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 知 2 1 1 2 2 1 1 1 1 n i i n i ii C B gC 再由： 2 1 1