《数学的考え方》doc版.doc

29羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅膂蚈袂羁节莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃膂艿莂羈肈芈蒄螁羄芇薆羇衿芆虿蝿膈芆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃节螆袂莂蒅蕿膁莁薇袄肇莀虿蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚅膇蒈薄袁肃蒇蚆蚄罿蒆莆衿羅肃薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈膈蚇薁膆膈莇螇肂膇葿薀肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅膂蚈袂羁节莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃膂艿莂羈肈芈蒄螁羄芇薆羇衿芆虿蝿膈芆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃节螆袂莂蒅蕿膁莁薇袄肇莀虿蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚅膇蒈薄袁肃蒇蚆蚄罿蒆莆衿羅肃薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈膈蚇薁膆膈莇螇肂膇葿薀肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅膂蚈袂羁节莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃膂艿莂羈肈芈蒄螁羄芇薆羇衿芆虿蝿膈芆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁袆莃节螆袂莂蒅蕿膁莁薇袄肇莀虿蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚅膇蒈薄袁肃蒇蚆蚄罿蒆莆衿羅肃薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈膈蚇薁膆膈莇螇肂膇葿薀肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿膃薅蚆肅膂蚈袂羁节莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃膂艿莂羈肈芈蒄 数式指導数指導教科書：文部科学省編中学校学習指導要領(平成10年12月)解説数学編大阪書籍中学校導入数種類小学校：自然数，分数（新指導要領分数計算軽減）中学校：負数，整数（正負整数），無理数（平方根扱，現行指導要領，有理数無理数用語中学校使，高校移行。，発展的内容導入可能，教科書復活）高校：有理数，無理数，実数，虚数，複素数負数負数拡張負数数拡張仕方(1)新符号+,-数考，今数正数，a+a同一視。(2)新数負数導入。，今数計算仕方新定正数負数算数数正数負数意味符号数意味種状態表記号導入具体的意味：温度，海抜，利益損失，直線方向位置，直線方向運動。負数，正数反対状態表。数学的意味：負数，加法関正数逆元数直線原点正数負数，反対側位置点符号数量，正数負数反対向量負数演算計算，操作対象数。加法減法指導指導例利用正負数大向量（）。但，向次元。加法：和，。（注意：矢線，矢印同値類，原点始点必要。位置同値類代表元）ba0a + b減法：大学数学，（可換）体（，field）構造集合数拡張加法乗法定義集合K，以下性質成立，K体（，field）：(I)加法関,可換群。 (II)加法乗法間分配法則成立。 (III)加法関単位元（零元）除、乗法関可換群。(可換群，代数系(G,)対、以下条件成立言。 ()結合法則成立。 ()単位元存在。 ()逆元存在。()交換法則成立加法単位元。a + a = 0aa逆元，数学的，減法加法逆元帰着。a加法逆元 -a 符号，演算記号，大学数学，a - b : = a + (-b)定義。