计量地理 第六章 趋势面分析模型.doc

第六章 趋势面分析模型 所谓趋势就是排除了偶然变化和局部起伏以后的比较规则的变化。趋势面分析 趋势面分析是研究地理系统要素（变量）空间变化规律的有力工具，在地理系统的研究和分析中已经得到广泛的应用。第一节 趋势面分析的原理和数学模型 一.趋势面分析概述 地理系统调查所获得的观测数据中一般都包含着三种分量： 地理系统的最重要特征之一就具有区域性。 在散点图上，显示地理要素特征的点的空间分布呈波浪状起伏，此时若以回归平面代表其趋势，并不贴切，而应以曲面表示其趋势才较为贴切。 用数学的方法，以数学模型来模拟（或拟合）地理数据的空间分布及其区域性变化趋势的方法，称为趋势面分析。 在地理系统中，大量的地理数学模型都是非线性模型，通常寻求这些非线性模型的函数表达式比较困难。 这时可采用趋势面来拟合回归方程，计算趋势面的数学表达式主要有多项式函数和傅里叶级数，最常用的是多项式函数。 趋势面是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地理数据在大范围内的空间变化趋势。趋势面实际曲面=趋势面+剩余曲面某观测点上的观测值 在利用趋势面分析拟合回归模型进行地理预测时，所选择的趋势面模型必须使剩余值比较小，回归平方和比较大，这样拟合度较高，预测结果才能达到足够的准确性。二、趋势面分析的数学原理1、趋势面分析的原理 设以zi(xi,yi)表示某一地理特征值在空间上的分布，其中(xi,yi)是平面上点的坐标。任一观测点xi可分解为两个部分 为了使趋势面更好地逼近原始地理数据，常采用最小二乘法原理，使每一个观测值zi与趋势值zi的残差平方和最小。Q=(zi-zi,)2 min 根据高斯-马尔科夫定理，最小二乘法给出了多项式系数的最佳线性无偏估计值，这些估计值使残差平方和达到最小。 通常选用多项式趋势面方程，这是因为任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼近，并可调整多项式的次数来满足趋势面分析的需要。 一般来说，多项式的次数越高则趋势值越接近于观测值，而剩余值越小。 因而在实际工作中，必须恰当地选择趋势面的次数，一般很少超过五次或六次。 用多项式函数计算出的一次趋势面为平面，二次趋势面为抛物面或椭圆面或双曲面，三次以上趋势面则为更复杂曲面。2、正规方程组的性质正规方程组的系数矩阵有如下性质：（1）矩阵元素的大小级次相差悬殊。 对于一个高次趋势的计算，可借助于类似九九乘法表的形式，得出正规方程组的系数矩阵。（2）当矩阵中元素在0，1区间上时，高次多项式作最小二乘拟合，系数矩阵接近于奇异矩阵。3、正交变换法求解正规方程 当趋势面拟合次数较高并且矩阵中元素在0，1区间上时，正规方程的系数矩阵接近于病态，为了避免对病态方程的矩阵求逆，提高解的精度，而采用正交变换法求解正规方程。三、趋势面分析的数学模型1、一次趋势面的数学模型 当某一地理要素的数值在空间上的分布，由一个方向向另一个方向递减或递增时，常用空间的倾斜平面来对要素值作趋势拟合，其数学模型为：2、二次趋势面的数学模型 当某一地理要素的数值在空间上的分布呈现抛物曲面时，一般用二次多项式来拟合。其数学模型为：3、三次趋势面的数学模型 当某一地理要素的数值在空间上的分布呈三次曲面时，一般用三次多项式来拟合。其数学模型为：4、四次趋势面的数学模型 当某一地理要素的数值在空间上的分布呈四次曲面时，一般用四次多项式来拟合。其数学模型为：z=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2+b6x3+b7x2y+b8xy2+b9y3+b10x4+b11x3y+b12xy3+b13x2y2+b14y4四、趋势面分析的拟合程度检验 趋势面的适度是一个关系到趋势面分析应用效果的问题，从统计学的角度来看，趋势面分析拟合程度的高低是回归效果好坏的问题。1、趋势面适度的F检验利用F的数值对趋势面方程进行显著性检验。 U/p F = Q/(n-p-1)若F的计算值大于F的临界值，则舍弃假设。2、趋势面适度的逐次检验 在多项式趋势面分析中，有时需要对相继两个阶次的适度进行比较，为此需求出较高次多项式方程的回归平方和和较低次多项式方程的回归平方和之差。 将此差除以回归平方和与自由度之差，得出由于多项式次数增高所产生的回归均方，然后将此均方除以较高次多项式的剩余均方。 若所得的F值是显著的，则较高次多项式对于回归作出了新贡献，若F值不显著，则较高次多项式对回归并无新贡献。 在实际应用中，往往用次数低的趋势面来逼近起伏变换比较小的数据； 用次数较高的趋势面去逼近起伏变换较复杂的数据。 但次数较高的趋势面只在观测点附近效果较好，在外推和内插的效果不好。第二节 趋势面分析的具体计算方法步骤1、原始数据列表 将原始数据按一定的等距间隔，并按照所划分的区域进行列表，如按每个小区的人口密度，有时还可列成数据矩阵形式。2、原始数据作图 等间隔选取纵坐标坐标网，将原始数据点入坐标。3、求解正规方程组 按多元线性回归分析方法求出趋势面的正规方程组，解出b0、b1、和bn，即得人口密度分布