《线控教案整理好的》doc版.doc

例题2.1 RLC网络，为输入，为输出，试求其数学描述。图1解：由图列方程 （1）用一阶微分方程表示，整理（1）得： （2）仍以例题2.1为例，能否把RLC网络中的电感电流i和电容电量q作为系统的状态变量？解：由图列方程 （1）用一阶微分方程表示，整理（1）得： （2）例题.5 设系统输出输入微分方程： 将其化为状态空间描述。解：取状态变量：写成矩阵向量形式：例题2.7 设，求其状态空间描述。解：其极点为：因此，其相应的状态空间表示式为： ，二、控制系统传递函数的极点为重根k1i的计算公式：例题2.8（教材上的例2.6）设，求其状态空间描述。因此，其对应的状态空间描述为：1、 传递函数的极点为k个重根（举例明说）例题2.9 设，求其状态空间描述。解：按部分分分式展开： 所以，写成状态空间表达形式为： 例题2.10 设，求其状态空间描述。解：按部分分分式展开： 所以，写成状态空间表达形式为： 一、 状态变量图（模拟结构图），其中：例题：已知：选择变换矩阵：，即所以，有 坐标变换系统的状态空间描述为：选择变换矩阵：，即所以，有坐标变换系统的状态空间描述为：例题：，求其特征值。解：A的特征方程为：解之，得特征值为： （实根）举例：，求其特征矢量。解：A的特征方程为：解之，得特征值为： 1）、对应于的特征矢量，按定义 有： 计算整理得解得： 所以：2）、同理，对应于的特征矢量对应于的特征矢量三、将状态空间描述化为规范型解题步骤：1) 求取系统矩阵A的特征值和对应的特征向量;2) 构造变换矩阵,并求;3) 求例题：将下列状态方程化为标准型解：1）求特征值解得：2）求特征向量当时，有 解得：当时,有 解得： 3）构造变换矩阵,并求；，4）求 所以得到对角线规范型： （1） 当矩阵A的特征值两两相异且A矩阵为友阵定理：当系统矩阵A两两相异且A矩阵为友阵时，将其化为规范型的变换矩阵是一个范德蒙德矩阵，即已知： 则变换矩阵例题：将下列方程化为规范型 解：1)计算特征值 解得： 2）构造变换矩阵P ,3) 求 4) 变换后的状态方程为对角规范型： 1、 将状态空间描述化为约当规范型例题： 1) 求矩阵A的特征值 解得：2）构造变换矩阵：当时， 解得再求对应于的另一个广义特征向量：当时， 解得：当时， 解得： 构造P为：3）求变换后的矩阵：23（陈明）现代控制理论教案第三章第三章 系统的运动与离散化（状态方程的解）1、 拉氏反变换法（重点）已知：两边同时拉氏变换：所以对上式拉氏反变换，得：因此： （重点）例3.2.1 用Laplace变换法计算矩阵指数已知：解：所以2、 化有限项法例题：已知，试用化有限项方法求其状态转移矩阵。解：求得： 因为，其中 解得：所以：（1） A中含有重特征值例题(二重根)：已知：，试用化有限项的方法求矩阵A的矩阵指数。解：解得: 解得： 所以：=二、 将脉冲传递函数化为状态空间描述例题：解：其中：所以，其状态空间描述为： 1、 脉冲传递函数等极点为重根k1i的计算公式：例题：因此，其对应的状态空间描述为：定常系统状态方程的离散化例题：系统方块图如图所示：（1） 求系统开环离散状态空间描述解：1）由图，求得系统开环传递函数为则其状态空间描述为2）将其化为离散状态空间描述：先求所以求得再求所以求得因此，开环系统的离散状态空间描述为： （2） 求闭环系统的离散状态空间描述由图可知，所以，将G，H，C带入上式得：第四章 系统的能控性与能观测性一、 状态能控性判据的第一种形式例题：系统为：解：其能控性矩阵因为满秩，所以系统是能控的。例题：解：有因此，所以系统是不能控的。例题：已知系统的传递函数为：当取何值时，式系统为不能控 ？解；当时，传递函数有零极点对消，这时系统是不能控的。能控规范型和能观规范型（重点）二、单输入单输出系统的能控规范型解题步骤：1）先判别系统的能控性；2）计算系统的特征多项式；3）求，构造变换矩阵；4）求出例题：已知系统的状态方程，将其划为能控标准型。