2020版高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值精练文.docx

第二节函数的单调性与最值A组基础题组1.函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)”的是()A.f(x)=1xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)答案A由题意知f(x)在(0,+)上是减函数.A中, f(x)=1x满足要求;B中,f(x)=(x-1)2在0,1上是减函数,在(1,+)上是增函数;C中, f(x)=ex是增函数;D中, f(x)=ln(x+1)是增函数.2.函数f(x)=x+1,x0,x-1,x0,若f(2-x2)f(x),则实数x的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-,-2)(1,+)C.(-1,2)D.(-2,1)答案D因为当x=0时,两个表达式对应的函数值都为0,所以函数的图象是一条连续的曲线.因为当x0时,f(x)=x3为增函数,当x0时, f(x)=ln(x+1)也是增函数,所以函数f(x)是定义在R上的增函数.因此,不等式f(2-x2)f(x)等价于2-x2x,即x2+x-20,解得-2x0,x1x2,若f(a2-a)f(2a-2),则实数a的取值范围为()A.-1,2)B.0,2)C.0,1)D.-1,1)答案C由题意知函数在-2,2上单调递增,-2a2-a2,-22a-22,2a-2a2-a,-1a2,0a2,a2,0a0,0,x=0,-1,x1,0,x=1,-x2,x1,则f(x)的最小值是.答案26-6解析因为y=x2在(-,0)上单调递减,在0,+)上单调递增,所以当x1时,f(x)min=f(0)=0.当x1时,y=x+6x26,当且仅当x=6时,等号成立,此时f(x)min=26-6.又26-60,所以f(x)min=26-6.8.f(x)=(3a-1)x+4a,x1,-ax,x1是定义在R上的减函数,则a的取值范围是.答案18,13解析由题意知,3a-10,解得a0,所以a18,13.9.已知f(x)=xx-a(xa).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-,-2)上单调递增;(2)若a0且f(x)在(1,+)上单调递减,求a的取值范围.解析(1)证明:任取x1,x2(-,-2),且x10,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(-,-2)上单调递增.(2)任取x1,x2(1,+),且x10,x2-x10,所以要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0恒成立,所以a1.综上所述,00,试确定a的取值范围.解析(1)设g(x)=x+ax-2,当a(1,4),x2,+)时,则g(x)=1-ax2=x2-ax2,易知g(x)0.因此g(x)在2,+)上是增函数,所以f(x)在2,+)上是增函数,则f(x)min=f(2)=ln a2.(2)对任意x2,+),恒有f(x)0,即x+ax-21对x2,+)恒成立.所以a3x-x2.令h(x)=3x-x2,x2,+).由于h(x)=-x-322+94在2,+)上是减函数,所以h(x)max=h(2)=2.故a2时,恒有f(x)0.因此实数a的取值范围为(2,+).B组提升题组1.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=f(x)x在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)=12x2-x+32是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为() A.1,+)B.0,3C.0,1D.1,3答案D因为函数f(x)=12x2-x+32的图象的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间1,+)上是增函数,又当x1时,f(x)x=12x-1+32x,令g(x)=12x-1+32x(x1),则g(x)=12-32x2=x2-32x2,由g(x)0得1x3,即函数y=f(x)x=12x-1+32x在区间1,3上单调递减,故“缓增区间”I为1,3.2.设f(x)=(x-a)2,x0,x+1x+a,x0.若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为()A.-1,2B.-1,0C.1,2D.0,2答案D当x0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,a0.当x0时,f(x)=x+1x+a2+a,当且仅当x=1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值,只需2+af(0)=a2,即a2-a-20,解得-1a2,a的取值范围是0a2.故选D.3.设函数f(x)=-x2+4x,x4,log2x,x4.若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.1,4C.4,+)D.(-,14,+)答案D作出函数y=f(x)的图象,如图所示,由图象可知f(x)的单调递增区间为(-,2,(4,+),所以要使f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a+12或a4,即a1或a4,故选D.4.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+1,当x0时, f(x)-1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)4.解析(1)令x=y=0,得f(0)=-1,在R上任取x1,x2,且令x1x2,则x1-x20, f(x1-x2)-1.又f(x1)=f(x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1f(x2),所