数学类比推理的心理机制与教育启示.doc

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类比推理指的是从两个（或两类）对象的部分属性相似推断出新的属性的过程：如果对象A、B都具有性质a，b，c，且A还具有性质d，则推断B也具有属性d。类比推理是有别于演绎推理和归纳推理的一种独立的推理形式，但又与演绎推理、归纳推理紧密联系，共同构成数学思维的基本方式。一、数学类比推理的价值1.数学类比推理是数学思维的核心，是演绎推理和归纳推理的基础演绎推理过程中包含了许多与类比推理相同的结构映射过程1.在演绎推理的过程中，人们从目标问题（靶对象）的结构中发现自己熟悉问题（源对象）的某些结构，从而为演绎推理进行合理的导向.例如，在初中阶段，学生知道，在一个三角形中，只要两个角和一条边确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，但不知道在一般的三角形中，边和角之间的具体数量关系；对于直角三角形，学生知道具体明确的边角之间的数量关系.在高中阶段，学生在考察一般三角形的边角关系时，初中阶段学习过的直角三角形中的边角关系（锐角三角函数）就成为学习正弦定理的很好的源对象，从三角形的一般化导致的边角数量关系的一般化的类比推理为正弦定理的推导过程起到自然合理的启发和导向作用.同样，在归纳推理过程中，需要对具体样例的模型结构和属性进行一致表征和合理排序，需要进行样例结构和属性的一般化，这种一致性表征和一般化是建立在样例之间的结构和属性进行类比推理的基础上.例1（2008年上海卷理）已知以为首项的数列满足：（1）当=1，c=1，d=3时，求数列的通项公式；（2）当，c=1，d=3时，试用表示数列的前100项的和；（3） 略。解析：在（1）的归纳求解通项的过程中，在用=1，c=1，d=3代入计算后，需要比较各项之间的数值变化，从中发现周期性，从而求出数列的通项公式。在（2）中，首先用分别表示后面具体的若干项：；。在此基础上，需要通过比较发现周期性和各项的值的变化规律，如与；与；与，比较项的值和下标，并把这些项的值的变化用下标变化进行一致性表征，才能归纳得到结论：，从而进一步得到.2.类比推理是建立已知和未知联系的桥梁，是实现知识经验迁移的有效思维方式首先，类比推理是一种新问题的求解机制.在问题求解中，类比推理有两种作用。一是在领域知识不完备时，此时无法用演绎推理解决新问题，而使用类比推理就能将相似问题中的知识和求解方法引入新问题中以填补缺少的知识和方法，从而求解新问题。另一种是在熟悉领域求解新问题时，使用类比推理不仅能避免搜索大空间，而且能避免从基本原理开始进行冗长的推理运算，从而提供了求解捷径，提高了解决问题的效率.事实上，当人们遇到一个新的对象或问题时，总是希望从中找出自己熟悉的影子，努力运用已有的策略、方法、知识、经验来认识新对象，解决新问题.其次，类比推理是一种重要的知识获取机制。有了类比推理后，只需记忆已知情况的处理方法，通过类比推理就能学习已知情况的知识，生成关于新情况的知识.此外，在类比推理建立的对应的基础上容易生成处理同类情况的一般知识.再次，类比是开展高效率学习的重要学习策略。类比既是一种教材组织方法，又是一种教学方法。若教师在组织教材时使类似概念间的类比明显化，则不必引入复杂描述就能使学生理解新概念。在知识贫乏领域中，这种方法尤其重要。因为在这些领域中，由于涉及大量概念常常使得直接传授规则产生困难，而举例能帮助学生直观理解复杂概念和问题.这就是教师常用“浅显生动的例子代替冗长乏味的解释”的原因所在.如在人教A版普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）的“平面向量”一章中，强调向量的物理背景，其意图就是让学生在类比力、速度、加速度等物理量中发现既有大小、又有方向，既有数量特征又有几何特征的新的量向量.