已知{an}为正整数数列.doc

羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肂蚁薅膀肂莁螁肆肁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螈膃膇蕿薀聿膆蚂袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袂羂节莈蚅袈芁蒀袁螄芁蚃蚄膂芀莂薆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莅蒁螈羁莅薃薁袇莄莃螇袃莃蒅虿膁莂薈袅肇莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肂蚁薅膀肂莁螁肆肁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螈膃膇蕿薀聿膆蚂袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袂羂节莈蚅袈芁蒀袁螄芁蚃蚄膂芀莂薆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莅蒁螈羁莅薃薁袇莄莃螇袃莃蒅虿膁莂薈袅肇莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肂蚁薅膀肂莁螁肆肁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螈膃膇蕿薀聿膆蚂袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袂羂节莈蚅袈芁蒀袁螄芁蚃蚄膂芀莂薆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莅蒁螈羁莅薃薁袇莄莃螇袃莃蒅虿膁莂薈袅肇莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肂蚁薅膀肂莁螁肆肁蒃 B6-031 已知an为正整数数列an+3=an+2（an+1+2an）（nN）a6=2288求a1、a2、a3【题说】1988年四川省赛题2【解】由an+3=an+2（an+1+2an）（nN）得：a4=a3（a2+2a1）a5=a3（a2+2a1）（a3+2a2）因为a6=2288=241113，正整数（a2+2a1+2）比（a2+2a1）大2，所以a2+2a1=11从而得出a3=1或2a3=1时，a2不是正整数，所以a3=2从而 a1=5，a2=1，a3=2B6-032 已知a1=1，a2=2，试证：对一切nN，an0【题说】1988年全国联赛二试题1【证】由递推公式，an，an+1，an+2的奇偶性只有：奇，偶，奇；偶，奇，奇；奇，奇，偶三种情形a1=1，a2=2，a3=7均不是4的倍数，下面证明an中所有的项都不是4的倍数设am是4的倍数，m为最小下标，m3，则am-1，am-2均为奇数，am-3为偶数由am=am-1-am-2及am-1=5am-2-3am-3，得3am-3=4am-2-am故am-3是4的倍数，与所设矛盾由于0是4的倍数，故对一切nN，an0B6-033 设x0=0，x1=1，且xn+1=4xn-xn-1；y0=1，y1=2，且yn+1=4yn-yn-1（n=1，2，3，）求证：对一切整数n0，有【题说】第二十届（1988年）加拿大数学奥林匹克题4用数学归【证】当n=1时，（a）、（b）二式显然成立假设n=k时，（a）、（b）成立，则=3xn（4xn-xn-1）+ 2=3xnxn+1+2因此，对任何自然数n，（a）、（b）都成立B6-034 数列an定义为a1=a2=1，an+2=an+1+an求证：当n2时，a2n-1必是数列中某两项的平方和，a2n必是数列中某两项的平方差【题说】1990年南昌市赛二试题1此数列即为斐波拉契数列【证】数列的前4项为1，1，2，3，因此对一切自然数n2，B6-035 数列an由下列条件决定：a1=1；n1时，an+1=an+1/an求a100的整数部分a100【题说】1990年日本数学奥林匹克第一轮选拔赛题12【解】由题有因为an+1-an=1/an0，所以an递增当2时，ana2=2，于是=200+98/4225所以 14a10015故 a100=14B6-036 三元数组（xn，yn，zn），n=1，2，由下列关系式确定：x1=2，y1=4，z1=6/71证明：上述作三元组的过程可以无限继续下去2能否在某一步，得到的三元数组（xn，yn，zn）满足等式xn+yn+zn=0？【题说】第十六届（1990年）全俄数学奥林匹克十年级题4【证】1只须证明：在任何一步所得到的三个数中都不可能出现1或-1所以xn+11同理，yn+1，zn+1都不等于12由x1、y1、z10及递推关系知道，对于任意的nN，xn、yn、zn0，xnynzn0我们用归纳法来证明： xn+yn+zn=xnynzn （1）显然 x1y1z1=48/7=x1+y1+z1假设 xnynzn=xn+yn+zn令 xn=tan，yn=tan，zn=tan由假设 tan+tan+tan=tantantan所以 +=0或+=从而 tan2+tan2+tan2=tan2tan2tan2所以 xn+1yn+1zn+1=xn+1+yn+1+zn+1从而（1）式对一切自然数n成立由于xnynzn0，所以xn+yn+zn永远不为0B6-037 设a1=1，a2=3，对一切自然数n有an+2=（n+3）an+1-（n+2）an求所有被11整除的an的值【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题1【解】设bn+1=an+1-an（n1），则由条件有bn+1=（n+1）（an-an-1）=（n+1）bn（n2）bn=nbn-1=n（n-1）bn-2=n（n-1）3b2=n！（n2）所以 an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a2-a1）+1由此可算出：整除故本题答案为n=4，n=8以及n10B6-038 函数列fn（x）由下列条件递归定义：对于每个正整数n，求出方程fn（x）=2x的所有实数解【题说】第十九届（1990年）美国数学奥林匹克题2若x4，测f1（x）2x，fn+1（x）2x故对每一n，fn（x）=2x只有唯一解x=4B6-039 已知整数列a0，a1，a2，满足：（1）an+1=3an-3an-1+an-2，n=2，3，；（2）2a1=a0+a2-2；（3）对任意自然数m，在数列a0，a1，a2，中必有相继的m项ak，ak+1，ak+m-1都是完全平方数求证：a0，a1，a2，）的所有项都是完全平方数【题说】1992年中国数学奥林匹克题6【证】令dn=an-an-1，则由（1）dn+1-dn=dn-dn-1=d2-d1所以dn是等差数列，从而由（2），d2-d1=a2-2a1+a0=2，所以an=n2+bn +c，b、cZ若b为奇数2t+1，则在n充分大时，大于（n+t）2，小于（n+t+1）2（=（n+t）2+2n+2t+1），因而an不是平方数而由（3），an有任意大的平方数，矛盾！所以b为偶数2t，从而an=（n+ t）2+c-t2在c-t20时，对于充分大的n，an介于（n+ t）2与（n+t+1）2之间，与（3）矛盾同样c-t20也导出矛盾（考虑连续平方数（n+t-1）2与（n+t）2）所以c-t2=0，an=（n+ t）2【注】（3）可减弱为an中有任意大的平方数，即an中有无穷多个平方数B6-040 设正数列a0，a1，an，满足（2）a0=a1=1求an通项公式【题说】1993年全国联赛一试题5bn-1=2bn-1即bn+1=2（bn-1+1）从而bn+1=（b1+1）2n-1=2nan=（2n-1）2an-1=（2n-1）2（2n-1-1）2an-2= 莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂螁罿蒄薈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀肃节蚃薆肃莅蒆袄肂肄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇肇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿薅膅膇莂羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂蚈袅芁蒅蚄袅蒃芇羃袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂螁罿蒄薈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀肃节蚃薆肃莅蒆袄肂肄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇肇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿薅膅膇莂羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂蚈袅芁蒅蚄袅蒃芇羃袄膃薃袈袃