解：先判别系统的能控性，所以系统是能控的。再计算其特征多项式即 求，变换矩阵 ， 例题：已知线性定常系统：（无输出方程，可以直接写出能控标准型）试将状态方程化为能控规范型。解：1）先判别系统的能控性因为满秩，系统是完全能控的。2）计算系统的特征多项式 3）求，构造变换矩阵 构造变换矩阵 ，4） 故系统的能控标准型为： 三、单输入单输出系统的能观测规范型3、解题步骤：1）先判别系统的能观测性；2）计算系统的特征多项式；3）求，构造变换矩阵；4）求出例题：将系统化成能观测规范型。解：1）先判别系统的能观测性满秩，所以系统是能观测的。2）计算系统的特征多项式 3）求，构造变换矩阵； 构造变换矩阵，得 ，4）求 ，例题：已知系统 （没有B矩阵，可以直接写出能观规范型）解：1）先判别系统的能观测性满秩，所以系统是能观测的。2）计算系统的特征多项式 3）求 ， 所以系统的能观测规范型为 第五章 状态反馈与状态观测器例题：设系统的传递函数为：试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点配置在-2，。解：1）因为传函没有零极点对消，所以原系统能控且能观，可以将系统写成能控规范型：2）对该系引入状态反馈矩阵，则闭环系统的系统矩阵为则系统的特征多项式为：3）根据系统给定的期望极点，其期望特征多项式为：4）比较和各对应系数，可解得：即：2、特征值不变性原理方法（适合系统阶次）例题：已知系统为:试确定系统的状态反馈控制律，使闭环系统的极点都配置在-3。解：1）该系统的状态空间描述为：显然该系统能控，可以任意配置极点。2）对该系引入状态反馈矩阵，则闭环系统的系统矩阵为则系统的特征多项式为：3）根据系统给定的期望极点，其期望特征多项式为：4）比较和各对应系数，可解得：即：3、已知为任意能控系统。（能控规范型法，适合系统阶次）例题：已知单输入线性定常系统为：试求出状态反馈，使得闭环系统的特征值为。，解：1)先判别系统的能控性，2）计算其特征多项式 ，3）求变换矩阵P 变换矩阵4）所以该系统的能控标准型为：对该系引入状态反馈矩阵，则闭环系统的系统矩阵为则系统的特征多项式为：5）根据系统给定的期望极点，其期望特征多项式为：6）比较和各对应系数，可解得：即：所以，1、已知为能观规范型。例题：设系统的传递函数为：试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点配置在-2，。解：1）因为传函没有零极点对消，所以原系统能控且能观，可以将系统写成能控规范型：2）对该系引入状态反馈矩阵，则闭环系统的系统矩阵为则系统的特征多项式为：3）根据系统给定的期望极点，其期望特征多项式为：4）比较和各对应系数，可解得：即：2、特征值不变性原理方法（适合系统阶次）例题：已知系统为:设计全维状态观测器使其极点为-10，-10。解：1）先判断其能观性，该系统能观，可以构造观测器。2）构造该系统的观测器，设反馈矩阵，则闭环系统的特征多项式为：3）根据观测器的期望极点，其期望特征多项式为：4）比较和各对应系数，可解得：即：因此，观测器方程为：3、已知为任意能观系统。（能控规范型法，适合系统阶次）已知系统为: 设计全维状态观测器使其极点为-10，-10。解：1）先判断其能观性，该系统能观，可以构造观测器。2）原系统的特征多项式为 所以，3）构造变换矩阵T ，4）则原系统变换为能观规范型为：5）设计状态观测器，引入反馈矩阵，根据观测器的期望极点，其期望特征多项式为：，则所以，得到：因此，观测器方程为：附：，例题：已知受控系统的传递函数为：用状态反馈将闭环系统的极点配置在，并设计实现上述反馈的全维状态观测器（设其极点都为-10），画出全维观测器闭环系统结构图。解：（1）由传递函数可知，该系统能控能观，因而存在状态反馈及状态观测器，根据分离性可分别进行设计。（2）设计状态反馈控制矩阵K。