例，3 - (-5) = 3 + (- (-5)，- 5逆元，3 + (- (-5)= 3 + 5， 3 - (-5) = 8結論 ，中学校，a - b = a + (-b)（減法，符号変加）事例帰納展開普通。，中学数学群逆元概念前提小学校算数学習引算概念意味拡張，定義。小学校算数減法意味(1)求残集（）中，一部集（）取去，集（）中身(大)減少場合。個。人個食。残何個。(2)求差同時存在集（）比較，違考場合。校庭男子人，女子人。何人多。(3)加法逆演算（正）-（正）例：(+5) - (+2)求(+5) - (+2) = x 。方程式習，移項考方使。加法逆演算引算意味，(+5) - (+2)求，x +(+2) = (+5) x 求同等考。+2引- x -+2足x(+3)条件満，図見。従，(+5) - (+2) = +3。（条件満唯一前提），図，+3 = (+5) + (-2)確認，(+5) - (+2) = (+5) + (-2)結論。（正）-（負）例：(+5) - (-2)求(+5) - (-2) = x 。加法逆演算引算意味，(+5) - (-2)求，x +(-2) = (+5) x 求同等考。x(+7)条件満，図見。従，(+5) - (-2) = +7。，図，+7 = (+5) + (+2)確認，(+5) - (-2) = (+5) + (+2)結論。（図省略）指導例加法減法大小関係表考利用正負数演算，状態表。例，5 + (-2)，(-2)大数表考。，(-2)大，2小解釈（(-2)符号後大作用，反対意味小変），5 + (-2) = 5 - 2 = 3結論。同様，5 - (-2)，(-2)小数表考。，(-2)小，2大解釈，5 - (-2) = 5 + 2 = 7結論。乗法除法指導乗法，同数累加考方外挿普通。交換法則前提。（負）（正）：(-2) x 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6（加法帰着）。（正）（負）：交換法則，3 x (-2) = -6導。課題（：）生涯私数学偽善不可能、少年単純数学応用科学思。、（）（）（）誰説明、。量人借金考、借金借金、財産。疑問答，論分間個別，周話合自分答後，自発的発表募誰申出，受講票選指名，黒板前発表後，発表議論時間複数発表聞発表，中学生，間違構教員目指発表練習必要伝発表者拍手送発表者名記録，評価利用負数同士乗法理解知前述，日常言語，正負損得概念対応，利益財産正数，損失借金負数表，負数同士乗法，損失損失利益借金借金財産意味，理不尽，非難損失損失借金借金話，加法的理解乗法的理解混同損失損失重借金借金重，結末大損失借金地獄，重行為足算同繰返加，乗法，（単位量）（量分（何倍）形式，被乗数乗数意味違借金借金負数同士乗法説明仕方，符号演算記号混同来混乱多，（）（），算数同考，3回足解釈加法使計算，（）（）？中学校先生，（），3回引解釈，以下対応考：記号表現記号内容（）（） - 3回足（）（）（） - 3回引，3回引，何引？先生，引解釈（），始式書，苦説明符号（）演算引全別結苦心結果，混同先損得関乗法，（単位量）（量分（何倍）意味合修正被乗数扱数量，財産，乗数，財産取得回数，場合負数意味，正数意味反対考，次決：被乗数乗数財産取得回数負債放出回数，（）（），億円負債三回手放解釈，金銭的，億円財産得同効果，計算結果，（）納得例数（負）（負）：(-2) x 3 = -6 (-2) x 2 = -4 (-2) x 1 = -2 (-2) x 0 = 0右辺2増，(-2) x (-1) = 2, (-2) x (-2) = 4導。，負数負数算，絶対値同士正符号付，。図示場合図示，整数以外数予想 - - - -例倍(+1) x (+3)算，初項量，後項量，算，倍操作捉，(+1) x (+3)，(+1)，矢印向倍考+1 -(+1)x (+3) -(+1) x (-3)，(+1)，矢印反対向倍考(+1) x (-3) -，数直線，負数作行考方，(+1) x (-3)，(-3)，実際，(+1) x (-3) = (-3) x (+1) = (-3)初負数，(-2) x (3)，(-2)，矢印向倍，-6得(-2) x (-3)，(-2)，矢印反対向倍，+6得例移動考（東京書籍年）東西一直線道路歩場合。