概率大题必练20题(理科).docx

高考理科数学知识归纳概率一 离散型随机变量的期望(均值)和方差若离散型随机变量的分布列或概率分布如下： 1. 其中，则称为随机变量的均值或的数学期望，记为或数学期望 =性质 （为常数）2. 方差3随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为的标准差，即二超几何分布对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的分布如下表所示：其中网高考资源网一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称服从超几何分布，记为，并将记为三二项分布1次独立重复试验一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中。我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验。（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。（2）次独立重复试验中事件恰好发生次的概率。2二项分布若随机变量的分布列为，其中则称服从参数为的二项分布，记作。2015高考数学之概率论必押20题【融会贯通举一反三】【领跑精练001】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,6），求：（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。【领跑精练002】某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1） 求的分布列；（2） 求的数学期望。【领跑精练003】某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值；()求数学期望。【领跑精练004】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E.【领跑精练005】某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。【领跑精练006】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示 （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量 （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列 （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率【领跑精练007】某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下表：0123P0.10.32aa (1)求a的值和的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率【领跑精练008】一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分。（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【领跑精练009】质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率；（2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求的分布列及期望E。.w.w.k.s.5.u.c.o.m【领跑精练010】（本小题满分12分）在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为.已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下， （）求中国女排取胜的概率；（）设决赛中比赛总的局数为，求的分布列及.（两问均用分数作答）【领跑精练011】（本题满分12分）甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。()在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；（）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。；（）设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量的概率分布与期望。【领跑精练012】 （本小题满分12分）有一批数量很大的产品，其次品率是10%。（1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；（2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望。W【领跑精练013】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. （）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ （）若甲连续射击5次,用表示甲击中目标的次数，求的数学期望E.【领跑精练014】某批产品成箱包装，每箱5件一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率【领跑精练015】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , ()现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;()用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望E【领跑精练016】（2009石景山区理）袋中装有个黑球和个白球共个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数（）求恰好取球3次的概率；（）求随机变量的概率分布；（）求恰好甲取到白球的概率 【领跑精练017】某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，有只能从中选一门。该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同。（）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；（）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；（）设随机变量为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求的分布列与数学期望。【领跑精练018】射击运动员在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为， 该运动员如进行2轮比赛（）求该运动员得4分的概率为多少？（）若该运动员所得分数为，求的分布列及数学期望【领跑精练019】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。【领跑精练020】为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。2015领跑学堂高考数学之概率论必押20题【寒松原创三年精华荟萃】【2011内蒙古领跑精练001】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,6），求：（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。【2011内蒙古领跑精练002】某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（3） 求的分布列；（4） 求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1） 必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6，1346分布列为：（2）小时【2011内蒙古领跑精练003】【2010北京理数】(本小题共13分) 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值；()求数学期望。解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ，（II）由题意知 整理得 ，由，可得，.（III）由题意知 = = =【2011内蒙古领跑精练004】【2010四川理数】（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E.解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为6分（2）的可能值为0,1,2,3P(=k)=(k=0,1,2,3)所以中奖人数的分布列为0123PE=0+1+2+3=12分【2011内蒙古领跑精练005】【2010天津理数】（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 = =（）解：由题意可知，的所有可能取值为 =所以的分布列是【2011内蒙古领跑精练006】【2010广东理数】(本小题满分12分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示 （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量 （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列 （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率【2011内蒙古领跑精练007】【2009陕西理】某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下表：0123P0.10.32aa (1)求a的值和的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率解：(1)由概率分布的性质有0.10.32aa1，解得a0.2.