帮助学生理解抽象的向量概念的实际背景、数量特征和几何特征，建立广泛的知识联系. 二、数学类比推理的心理机制与影响要素 数学类比推理是怎样进行的呢？在进行类比推理的过程中有哪些影响合理的类比推理结果形成的主要因素？明确这个问题有助于我们在教学中针对学生的类比推理任务，在适当的时候用适当的方法进行有针对性地引导，帮助学生发展类比推理能力. 1类比推理的主要理论研究成果简介在类比推理的心理操作机制研究中主要有三种理论，它们分别是：结构映射理论(structure-mapping theory)，实用图式理论(progmatic schema theory)和示例理论(exemplar theory).（1）结构映射理论。 该理论主要由Gentner等人提出2。其主要观点是：类比是一个结构映射过程，源问题各因素之间的关系，即结构，被提取并被用于解决靶问题.结构映射是类比产生的前提.问题的内容在源问题的提取阶段起作用，但是在选择源问题和应用于靶问题的解决阶段，问题的结构起着主要作用. 源问题和靶问题之间的匹配或映射可以发生在多种水平上，如事物之间、属性之间、初级关系和复杂关系.但是，只有由复杂关系所构成的关系系统被选择和应用到靶问题的解决中去，这被称之为系统性原则.那些孤立的低级关系对问题的解决无关，因此在映射过程中则被“扔掉”。（2）实用图式理论。 该理论由Holyoak和他的同事们提出并发展的3.其主要观点是：认为实用图式在类比的选择和映射阶段起着重要的作用.实用图式指向问题因果关系的类比规则，即有助于解决问题目标完成的关系的抽象概括.对源问题因果关系和靶问题因果关系相似性的再认，引导着相关源问题的提取和选择以及靶问题解决中的策略导向. 该理论区别了基于图式基础上的问题解决和基于问题基础上的问题解决.基于图式基础上的问题解决是一个抽象原则应用到一个问题的解决中去；而基于问题基础上的问题解决是一个问题应用到同一水平的另一个问题解决中去，通常是具体问题对具体问题，抽象问题对抽象问题.实用图式理论认为虽然问题解决可以通过单个类比问题的推理完成，但是一个完整图式的发展和形成却是源问题成功地类比到靶问题的关键，它在源问题类比到靶问题中起到一个桥梁和纽带的作用. 该理论强调了图式归纳的存在及其在问题解决中的机制和作用.实用图式理论认为图式归纳并不是自动形成的，而是通过两个或多个类比问题的映射和比较，或者通过教师的指导才能形成一个图式.一个类比问题不足以形成一个图式，因为没有机会和其他类比问题建立映射关系。图式归纳是建立在对问题解决因果分析的基础上，与问题解决因果相关的因素则被编码成为图式，而非因果关系的因素则不能成为图式. 该理论认为提取相关的源问题可以通过表面特征的重叠，或者通过实用图式的匹配.在同一领域的类比中，表面特征对提取相关的源问题起着重要的作用；而在不同领域的类比中，由于源问题和靶问题很少或者几乎没有相似的表面特征，因而实用图式对提取相关的源问题中起到重要的作用. （3）示例理论。 该理论主要是由Ross提出并发展的4.其主要观点是：与抽象原则相比，先前学习过的例子，在类比中起着决定性的重要作用，并引导抽象原则解决靶问题.抽象的原则只有在例子中才能被理解和运用.非常低水平的信息，即以前学过的例子，被储存并被用于解决新问题. 虽然示例理论的个别研究者认为，在类比中并不存在图式归纳，但是大部分人认为，图式不可避免地要从具体事例中归纳推理出来.该理论将问题的内容分为两个部分：具体的事物或元素和总的语义领域两个方面.语义领域在源问题的激活和提取过程中起着重要作用，而具体元素在应用阶段起着重要的影响作用.总之，问题内容在类比的各个阶段起着非常重要的作用. 2数学类比推理的领域特殊性 数学是研究模型的空间结构、特征和数量关系的学科.因此，数学类比的源对象和靶对象具有模型结构和数量关系属性，数学类比的核心任务是：通过源对象和靶对象的模型结构、特征和关系比较发现靶对象的新的结构特征和关系.