为观测器设计方便，原系统可以直接写出其能观规范型：设，则闭环系统矩阵为：则闭环系统特征多项式为：根据期望极点，其期望特征多项式为：比较和，得：（3）设计全维状态观测器。令，则观测器的特征多项式为：观测器期望特征多项式为：比较和，得：因此，观测器方程为：则闭环系统结构图如图示。第七章 李亚普诺夫稳定性理论1） 判别定号性。1、标量函数的定号1）正定：，V(X)=0；，例如：2）半正定：，V(X)=0；，例如：3）负定：，V(X)=0；，例如：4）半负定（非正定）：，V(X)=0；，例如：5）不定的：，V(X)=0；，或例如：例题：判别下列函数的符号性质（半正定的）2、二次型标量函数（1） 若为正定，则称P为正定，即。（2） 若为半正定，则称P为半正定，即。（3） 若为负定，则称P为负定，即。（4） 若为半负定，则称P为半负定，即。因此，判别V(X)的符号就是判别P的符号即可。1、 赛尔维斯特判据：（1） 为正定的充要条件是P的所有顺序主子行列式都是正的。例题：（正定）解： 例题：判别二次型函数的定号性。解，二次型可以写成: 根据赛尔维斯特准则，是正定的。（2） 为半正定的充要条件是 例题： （3） 为负定的充要条件是 （4） 为半负定的充要条件是 判断下列函数的正定性。（不定） 7.3 李亚普诺夫意义下的稳定性1）若是负定的，则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，有，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。2）若是半负定的，但对任意初始状态来说，对，不恒为零。3）若是半负定的，但在某一X（非零）值恒为零。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的，但非渐近稳定。4）若是正定的，则在原点处的平衡状态是不稳定的。例题：已知非线性系统的状态方程： 试分析其平衡状态的稳定性。解：坐标原点是其唯一的平衡状态。选择一个正定的标量函数：则是负定的。又由于，有，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。例题：已知非线性系统的状态方程： 试分析其平衡状态的稳定性。解：坐标原点是其唯一的平衡状态。选取标准二次型为李亚普诺夫函数 ： （正定的）则 （半负定的） 又由于，有，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。若选择 则是负定的。例题：已知非线性系统的状态方程： 试分析其平衡状态的稳定性。解：坐标原点是其唯一的平衡状态。选取标准二次型为李亚普诺夫函数 ： （正定的）则 （半负定的）李亚普诺夫意义下的稳定。例题：已知非线性系统的状态方程： 试分析其平衡状态的稳定性。坐标原点是其唯一的平衡状态。选取标准二次型为李亚普诺夫函数 ： （正定的）则 （正定的）所以根据定理，是不稳定的。例题、设系统的状态方程为：试分析平衡点的稳定性。解，显然是其唯一的平衡状态。设，选取 根据式 解得：根据塞尔维斯特准则可知P是正定的，所以系统在平衡点是大范围渐近稳定的，且李亚普诺夫函数为：例题：利用李亚普诺夫第二法判别下列系统是否为大范围渐近稳定。解：A矩阵非奇异，为系统唯一平衡状态。设，选取根据式 解得：根据塞尔维斯特准则，P为正定的，所以系统是大范围渐近稳定的。例题：设系统的状态方程为：若要使系统渐近稳定，确定增益K的稳定范围。解：因为，故原点是系统唯一平衡状态。设，取为了说明这样选取Q 是半正定的正确性，尚需证明沿任意轨线不恒等于零。由于，显然的条件是，即在处才使，而沿任意一轨线均不会恒等于零。根据式解得：若要使系统渐近稳定，P为正定的，即解上式得：例题：设离散时间系统的状态方程为：试确定系统在平衡点处是大范围渐近稳定的条件。解 根据稳定性定理，设取根据公式解得：所以，根据塞尔维斯特准则，若使系统大范围渐近稳定，则P为正定的，即解得：和例题：设离散时间系统的