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3.3 导数与函数极值和最值教师专用真题精编1.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为.答案-3解析本题考查利用导数研究函数的极值和最值.f(x)=2x3-ax2+1,f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a0,则x0时, f (x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,又f(0)=1,f(x)在(0,+)上没有零点,a0.当0xa3时, f (x)a3时, f (x)0, f(x)为增函数,x0时, f(x)有极小值,为fa3=-a327+1.f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,fa3=0,a=3.f(x)=2x3-3x2+1,则f (x)=6x(x-1).令f (x)=0,得x=0或x=1.x-1(-1,0)0(0,1)1f (x)+-f(x)-4增1减0f(x)在-1,1上的最大值为1,最小值为-4.最大值与最小值的和为-3.2.(2018课标全国,21,12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1x0时, f(x)0时, f(x)0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.解析本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值.(1)当a=0时, f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x, f (x)=ln(1+x)-x1+x.设函数g(x)=f (x)=ln(1+x)-x1+x,则g(x)=x(1+x)2.当-1x0时,g(x)0时,g(x)0.故当x-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f (x)0,且仅当x=0时, f (x)=0.所以f(x)在(-1,+)单调递增.又f(0)=0,故当-1x0时, f(x)0时, f(x)0.(2)(i)若a0,由(1)知,当x0时, f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a0,设函数h(x)=f(x)2+x+ax2=ln(1+x)-2x2+x+ax2.由于当|x|0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h(x)=11+x-2(2+x+ax2)-2x(1+2ax)(2+x+ax2)2=x2(a2x2+4ax+6a+1)(x+1)(ax2+x+2)2.如果6a+10,则当0x-6a+14a,且|x|0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+10,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x10,故当x(x1,0),且|x|min1,1|a|时,h(x)0;当x(0,1)时,h(x)12,则当x1a,2时, f (x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值0.若
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