另一方面，在数学学习中，对客观事物有三种层次的认识：实物、模型和图形图式（抽象的模式），分别代表着对客观事物的直观、表象和抽象的认识，因此数学类比也对应地存在着从直观到抽象、从表面相似性到结构和属性相似性、从定性的拓扑性质到定量的度量性质的类比的发展过程.具体地说，数学类比推理具有以下的领域特殊性。（1）空间结构和数量关系属性.数学研究的对象往往是经过抽象以后形成的模型，研究的方向是模型的空间结构和数量关系，因此在数学类比推理起始于对靶对象和原对象的结构匹配注意.在数学学习中，既有源自于源对象的结构变化联想重组而产生新对象的属性猜想，也有开始于靶对象的注意而引发的对熟悉对象的搜索和提取.前者属于自上而下的加工而后者属于自下而上的加工.例如，在函数的奇偶性学习中，引导学生通过观察二次函数y=的图象发现其关于y轴对称的轴对称性，在此基础上引导学生寻找其他具有类似性质的函数图象（如绝对值函数y=的图象），再让用数量关系表征这一共同特征，归纳出偶函数的特征.这就是由源对象（y=的图象）出发进行自上而下（从已有对象到新对象函数y=的图象）的类比推理活动.在数学问题解决过程中的类比推理中则大量地运用“靶对象表征源对象（熟悉对象）搜索结构相似性再认规则方法的图式归纳建立对象结构映射获得靶对象结构属性关系新认知”的自下而上的加工方式进行.例2 (2008年浙江卷理)已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则t = ( )解析：在解决这个问题中，从问题表面上看，该题应该与二次函数和绝对值有关，如果关注到本题中的绝对值结构，以这个问题（靶对象）的绝对值结构为出发点，进行源对象搜索，则可能想到分类讨论或直线上两点（，0），（t，0）之间的距离，因为用距离刻画绝对值可以避免分类讨论，因此选择用距离来理解这一函数关系，针对靶对象的距离角度理解，确定采用换元方法，令z=，则，这就完成了靶对象表征的过程，进行一步搜索到与靶问题具有结构相似性的源问题：数轴上两点z和t的距离最大值为2，求t的值，到此建立了靶问题与源问题的结构映射，通过解决源问题得到t=1，这也是靶问题的答案.在解决了这个问题后，可以通过抽象的图式归纳，形成一类问题：“在上有最大（小）值m，求t”的解决策略：换元：；确定z的取值范围；根据绝对值的几何意义确定的值n；解方程=n求得t的值。当然，本题也可以从绝对值函数的图形特征出发，搜索到二次函数的最值的有关源问题，用数形结合和分类讨论方法解决问题.，这样会形成另一种图式归纳和结构映射. 数学类比推理是建立在模型结构相似性认知的基础上，数学模型结构的敏感性和丰富的基本模型的储备是进行流畅的类比推理的基石，而对模型结构的不同抽象层次的知觉导致不同水平的类比迁移.（2）数学类比推理的本质是建立靶对象空间与原对象空间的映射关系.尽管类比推理有结构映射理论、实用图式理论和示例理论，它们各强调某些侧面，如结构映射理论强调的靶对象和源对象之间的结构对应关系，认为这种对应关系是产生类比推理的前提；实用图式理论强调的是靶对象与源对象的因果关系比较规则的形成过程；示例理论强调的是样例在类比推理中的作用.如果从数学映射的角度分析这三种理论，可以发现，结构映射理论、实用图式理论和示例理论分别关注对象的对应关系、对应法则和具体对应对象，如果从数学的角度综合这三种理论，则就是分别从抽象（隐含）的对应关系，对应法则的具体化、明朗化和元素特征对应关系角度揭示了类比推理的心理过程.如果我们分别用X，Y表示源对象和靶对象组成的拓扑空间（个体头脑中个性化表征的对象集合），则类比推理过程就是建立靶对象空间和源对象空间的映射的过程：XY，x，y，xy，且保持x的结构和y的结构的某种对应关系：.如果我们把这种保持某种程度的结构属性和关系不变性的映射f叫做类比映射，那么数学中的同态同构映射、拓扑变换、射影变换、相似变换、运动变换等都是类比变换，他们都保持了变换下对象某些结构特征的不变性.利用各种数学变换下的不变性可以为基于靶对象属性研究的源对象搜索提供有效的启发.