计算机数值计算实验报告1.doc

本科实验报告课程名称： 计算机数值方法 实验项目：方程求根（迭代法、二分法、牛顿法、割线法） 实验地点： 110 机房 专业班级： 物联1403 学号： 2014002091 学生姓名： 赵羽龙 指导教师： 2016年 5月 10日实验名称：方程求根实验时间：2016/5/10实验目的和要求：1了解方程求根的基本方法、基本原理、误差估计；2能够按照工程实际要求，选择适当的算法；3. 通过编写程序，进行算法设计和数值求解。实验内容和原理：实验内容：1. 熟悉使用二分法、迭代法、牛顿法、割线法等方程求根的基本方法、基本原理、误差估计的相关理论。2. 选择方程求解方法中的两种方法求方程：f(x)=x3+4x2-10=0在1,2内的一个实根，且要求满足精度|x*-xn|0.510-5实验原理：1. 二分法二分法的基本思路是通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根区间缩小，从而可得方程的近似根数列。f(x)在区间（x，y）上连续 先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f(a+b)/2, 现在假设f(a)0,ab 如果f(a+b)/2=0，该点就是零点， 如果f(a+b)/2a，从开始继续使用 中点函数值判断。 如果f(a+b)/20，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=b，从开始继续使用 中点函数值判断。 样就可以不断接近零点。 通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值2. 迭代法 迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。 对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。这里，主要看看解方程迭代式的构造。 对方程对方程(1.1)，在区间内，可改写成为： (2.1)取，用递推公式： (2.2)可得到序列： (2.3)当时，序列有极限，且在附近连续，则在式(2.2)两边极限，得， 即，为方程(2.1)的根。由于方式(1.1)和方程(2.1)等价，所以， 即， 式(2.2)称为迭代式，也称为迭代公式；可称为迭代函数。称求得的序列为迭代序列。3. 牛顿法设有非线性方程组F(x)=0其中：由偏导数作成的矩阵记为J(x)或称为F(x)的Jacobi矩阵为F(x)=0的解，且设，为的近似解，现利用多元函数 在点的泰勒公式有其中，在与x的所连的线段内。如果用泰勒公式中的线性函数近似代替，并将线性方程组的解作为的第k+1次近似解记为 将上述方程写成矩阵形式：如果为非奇异矩阵，则得到牛顿迭代公式：求解非线性方程组F(x)=0牛顿法或为用上式可知，每计算一步，需要：（1） 计算矩阵及；（2） 求解一个线性方程组：（3） 计算。4. 割线法牛顿迭代法的收敛速度快，但是每迭代一次，除需计算飞f(x)的值外，还要计算f(x)的值外。如果f(x)比较复杂，计算f(x)的工作量就可能很大。为了避免计算导数值，我们用差商来代替导数。设经过k次迭代后，与求xk-1。用f(x)在xk,两点的差商来代替牛顿迭代公式中的导数值f(xk主要仪器设备：笔记本电脑 处理器 intel Pentium(R) 4 G RAM 64位操作系统上机调试修改源程序：/二分法#include #include iomanip#includemath.h/* run this program using the console pauser or add your own getch, system(pause) or input loop */using namespace std;int main(int argc, char* argv) double a,b,x,f;int n;n = 1;a = 1.0;b = 2.0;cout left setw(15) n left setw(15) a left setw(15) b left setw(15) x left setw(15) f(x)= 0.000005) x = (a + b)/2;f = (x + 4)*x)*x - 10; cout left setw(15) n left setw(15) a left setw(15) b left setw(15) x left setw(15) f 0) b = x;elsea = x;n+;cout 共计算 n-1次endl近似值 x = xendl;return 0;/迭代法#include #include iomanip#includemath.h/* run this program using the console pauser or add your own getch, system(pause) or input loop */using namespace std;int main(int argc, char* argv) double x; int n; n = 0; x = 1.5; cout left setw(15) n left setw(15) x endl; while(n25) cout left setw(15) n left setw(15) x endl; x = 0.5*sqrt(10-x*x*x); n+;cout 共计算 n-1次endl近似值 x = xendl;return 0;/割线法#includestdio.h#includeiostream#includeiomanip#includemath.husing namespace std;int main () float x20;int n;x0 = 0.5; x1 = 0.2; n = 1;cout left setw(4)nleftsetw(15)xendl; cout left setw(4)0leftsetw(15)x00.0000005)cout left setw(4)nleftsetw(15)xnendl;xn+1 = xn - (xn*xn*xn-3*xn+1)/(xn*xn*xn-3*xn-xn-1*xn-1*xn-1+3*xn-1)*(xn - xn-1);n+;return 0;/牛顿法#includestdio.h#includeiostream#includeiomanip#includemath.husing namespace std;int main () float x20;int n;n = 0;x0 = 1.5; x1 = xn - (xn*xn*xn+4*xn*xn-10)/(3*xn*xn+8*xn); n+;cout left setw(4)nleftsetw(15)x0.000005)cout left set