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数值分析实验报告 实验课程: 数值计算方法 学生姓名: 何林浩 学号: 13103404 学院: 计算机 日期: 2016年6月11日数值计算方法选题:1:线性方程组的解法雅可比迭代法。雅可比迭代是一种求解线性方程组的迭代方法。它的基本思路是构造一个迭代序列X(k),使得这个序列随着k的增大,逐渐的逼近X*。2:数值积分。定积分是求和式的极限,它的几何意义就是曲边梯形的面积。通常我们采用复化左矩形公式,复化梯形公式,复化辛卜生公式计算得到。雅克比迭代法一:实验目的和方法: 熟悉雅克比迭代法解线性方程组的原理和计算,并使用matalab编程实现该方法。二:实验设备: PC,windows操作系统,matalab2012b三:实验原理和内容: 原理:雅可比迭代是一种求解线性方程组的迭代方法。它的基本思路是构造一个迭代序列X(k),使得这个序列随着k的增大,逐渐的逼近X*。 内容:用雅克比迭代法计算一下方程组,并比较解值与真实值。 方程组: 10x1 - x2 - 2x3 =7.2 -x1 + 10x2 - 2x3 =8.3 -x1 - x2 + 5x3 =4.2 算法步骤: 1:给定初值x1(0),x2(0),x3(0)一次为0,0,0。精度为e,迭代次数为10。 2:对于i=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,依此计算。四:matalab编写:X=0,0,0;A=10,-1,-2;-1,10,-2;-1,-1,5;b=7.2,8.3,4.2;X1=Ab;t=; n=10;for k=1:n for j=1:3 X(j)=(b(j)-A(j,1:j-1,j+1:3)*X(1:j-1,j+1:3)/A(j,j); end t=t,X;enddisp(方程组精确解)X1disp(方程组迭代10步解)Xdisp(方程组每次迭代解)t显示结果:方程组精确解X1 = 1.1000 1.2000 1.3000方程组迭代10步解X = 1.1000 1.2000 1.3000方程组每次迭代解ans = 0.7200 0.9020 1.1644 1.0431 1.1672 1.2821 1.0931 1.1957 1.2978 1.0991 1.1995 1.2997 1.0999 1.1999 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000 1.1000 1.2000 1.3000从上面结果可以看出从第一行到第五行逐渐接近精确解,第六行就已经到达精确解。五:实验总结: 雅可比迭代法适合解X(n)收敛的方程组,对于未知数过多的方程组手动计算明显计算量较大,费时费力,采用雅克比迭代法就是一个很好的选择。 但是雅可比迭代法也有其局限和限制,为了防止迭代过程中不收敛或者收敛速度过于缓慢,可以设置最大迭代数来控制计算量,如果需要用更快更短的步骤,可以采用高斯-赛德尔迭代法,其收敛速度更加快于雅可比迭代。 通过这次试验我对雅可比迭代的手动计算方法有了进一步理解,并初步了解了matalab的使用。数值积分一:实验目的和方法: 了解定积分的定义,求定积分的三种方法:复化左矩形公式,复化梯形公式,复化辛卜生公式,了解这三种方法的原理,计算步骤。使用matalab实现三种计算方法。二:实验设备: PC,windows操作系统,matalab2012b三:实验原理和内容: 定积分是求和式的极限,它的几何意义就是曲边梯形的面积。几何意义:从定义可知,定积分分析方法是四步:分割、近似、求和、取极限。分割:将整块曲边梯形面积分成若干份矩形、梯形等。近似:在每个分量中用容易计算的量去代表(每个小块的矩形或者梯形面积)。求和:将分量加起来得到近似值。取极限:得到积分精确值。通常采用以下三种方法:复化左矩形公式,复化梯形公式,复化辛卜生公式1:复化左矩形公式:几何意义:用以下矩形面积代替曲边梯形面积:2:复化梯形公式:几何意义:用以下梯形面积代替曲边梯形面积:3:复化辛卜生公式:几何意义:阴影部分面积为抛物线曲边梯形面积:内容: 分别用三种方法计算:计算积分:y=4/(1+x2);其中x的取值范围为0,1且每隔0.01取一个值四:matalab编写:h=0.01;x=0:h:1;y=4./(1+x.2);format longt=length(x); %数组长度z1=sum(y(1:(t-1)*h %矩形公式1z2=sum(y(2:t)*h %矩形公式2z3=trapz(x,y) %梯形公式z4=quad(4./(1+x.2),0,1) %辛普生公式显示结果:z1 = 3.151575986923129z2 = 3.131575986923129z3 = 3.141575986923128z4 = 3.141592682924567由计算结果我们可以看出: 复化辛卜生公式计算的精度最高,精确值达到了小数点后第七位,其次是梯形公式,精确到了小数点后第四位,最后是矩形公式,仅精确到了小数点后第一位。五 :实验总结: 三种公式中复化辛卜生公式计算的精度最高,是因为其插值节点取得更多,这样体现在几何意义上就是每个
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