例如，函数是（-1，1）到R的一个一一映射，这个函数是连续且单调增加的，因此，实数域R的连续性、连通性、紧致性、有序性与（-1，1）相同，也就是说，在研究实数域R的这些拓扑性质和序性质时，我们可以通过研究（-1，1）得到相同的结论，通过拓扑变换下的不变性，我们很容易找到靶对象（实数R）的拓扑类比源对象（-1，1）.在高中数学中，我们通过建立单位圆上点（1，x）（极坐标表示形式）与实数R上的点（x，y）之间的对应关系：（1，x）（x，y），y=sinx，这样就建立了单位圆（一维空间）上的点集与R上的一条正弦曲线上的点集（一维空间）之间的对应关系，而且这一拓扑变换保持了这条正弦曲线上的点的纵坐标与横坐标数量对应关系与单位圆中的正弦线有向长度与有向角之间相同的数量对应关系，也保持了单位圆上点的连续性，从而实现了正弦函数从角度与数量之间的泛函关系转化成数值与数值之间的一般意义上的函数关系，如图1所示。yxxxO2图1（3）数学类比推理是建立在模型结构属性和关系的合理数学表征的基础上.由于数学类比推理是对数学对象的结构属性和关系的类比，这种类比是建立在结构属性和关系的相似性的基础上，要实现数学类比的远迁移，对靶对象和源对象的合理表征是不可或缺的.这种合理表征应体现数学的空间形状结构和数量关系这些数学领域的特征表征，经典的方法是用数、式、表格、图形图式等方法对靶对象和源对象进行具有某种相似一致的表征.例3图2解析：要求证的式子结构比较复杂，用常规方法推证似难奏效，观察三个根式的结构特征，有，运用数与形的类比，联想到三角形的余弦定理，可以看作以x,y为两边，夹角为60的三角形的第三边的长.同理可得另外两个式子.然后构造一个三棱锥S-ABC如图2所示，使ASB=BSC=CSA=60，则根据三角形两边之和大于第三边即可解决问题.在这个问题的解决过程中，从观察靶问题中的式子出发，把根号内的式子重新表征为余弦定理表达式是顺利搜索到三棱锥这个源对象结构的前提.再如，极限、连续、连通性、有限覆盖定理、中值定理等是微积分学研究的基础问题，这些问题的研究是建立在实数这一度量空间的基础上的，如果要在更广泛的基础上（如一般的拓扑空间）研究这些问题，则就要对极限、连续、连通性和有限覆盖等实数空间上的概念用集合运算方式进行重新表征，这就构成了拓扑空间上的极限、连续函数、连通性、紧致性等研究内容.3影响数学类比推理的主要因素数学类比推理是否能顺利进行，受到推理任务特征和个体本身因素的影响。（1）推理任务中，靶对象与源对象的相似性越直观，越有利于进行类比推理，这种相似性越抽象，越不利于类比推理的进行5；其次，靶对象和源对象的各种特征的排列顺序也对类比推理的进行有重要的影响，靶对象与源对象特征按照渐变方式一致排序有利于对象因果关系的发现，因而能促进类比推理的进行；第三，靶对象和源对象中的结构特征数量影响类比推理，对象中的特征项目数量越多，在观察和表征中所花费的注意资源和工作记忆空间越多，越不利于类比推理的进行；第四，有效的提示能缩小源对象的搜索空间，减少工作记忆的负担，从而提高类比推理的效果；第五，具有类比匹配关系靶对象和源对象的样例数量对形成抽象的策略和规则类比推理图式有重要的影响，大量的实验研究表明，除以下两种情况之外：只有个体在某个问题方面有足够的知识，个体才可能从单个例子推理出一个图式原则；只有提供四个或更多的例子，个体才可能自动地进行图式归纳，在其他情况下，图式归纳都需要进行有意识的策略加工6，同时，结构一致性（表面不同但结构相同）样例有利于数学知识的类比迁移，而结构变异性样例（表面和结构不同但所用的方法策略相同）有利于规则和策略的类比迁移.（2）个体本身因素.个体本身对类比推理的影响因素主要有以下几个方面。个体的工作记忆容量.在类比推理中，需要将靶对象和源对象放在工作记忆平台上进行信息加工，基于靶对象的源对象特征的搜索是一种系列加工，需要耗费工作记忆资源，因此，个体的工作记忆容量越大，加工速度越快，越能促进类比推理的进行.