的概率分布为0123P0.10.30.40.2E00.110.320.430.21.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”则由事件的独立性得P(A1)CP(2)P(0)20.40.10.08，P(A2)P(1)20.320.09.P(A)P(A1)P(A2)0.080.090.17.故该企业在这两个同月共被消费者投诉2次的概率为0.17.【2011内蒙古领跑精练008】四个纪念币、,投掷时正面向上的概率如下表所示.这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数. ()求的分布列及数学期望； ()在概率中,若的值最大,求的取值范围；答案： ()是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为. , , ,.4分 的分布列为的数学期望为.6分 (),.8分则,由,得,即的取值范围是.12分【2011内蒙古领跑精练008】一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分。（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。， （6分）（2）的可能取值为，则；分布列为P-4-2024 (10分) (12分)【2011内蒙古领跑精练009】质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率；（2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求的分布列及期望E。答案：（1）不能被4整除的有两种情影：4个数均为奇数，概率为2分（2）4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为4分故所求的概率为P6分（2）的分布列为01234P10分服从二项分布12分.w.w.k.s.5.u.c.o.m【2011内蒙古领跑精练010】（本小题满分12分）在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为.已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下， （）求中国女排取胜的概率；（）设决赛中比赛总的局数为，求的分布列及.（两问均用分数作答）【解】（）解：中国女排取胜的情况有两种： 中国女排连胜三局;中国女排在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢.2分 故中国女排取胜的概率为 4分 故所求概率为5分 （）比赛局数 则 8分 的分布列为:345P10分 .12分 【2011内蒙古领跑精练011】（本题满分12分）甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。()在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；（）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。；（）设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量的概率分布与期望。解: () 甲红甲黑乙红黑均可；甲黑乙黑甲红。2分（）。6分 () 设的分布是 。每求对一个1分共4分，表1分， E1分共6分0123PE= 。12分【2011内蒙古领跑精练012】 （本小题满分12分）有一批数量很大的产品，其次品率是10%。（1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；（2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望。解：（1）两件产品均为正品的概率为（3分）（2）可能取值为1，2，3，4；（9分）所以次数的分布列如下（10分） （12分）w【2011内蒙古领跑精练013】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. （）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ （）若甲连续射击5次,用表示甲击中目标的次数，求的数学期望E.【错误分析】：概率题常常有如下几种类型：等可能性事件的概率；互斥事件的概率；独立事件同时发生的概率；独立重复试验事件的概率.弄清每种类型事件的特点，区分使用概率求法，如本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，满足几何显著条件：每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.【答案】（1）(2) （3）【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ；(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则 ，由于各事件相互独立，故答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 （3）根据题意服从二项分布；E=5【易错点点睛】本小题主要考查概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力，读题、想题、审题的能力，求随机变量的概率在某种程度上就是正确求出相应事件的概率，因此必须弄清每个取值的含义，本概率题跟排列组合知识联系紧密，其实高中概率题【2011内蒙古领跑精练014】某批产品成箱包装，每箱5件一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率【错误分析】：概率问题常常与排列组合问题相结合【答案】【易错点点睛】本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。【2011内蒙古领跑精练015】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , ()现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;()用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望E【错误分析】：判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件【答案】() () 【解析】()记甲投篮1次投进为事件A1 ， 乙投篮1次投进为事件A2 ， 丙投篮1次投进为事件A3，3人都没有投进为事件A 则P(A1)= ，P(A2)= ，P(A3)= ， P(A) = P()=P()P()P() = 1P(A1) 1P (A2) 1P (A3)=(1)(1)(1)=3人都没有投进的概率为 ()解法一: 随机变量的可能值有0，1，2，3， B(3， )， P(=k)=C3k()k()3k (k=0，1，2，3) ， E=np = 3 = 解法二: 的概率分布为:0123PE=0+1+2+3= 【易错点点睛】已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及n次独立重复试验（二项分布），注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。【2011内蒙古领跑精练016】（2009石景山区理）袋中装有个黑球和个白球共个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数（）求恰好取球3次的概率；（）求随机变量的概率分布；（）求恰好甲取到白球的概率解：（）恰好取球3次的概率； 3分（）由题意知，的可能取值为、， ， ， ， 所以，取球次数的分布列为：1234510分（） 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球记“甲取到白球”的事件为A则因为事件“”、“”、“”两两互斥，所以 所以恰好甲取到白球的概率为 14分【2011内蒙古领跑精练017】某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，有只能从中选一门。该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同。（）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；（）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；（）设随机变量为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求的分布列与数学期望。解：（）3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1 = 3分（）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P2= 6分（）设某一选择修课这3个学生选择的人数为，则=0，1，2，3P (= 0 ) =P (= 1) =P (= 2 ) =P (= 3 ) = 10分0123P的分布列为： 期望E= 0+1+2+3= 13分【2011内蒙古领跑精练018】射击运动员在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为， 该运动员如进行2轮比赛（）求该运动员得4分的概率为多少？（）若该运动员所得分数为，求的分布列及数学期望解：（I）设运动员得4分的事件为A，则P(A)= -5分（）设运动员得i分的事件为，的可能取值为0, 1, 2, 3，4 -6分 P(=0)= P(=4)=, -8分P(= 1) = P(=3) =，-10分P(= 2) =， -11分01234P的分布列为：-12分数学期望 E=0 1 2 3 4=2. -13分【2011内蒙古领跑精练019】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、，现在3名工人