東移動正数，西移動負数表。毎分60m速東向分間歩。現在位置，現在分後数直線上図東300m移動。，(+60)x(+5) = +300。現在分前数直線上図西300m移動。，(+60)x(-5) = -300。今度西向毎分60m速歩。毎分-60m速歩考。現在分後数直線上図西300m移動。，(-60)x(+5) = -300。現在分前数直線上図東300m移動。，(-60)x(-5) = +300移動。例分配法則前提(-1) x (+3) + (-2) = (-1) x (+3) + (-1) x (-2)左辺，(-1) x (+1) = -1右辺，(-3) + (-1) x(-2)従，(-3) + (-1) x(-2)-1，(-1) x(-2) = +2，0 =(-1)x0 = (-1)x(1 + (-1) )=(-1)x1 + (-1)x(-1) =-1 +(-1)x(-1)(-1)左辺移項，1 = (-1)x(-1)，形式不易原理従。形式不易原理(1791-1858)，(1839-1873)数学，数学史研究指摘。数拡張，自然数成立計算法則結合法則( a + b ) + c = a + (b + c )(ab)c = a (bc)交換法則a + b = b + aa b = b a分配法則a (b + c) = a b + a c，新拡張広範囲数成立数構成。平方根平方根導入現行指導要領，有理数無理数用語中学校使，高校移行無理数存在：数学史，古代学派，図形（正方形正五角形）辺長対角線長比調中発見。Irrational number呼，理ratio（比）指。万物数思想学派，事柄整数比表。図形辺長対角線長比整数比表期待。不可能自発見，学派思想的危機導。平方根：中学校年生導入。二次方程式解必要。無理数現。例，x2 = a 解，乗a数考。a = 4, 9, 16解見。，a = 2場合，問題現設定導入。平方根存在保証：面積正方形一辺長：面積正方形作方書。辺長正方形隣合辺中点線分結正方形利用。日本欧州製紙関規格，A版，B版規格使。規格沿用紙，等分用紙形相似作。，B5版，B4版相似，面積半分逆，B4版B5版2倍面積機，縦方向横方向拡大縮小倍率設定通常，縦方向横方向等倍率拡大縮小行 B5版絵B版拡大，面積比：相似比2乗倍，相似比，：2，拡大倍率2100，約141設定実際，短辺長，長辺長平方根。，相似中学校3年学習，平方根学習時期例授業利用難2平方根無理数証明：通常，背理法（間接証明法）用。関連話題：黄金比（名付）英語小説大切紙枚用意。片方紙，短辺一辺正方形切取。残紙片，残紙相似（重合対角線揃確認）。，短辺長長方辺長，（+5）/（1.618)，横縦長比黄金比：（+5）/。比，最美長方形芸術用他，様，350 ml缶部分粉缶正面図。平方根近似値：現在安電卓。平方根意味理解，2値求，21.42乗1.5乗間，1.41乗1.42乗間，等確認逐次近似大切。電卓機能利用。平方根含式計算：和差，例，2 + 35生徒。簡単傾向。数値比，両者乗違導。有理数無理数関係：小数表現特徴。有理数，分数表，循環小数。無理数表小数，循環。例，0.202002000200002。式指導課題問次問題，西暦400年頃中国算術書孫子算経問題（鶴亀算）：入。頭合35、足合94。何羽、何羽問題、方程式使解方法以上示。解 中国古書鶴亀算解法，(1)足数割。(2)頭数引。、数。(3)数頭数引。数記。1 羽，羽，表作方仮定，足，本94，本少本，本足多，羽代一匹，足本増本増，匹必要，羽仮定，足，140本，94本，本多，2本足少，46本減，羽必要問2中国九章算術下記問題（旅人算）方法解：，甲長安出発5日斉至，乙斉出発7日長安至甲長安出発2日前乙斉出発，（甲出発）何日出会長安斉間距離知，解判明文字式構成要素例：半径花壇周囲幅1道道面積S表S = (r + 1)2 r2数表記号数字 ：0, 1, 2, .，特定数表記号：文字（記号）：a, b, c, A, B, C ，文字，漢字使可能，西洋代数学発展歴史的経緯，使演算表記号四則演算記号，。関係表記号，括弧（）文字役割定数表特定定数任意定数関数係数，関数関係表式中変数異定数表一般数数一般的表例交換法則長方形面積公式未知数表未知定数表方程式変数関数関係表式様値。