个体已有知识经验的组织结构.一般地，个体的工作记忆容量大约为7个项目，而合理的知识经验组织结构能产生折叠效果，减轻工作记忆的负担，比如，在记忆电话号，通常采用分段组织策略来降低工作记忆负担，数学知识经验的合理组织同样可以减轻工作记忆的负担，比如，可以采用分类组织、类比组织、情境线索组织等方法降低工作记忆负担，提高记忆效率. 在数学类比推理中，个体的各种基于数学概念、原理和策略的模型类别结构存储的典型性和丰富性直接影响个体的源对象搜索的线索启发，影响搜索空间的大小，从而最后影响类比推理.个体对数学模型结构属性和关系的敏感性.这种敏感性能帮助个体在观察对象的时候，迅速把握对象结构属性关系的特殊性，从这种特殊性中发现对象结构的数学本质，从而迅速获得搜索源对象的启发，缩小搜索空间，缩短搜索时间，同时，有利于迅速把握对象因果关系，生成类比的规则，促进类比推理. 三、数学类比推理对数学教育的启示1强化双向类比，聚焦发散交融数学类比的本质是建立靶对象空间和源对象空间之间的映射，而这种映射的建立，需要明确靶对象空间和源对象空间的元素结构、对应法则和对应样例.这种对应关系是双向的，也就是说，数学类比推理既可能是由靶对象指向源对象，也可能是由源对象指向靶对象.开展双向类比活动，可以让学生充分感知这种类比对应关系的可逆性，形成靶对象和源对象的同时知觉，提高类比推理的加工速度，提高类比推理的流畅性，从而发展学生的数学类比推理能力.在数学探究中，往往需要综合运用靶对象和源对象的结构比较并同时进行结构泛化，达到把握对象空间之间映射的数学本质属性的目的.比如，在初中阶段，在直角三角形中通过三角形边长的比值来定义锐角三角函数，可以说，初中阶段的三角函数是比出来的，高中阶段则是把三角函数当作研究周期函数的典型样例，随着高中阶段函数概念的集合对应观点的形成，函数是两个数集之间的对应，显然，初中阶段的“角”与“数值”之间的这种对应关系已经不能算作名副其实的函数，而是一种泛函，因此，需要把三角函数纳入到一般的函数概念体系中，就必须把三角函数改造成实数到实数之间的对应关系，这就要做两件事情：一是把角度推广到任意角后转化成实数形式以弧代角，引入弧度制；二是建立坐标平面上的函数关系画函数图象，并在此基础上研究三角函数的性质. 可以说，任意角的三角函数（高中阶段）的学习过程实际上就是以锐角三角函数概念（初中阶段）为源对象，以弧度制（数值化）下任意角为靶对象的类比推理过程，如图3所示。锐角任意角弧度制下的任意角锐角三角函数任意角三角函数弧度制下任意角三角函数泛函泛函函数源对象靶对象类比 图3在具体的类比推理过程中，既有从源对象指向靶对象的类比推理（如把锐角推广到任意角、把三角形函数的线段比例定义推广到单位圆上的三角函数定义等）又有从靶对象指向源对象的类比推理过程（如从单位圆上正切线发现正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等基本性质，以此为出发点比较正余弦函数性质和图象猜想正切函数图象，从余弦函数与正弦函数的数量关系出发利用正弦函数的平移生成余弦函数的图象等）.通过这些双向类比，使学生深刻理解三角函数概念的背景和数学本质，建立广泛的知识联系，积累包括类比推理的各种数学活动经验.在解决问题的过程中，往往需要首先从新问题中发现熟悉的结构，再进行相关熟悉结构的属性和关系的搜索和联想以及有关源问题解决方法和策略经验的联想，在此基础上发现靶问题的解决方法，并在靶问题解决后，通过概括形成与靶问题相联系的一类问题的解决方法和策略.这种解题策略形成有赖于靶对象和源对象之间的双向类比，如图4所示.靶对象源对象1源对象2靶对象一般化解题计划形成解题策略形成搜索靶对象空间源对象空间 图4 例4（2008年湖南卷理）数列 （1）求并求数列的通项公式； （2）设证明：当解析：在解决（1）的过程中，经过计算得到，比较这些项后发现如果把数列分成奇数项和偶数项，就可以发现它们的源对象分别是等差数列和等比数列，可以分别求出它们的通项，于是就得到，在解决（2）的过程中，在根据（1）求出，后，发现的表达式中分母成等比数列，而分子成等差数列，没有现成的求的公式.