关于范数的理解或定义.doc

I、向量的范数 向量xR的范数f(x)是定义在R空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1 对于所有的x 0,xR有f(x)0; (非负性）2 对于所有的R有f(x）=f(x); （正齐性）3 对于所有的x,yR有f(x+y)f(x)+f(y). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x)的具体模式如下： = ，p 也称它为p-范数。下证p-范数满足上述的三个性质： 1、对于所有的xR，x 0，显然是大于0的，故性质1成立。 2、 由 = = = 知性质2成立。 3、欲验证性质3，我们的借助下列不等式： 设p1,q1,且 + = 1，则对所有的有 证： 考虑函数，因为，由=0 t=1,又因为，所以当t = 1的时候取最大值，则有： ， 令t = ,代入可得： , 化简之后即得： 证毕！ 又令，代入上不等式可得： ，两边同时对i求和，并利用 关系式 + = 1可知： 从而有： 另一方面，又有： 左右两边同时除以得： 。由此可知：p-范数对于性质 3也是成立。（把这个也弄懂了，好高兴！）下面是几种p-范数的特例： 1 = ; (此时p=1) 2 = ; (此时p=2) 3 = ; (此时p=) 对于这第三种的特例，事实上，设= = ，有 = = 即是当时， .二、 f(x)除了有p-范数模式以外，还有一种形式，叫椭圆范数，它的定义如下： 其中A是正定矩阵，当A=I时，就是一般的2-范数下证椭圆范数也满足范数定义的三个性质： 1、因为A是正定矩阵，所以对于显然0成立，即满足性质； 2、 ，故性质成立； 3、 欲证性质，先证柯西不等式，即： 证： 因为 该二次多项式是非负的，所以 ，即 证毕！ A是正定的，所以与I是合同的，即存在可逆矩阵P，s.t 令X=Px,Y=Py, 则上式等于 下证： 欲证 （左右两边平方后化简得） 即证 （两边平方） 所以要证 由柯西不等式可知，上不等式成立；即 成立又 同理 综上所述，有，所以椭圆范数也满足性质。三、 对于一个已知的范数，借助于一个非奇异矩阵，可诱导出一种新的范数。设是x的某种范数，P是非奇异矩阵，定义 下证范数满足范数的三条性质： 因为是x的某种范数，则满足范数的三条性质；且P是非奇异矩阵，则Px. 1、任意的x0,Px0,且Px，所以 0成立； 2、 ； 3、，因为Px,Py,则有 。有以上可知范数对于一般范数的三条性质都是成立的。四、 下证: R空间上的所有范数都是等价的。 引理一 R空间上的任意范数对所有的x,yR有 证： 已知 = 同理 于是有 引理二 R空间上的任意向量范数是一个连续函数。证明： 令N=，其中e（i=1,2,n)是R空间的单位坐标向量，对于 取 0，对所有的xS,有 在 R空间上任取向量x，x0，则规范化后的向量，所以有 利用范数的性质，上式可化为： 当x=0时显然也成立。由此可知R空间上的所有范数都是等价的。II、矩阵的范数 一、矩阵范数的定义设AR,是R空间的任一向量范数，则矩阵A的范数定义为 （1）设S=，对所有的xR,x0,则有，且 由是连续函数，它在有界闭球面S上达到它的最大值，即它的上确界，故有 （2）（1） 、（2）式定义的矩阵范数也称为矩阵的算子范数或极限范数。它是有某种向量范数诱导出来的，不同的向量范数诱导写出来的矩阵范数也不同，用记由向量范数诱导出来的矩阵范。矩阵范数具有如下性质： 1 当A0时，； （非负性） 2 ，其中是数； （正齐性） 3 对任意的A,BR,有； （三角不等式） 4 xR，有； （矩阵范数与向量范数的相容性） 5 对任意的A,BR,有。 （矩阵范数的相容性）定理二 设AR，则有 （1） （2） （3） （即对称矩阵的最大特征值的平方根）2、 谱半径相关 设AR，A的n个特征值一般为复数，则称 是矩阵A的谱半径，即谱半径为特征值的最大模。n个特征值 代表复平面上的n个点，以谱半径为半径，以原点为圆心的圆将这n个点围在此圆内，如右图： 定理五 设AR，为任意一种矩阵范数，则有 证明： 设是A的A一个特征值，x0是A的对应的特征向量，则 对两边同时取范数，并利用范数的性质得 由和上式可得 （因为是取的上确界） 再的任意性可知： 。 定理六 设AR，对任意的，存在A的一种范数，使得 证明： 对任意矩阵A，它不一定能相似于一个对角阵，但它一定能相似于一个分 块的对角阵J，J具有如下形式： J= 其中J(）称为Jordan块，而J称为矩阵A的Jordan型，这里Jordan 块J具有如下形式： J= 是一个上二对角矩阵，对角线上元素是A的特征值，次对角线元素均为1，且 J的对角戏元素由A的所有特征值组成。 对任意的，设D=是一对角阵，容易看出 是除了将J中的非对角线上的1用代替以外，形式和J一样。称 为A的型，并且有 由于J是A的Jordan型，所以存在非奇异矩阵P，有 A=PJP 记Q=PD,Q也是非奇异矩阵，且有 QAQ=DPAPD=DJD= (*) 此时定义如下范数： 于是有： 设y=Qx, 由(*)可得： 又因为 ；所以 。 证毕！ （这块似懂非懂的，因为对Jordan型矩阵的性质不是很了解） 由定理五和定理六可知：谱半径是A的所有范数的下确界，可表示为： 3、 向量范数所诱导出来