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Chapter 3 多分辨分析与双正交小波的构造1. 多分辨分析 定义：空间L中的一列闭子空间称为L上的一个多分辨分析或逼近.如果满足下列条件:单调性: .逼近性: ,.(3)伸缩性: (4)平移不变性: .(5)Riesz基: , 构成的Riesz基，即， 且，称g为尺度函数（scaling function）;1分析 按Mallat:高分辨率空间与低分辨率空间的差，即为一个小波。 所以，由可得到可得到 V0 V1 所以多分辨率分析只取决于一个函数(由可以得到V0)。2不同子空间中函数间的关系同理可得： ; 的基为因此， . .定理：构成的规范正交基，； 其中：可以证明：若构成的规范正交基，则：构成的规范正交基。 j-尺度，k-平移。由于为中子空间，（在中的正交补）。由（1）：由（2）： 于是称称为小波空间，称为尺度空间。由（1）得 若，即构成L2(R)故： 由于： 而 ; 可以推得： 小波空间的性质：1 平移不变性：；2 伸缩性：；也就是说由所决定。考虑：当给定时，是否一定构成的规范正交基。假设当给定时，构成的正交基，称为正交小波。则的规范正交基为，其中；由得：的规范正交基为，即： ；由， ， ； ；双尺度方程：(两个不同尺度之间的关系) 由得：称， （）例 为满足的双尺度方程。即：对两边作Fourier变换 （*），其中由（*）得：因此，由（*）有： （1）由于构成的规范正交基 （2）由于要求双尺度方程。对两边作Fourier变换：，其中由 （3）由构成的规范正交基 （4）因此，由（1）、（2）、（3）、（4）得，对要使得：，且构成的规范正交基，且构成的规范正交
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