如果能根据分母的等比数列特征搜索到等比数列为源对象，则可以在两边同乘以，得到，-得：，于是可求得，下面的证明就简单了.在（1）的解题过程中，需要对与靶问题相关的两个源问题解决过程进行整合后得到靶问题的解，而（2）中需要根据靶问题的结构特征构造出源问题（等比数列前n项和的推导方法和公式）结构，这说明，在类比推理过程中，对靶问题和源问题同时进行双向临近操作是解决问题的重要策略. 在数学类比推理中无论从靶对象出发搜索源对象还是从源对象出发搜索靶对象，都需要经历系列加工和平行加工的过程，是聚焦搜索和发散泛化相融合的过程.图52强化结构观点，增强线索效应数学对象的结构相似性是产生类比推理的基础，没有结构相似性的感知，就不会产生类比推理.正因为如此，对数学对象的结构的充分感知可以帮助学生发现对象之间的结构相似性，启发对象搜索，提高搜索效率，从而提高类比推理的加工速度.例5 已知函数，证明：对于任意不小于3的自然数n都有f(n).解析：要解决这个问题，首先可以列出要证明的不等式(n3)，如果能从不等式两边的分式结构中得到启发，建立与直线的斜率概念之间的联系，则设A(2n，2n)，B(1，1)，C(n，n)，D(1，0)，这时左右两边依次为直线AB与CD的斜率.于是想到构造如图5的图形.由图形知，直线AB与CD相交于E且在第三象限，AB的倾斜角大于CD的倾斜角且均为锐角，于是有kABkCD，即命题得证.如果没有这种数学对象结构的敏感性，则不可能产生上面的“分式不等式和直线斜率”之间的类比推理. 在数学教学中，首先应该引导学生通过建立核心概念和核心原理相关的典型数学模型，并对这些模型进行多角度的充分感知，精细加工，形成对核心知识的深刻理解，在此基础上强化这些模型的变式运用，建立典型模型与相关知识及问题之间的广泛联系、模型之间的广泛联系，这是发展学生的数学模型结构感知和运用能力的有效途径，也是促进学生迅速高效地产生类比迁移的有效方法.3有向多元表征，丰富类比途径学生对数学对象结构的认识，离不开进行合理的数学表征.数学表征指的是数学对象在个体头脑中的表现形式.在类比推理的建立对象空间之间映射的过程中，真正被进行比较加工的是个体头脑中进行表征过的对象结构，而非外在的对象.另一方面，由于数学的高度抽象，随着学生学习进程的发展，对象之间的表面相似性越来越小，而深层次的结构相似性则需要用适当的方式表征后才能显现出来.越直观地表征出对象之间的结构相似性，越能促进类比推理的进行.同时，同一靶对象可能有不同领域中的多对象为源对象，采用基于一定目标的有向多元表征可以产生多种类比推理，从而产生不同的问题解决方法，这也是发展学生的思维灵活性的有效方法.如在例2中，如果把函数表达式表征为，找到对应的源对象：函数，发现靶问题中的函数图象是由源问题中的函数图象的x轴下方部分翻折到x轴上方后得到的图象，所以函数的最大值=，于是有或或，解得t的值可能为1，-3，2，-2，5，代入靶对象进行检验后，只有t=1符合题意.正是由于对靶对象进行了不同的表征，找到了不同的源对象，从而产生了不同的类比过程，产生了不同的解法.在数学教学中，引导学生对数学对象用数、式子、表格、图形等方法进行综合直观的表征，针对靶对象和源对象，用数形结合的方法直观地反映出对象匹配关系，是促进类比推理高效进行的有效途径.图6图74及时验证结论，促进合理类比由于类比推理中得到的结论具有或然性，类比结果的合理性需要进行及时的检验.在检验中不断修正推理结论，是保证类比沿着正确的方向进行的基本手段.在类比推理中，影响推理合理性的主要原因是：（1）对象模型结构的不完全感知和建构；（2）缺乏对象结构属性和关系的匹配一致的表征；（3）忽视对象结构变化的突变性.例如，在平面几何中，同垂直于第三条直线的两直线平行，在立体几何中，好多同学会根据这个源对象类比到面面关系，得到“同垂直与第三个平面的两个平面平行”这一靶对象，经过检验，类比得到的结论并不正确.