注意点任意定数変数関数関係場面相対的決。一次関数変数，任意定数相対的。代入操作文字特定数値。未知数変数関係方程式関数的見方，変数含等式。，未知数変数。例，関数一定値。文字自由性任意定数，一般数，未知数，変数表文字，見方応自由変。長方形面積一般数，変数見。文字式種類（言語類比分類数学的表現日常言語省略表現起源自然分類）型（数学的対象，演算手続，演算結果表）：文節類似様関係記号含型（数学的命題表）：文類似関係記号含。型式同士関係表文字式効用簡潔表現。事象中数量関係法則抽出表現。新加。表現，等要素捨象。一般的関係手続表現。公式作。例：交換法則，結合法則，分配法則展開，因数分解公式(a + b)2 = a2 +2ab + b2日常表，最初数二番目数和平方，最初数平方，最初数二番目数積倍，二番目数平方三者和等。以下見操作対象新応用進。数量関係法則操作対象。単表，数学科教育法長科目名数教法省略簡潔変。数学的操作加便利形表現重要。例：連立方程式x + y = 7. 2 x + y = 0.，単表操作。文字式表数量関係法則新洞察，応用，発展可能。三角形面積1/2 ，同頂点底辺平行面積同。旅人算（前出）例中国九章算術下記問題（旅人算）：，甲長安出発5日斉至，乙斉出発7日長安至甲長安出発2日前乙斉出発，（甲出発）何日出会長安斉間距離d甲速度，d/5 (一日進距離)乙速度，d/7甲出発出会時間，t(日)，長安出会地点距離，(d/5)t表乙地点，t+2日費斉出会地点距離，(d/7)(t2)合，全体距離d，(d/5)t(d/7)(t2)dd，両辺d割，t/5 + (t+2)/7 = 17t + 5t+10 = 3512t=25, t = 2 + 1/12（2日2時間）3日目長安斉間距離知，解判明地球赤道周一周長l1。次，真上本目周，本目長l2本目何長（，人工衛星軌道）（）地球赤道直径（万）知性質。文字導入文字導入，算数代数移行重要段階。小学校面裏面数和関係表。，特定数，数表。一般数，未知数，変数考。，数入場所(place holder)見。（対象）見。試，数入考。最初二番目違数入感。単入容器。一方，文字式場合同文字同数入暗黙。新指導要領：小学校，文字導入。中学校文字数同操作対象（），一般数，未知数，変数意味与。代数歴史言語的代数：日常言語表。数立方等省略代数：頻繁用概念演算省略記号。立方等小学校：使式。（長方形面積）（）（）記号代数：(1540-1603)始。他，様，文字係数使用始，一般公式法則文字式表現。文字式活用事象問題（新発見洞察）文字式文字式表読変形表文字式活用（三輪辰郎）上記図文字式活用問題解決新発見一般的表。問題新事象直面，文字式表現，目的応変形。変形結果元問題事象照解釈行。表過程，文字特性一般化抽象化伴。読過程，文字式具体的事象戻特殊化具体化伴。方程式：問題方程式表，変形解。解元問題照解吟味解決。関数：事象中見出関数表，式変形（数値入，他変数解，連立，高校微分積分）。得式解事象解釈下。証明：問題文字式表，変形，文字表事柄間関係解釈行。方程式方程式未知数量文字（未知数）表，成立相等関係表式。文字表変数条件表等式。本円花何本100円買，代金500円。花何本買。方法（算数）(500100)50 = 8（本）方法（方程式）買花本数（未知）表，花代金代円和円等。方法解，簡単方程式使，方程式解法最大長所，式求，後機械的処理点機械的，50，100，500意味考計算必要，手順（）従，解求方程式考方(1)求未知数量文字（x, y等）表。例：花本数，x表。(2)問題表事象中数量関係着目。例：本円花何本100円買，代金500円。花何本買。問題，（値段）（個数）（値段）（個数）（代金）買物一般的数量関係着目必要。(3)数量関係式表（立式）。例：（円）（本）（円）（本）（円）(4)式変形，未知数解。(5)求値問題照，適切調。簡単問題間接的，方程式考方，未知数量求問題適用強力考方。方程式文章題，(1)(2)(3)立式過程特難。数量関係授業扱，生徒自身，学数量関係自分自身方程式問題作成活動大切。，（速度）（時間）（距離）関係小学校習。応用，A, B, C, D地点速度変進状況，（速度）（A地点B地点時間）（速度）（B地点C地点時間）（速度）（C地点D地点時間）（距離）数量関係考。使，（B地点C地点時間）未知量方程式問題作活動。文章題表状況中数量文字表，(1)数量関係見出決。（旅人算）弟学校行時家出。兄弟出分後家出弟追。弟毎分50m，兄毎分70m速歩，兄何時何分弟追。問題，最終的求何時何分時刻。，時刻x式立。時刻関数量関係式複雑。時刻時間関速度，時間，距離三者関係生徒知。頭，問題状況数量関係考，兄弟追解答直接関事柄，兄弟追数量的重要。，（弟歩距離）（兄歩距離）。距離求，速度時間必要。速度数値与，時間。求必要。求数量，問題文聞数量，問題解過程必要数量。問題，弟歩時間x，(a) 50x = 70(x-4)兄歩時間x，(b) 50(x+4)=70x異式。，(a)解，x= 14。答。問題戻値意味吟味必要。弟14分間歩，兄弟追，8時14分解釈答。方程式解方方程式未知数，数値代入等式成立調解。方程式解意味理解，数代入式成立調活動大切。，等式性質利用，解求方化（機械的手続）。等式性質A = B A + C = B + CA = B A - C = B - CA = B A C = B CA = B, C A / C = B / C全，数成立性質。文字式含成立。用変数左辺，定数右辺形変形。性質理解，通常等同足等。連立方程式問題，文字，使元次方程式方自然場面。弟学校行時家出。兄弟出分後家出弟追。弟毎分50m，兄毎分70m速歩，兄何時何分弟追。弟歩時間，兄歩時間， x = y + 4，50x = 70y関係式立考。 連立方程式解法，加減法代入法使，習一元一次方程式帰着解気，関連付大切。一次関数見方関連。未知数変数文字見方取入。二次方程式解公式学習。因数分解平方完成解程度。p. 155次関係式，次関係学。解場合，場合，実数範囲解場合。方程式創始解析幾何学思想平面座標軸導入，平面上点数組（，）一対一対応。代数問題幾何学的理解，逆幾何学問題代数的解決代数幾何学統合理解指導。 数組(x, y) 点 元一次方程式（一次関数）ax +by +c = 0解集合-直線連立元一次方程式解集合直線交点数図形新統一幾何学代数x 線分長x2乗正方形面積x3乗立方体体積解釈代数問題幾何的解釈結。，次以上面倒：乗平方平方乗立方立方代数問題高次指数頻繁使。発展代数幾何結方法？世紀式x, x2, x3単位（面積，人数）定，同種量，量大違。解析幾何学図形点考，座標軸設定，点位置x 座標y座標定。方程式y=2x+1解集合図形表現。，幾何問題円錐曲線論代数問題扱，発達代数手法使。停滞幾何学飛躍的発展可能。関数幾何学的表現，微積分発展結数量関係指導関数17段目不思議下表中，次手順計算，段数書入行：1段目適当1桁数書1段目2段目書数和求，一位3段目書2段目3段目数和求，一位4段目書計算繰返，17段目埋問2段目数固定，上記手順行，17段目計算気，2以上問問現，説明1段2段5553段4段5段6段7段8段9段10段11段12段13段14段15段16段17段2段目5，1段目数入17段目？2段目以外？，1段目数入17段目7，2段目数17段目数- - - - - - - - - - ，17段目数，実2段目数決事柄数値，別事柄数値決，関数17段目数2段目数関数17段目数，2段目数表，関数関数見出利用，自然現象、社会現象考察重要日常生活，電気無駄，電気代高注意，1月電気代，月電気使用量決，1月電気代，月電気使用量関数，電気代抑，電気使用量，電気代節約，関数乗物旅行，何時間予測，道乗物速知時間，距離速決時間距離速関数場面，関数理解役立数学教育改造運動. 関数概念学校数学中心据数学史：静的数式表関数(1707-1783)一変量関数、変量幾定量一定量作解析的式(1736-1813)一幾量、計算仕方言表、量関数対応考、式離(1805-1859)区間内変量値対、値定、関数。場合、全区間一法則必要、従属関係数学的演算表必要写像関数：(1845-1918)集合論以降関数集合与、任意元、一（）対応、対応：（）関数関数関係指導：変化対応着目()事象中変化数量目部屋日気温車移動郵便料金預金利息(2)伴変数量間対応目数量間一方変化伴他方変関係。特、一方決対応他方一（一意）、関数関係。変変変変日時間部屋日気温運