而产生这一不合理类比的原因是只建构了如图6的模型结构而没有考虑如图7的模型结构，是由于对象模型结构的不完全感知造成的. 如果能用法向量表征平面之间的位置关系，则靶对象“同垂直于第三个平面的两个平面”就可以描述为“两个平面的法向量同垂直于第三个平面的法向量，则这两个平面的法向量互相平行”，则可能更加容易发现错误，因为，两个向量都垂直于第三个向量，这两个向量不一定平行（只有在三个向量共面时才成立），这样，就可以把靶对象修正为“如果两个平面都垂直于第三个平面，且这三个平面的法向量共面，则这两个平面平行”.例6（2007年安徽卷文）设是抛物线的焦点（1）过点作抛物线的切线，求切线方程；（2）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长，分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值 解析：在解决（1）的过程中，有的学生类比圆的切线定义，把抛物线的切线理解为与抛物线只有一个公共点的直线，于是有下面的解法：因为切线经过P（0，-4），设切线的方程为，于是这条直线与抛物线G的交点坐标满足方程组，于是有，所以所求的切线方程为或。这一解法中，以圆的切线概念类比抛物线的切线概念是错误的，因为，圆的切线定义是一般曲线的切线定义特殊情形，是在没有导数有关知识经验时在圆这一特殊曲线的切线进行的切线一般定义的特例等价描述，因此在学习了用导数描述切线后，应该引导学生用这种一般的曲线的切线定义重新理解圆的“公共点唯一”的切线定义：在圆这种特殊曲线中，这种定义与一般的切线定义是等价的，但在一般曲线中是不等价的.事实上，在上面的问题中，直线x=0经过P（0，-4）且与抛物线G只有一个交点，但它不是抛物线的切线.例6（1）的正确解法是：设切点由，知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为即因为点在切线上，所以， 所求切线方程为 在数学中，从一个对象到另一个对象，一个领域到另一个领域的变化有时是渐变的，这种变化不改变对象的结构属性，但也有突变的情况，尽管从表面上看似乎变化不大，但实际上本质结构发生了根本性的变化.这时，就需要对靶对象和源对象进行系统的在新背景下的表征.例如，有限个无穷小量的和是无穷小量，但无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量；从简单封闭图形的面积（如多边形、圆、椭圆等）概念扩展到平面上任意图形（点集）的“面积”需要用“测度”来进行统一的表征.因此，如果在检验类比推理得到的结论时发现对象结构发生突变，则需要寻找新的共同背景，在新的背景下用新的方法重新表征对象使之产生新的匹配，使类比更合理.5强化概括抽象，发展类比策略类比是一种思维方式，也是一种逻辑思想，这种思维方式的获得不是自动的，也不是只靠“告知”能获得.类比能力的发展需要个体经历“模仿实践概括再实践再概括”的过程逐步形成和发展.在完成具体的推理项目任务后，引导学生反思和总结类比的过程，明确类比中怎样感知对象结构，怎样搜索对象，怎样比较和分析对象结构之间的相似性，怎样建立对象空间之间的映射；引导学生从具体的对象之间的类比扩散到对象空间之间类比，从中形成对象空间之间类比的实用图式；在具有丰富的类比推理实践经验的基础上，从逻辑形式的角度总结类比推理的一般程序和规则，并在这种程序和规则的指导下进行有意识的类比推理实践活动. 参考文献：1 Halford G S.Analogical reasoning and conceptual comlexity in conitive development. Human development,1992（35）：193-2172 Gentner D. Structure-mapping: A the