多维随机变量及其分布.doc

思考题：1、 设随机变量X与Y相互独立，且有相同的概率分布，记，其中为常数，求U与V相关系数。2、 假设发生在特定期间内的事件的个数是以为参数的泊松随机变量.如果每一事件相互独立地被归类，它被归入第类的概率为.试证发生第类事件的个数是以为参数的独立泊松随机变量，.3、 给出一个用蒲丰投针问题估计值的算法.令人惊奇的是，这曾一度是计算值的通用方法.4、 当时，解蒲丰投针问题.答案：其中满足.5、 设和是独立的连续型随机变量，试用和的密度函数表示的密度函数.对和都是指数随机变量的特殊情形，计算上述表示式.6、 用分析方法（归纳法）证明，当是独立同分布的几何随机变量时，具有负二项分布.并且给出不需要任何计算的另一种证法.7（a）是参数为的伽玛分布，求的分布是什么？（b）证明 是参数为的伽玛分布，是整数，是自由度为的卡方随机变量.8的独立的连续型随机变量，失效率为，（a） 对定义的求的分布函数（b） 证明的危险率函数为 9 是独立的指数随机变量，有共同的参数，计算的分布.10 电池的寿命是独立的指数随机变量，参数为.一个手电筒需要两节电池才能工作.如果一个人有一个手电筒，节电池，那么电池工作时间的分布是什么？11是独立的连续随机变量，有共同的分布函数和密度函数，记 （a）证明，不依赖于 提示：把作为5维的积分，然后改变变量（b）计算（c）给出（b）的直观的解释.12证明联合连续（离散）的随机变量是独立的充要条件是它们的联合概率密度函数可以写成其中 是非负函数.13在例5c中，我们计算了次试验中，有次成功的条件密度.如果对指定次成功的试验，条件密度会改变吗？14是独立的几何随机变量，有共同的参数（a） 不进行任何计算的前提下，考虑下式的值 提示：假如连续掷一硬币，出现正面的概率为，如果第二次正面在第次出现.求出现第一次正面出现时抛的次数的概率质量函数.（b） 证明在（a）中的推测15是独立的参数为，的二项随机变量，证明在的条件下，的条件分布是超几何分布.同样，不进行任何计算的情况下给出第二个讨论.提示：假定抛枚硬币.表示前次中正面出现的次数，表示接下来次中正面出现的次数.假定出现次正面，在前次出现正面的次数与在个白球，个黑球中抽取个球出现白球数的分布相同.16考虑一个试验可能出现3种结果中的一种，结果出现的概率为，假定进行次重复的试验，表示出现的次数.求在给定的条件下，的条件质量函数.17是独立同分布的连续随机变量，计算 18表示均匀分布上的随机变量，在下面给定的条件下，计算的条件分布. （a） （b）其中19.在特定的一天里，空气湿度是参数为的伽玛随机变量.密度函数.假定在给定条件下，在那天的事件数-称为，服从均值为的泊松分布.证明在给定的条件下是参数为 的伽玛分布.20是参数为的伽玛随机变量，假定在条件下，是参数为的独立指数随机变量.证明在给定条件下，是参数为的伽玛随机变量.21一个矩阵有个数，行列.如果一个数是行中的最小值，列中的最大值，那么这点被称为是鞍点.比如，如下排列 则第一行，第一列中的1就是鞍点.鞍点的存在性在游戏的理论中是非常重要的.考虑一个如前所示的矩阵，假设有两个人-A和B进行如下的游戏：A从中选择一个数，B从中选择一个数.这些选择同时进行，如果A选择了，B选择了，那么A胜B的次数由第行，第列决定.现在假定这个矩阵有鞍点-第行，第列的数-记为. 如果A选择了第行，那么可以保证他胜的次数最小为（因为是第行的最小值），另一方面，如果B选择了第列，那么他赢的次数不会超过（是第列的最大值）.因此A有了一种方法，可以保证他有至少赢次，B也有了一种方法保证他最多输次，因此这两个战略是最佳的，A玩游戏的次数为，理由是充分的的. 如果个数所组成的矩阵是从任意一个连续型分布里独立的取值，那么结果中包含一个鞍点的概率是多少？22称随机变量有二维正态分布，如果它们的联合密度函数为 （a）试证明已知条件下，的条件密度函数是以 和 为参数的正态密度函数.（b）试证都是随机变量，其参数分别为 （c）证明当时，独立.23设为分布函数.证明当为正整数时， （a），（b）也是分布函数提示：令为独立的随机变量，有相同的分布函数，用定义随机变量，使得 24设个人随机地分布在一条长为英里的路上，证明当时，没有两个人彼此相距小于英里的概率等于，如果呢？25通过微分（6.4）来证明（6.2）式.26设一个容量的样本取自上的均匀分布，证明其中位数有以为参数的贝塔分布.27证明（6.6）式给出了的联合密度.28从密度函数为的连续型随机变量中取出容量等于的样本，计算此样本的极差的密度.29.是均匀分布上个独立的次序值，证明对，有 其中30是一组独立同分布的连续随机变量，分布函数为，令表示次序值.如果与独立，且有相同的分布函数，计算（a） ； （b）；（c）31是是一组独立同分布的连续随机变量，分布函数为,密度函数为.定义为最大值与最小值的均值，称为中位数.证明其分布函数为32是均匀分布上一组独立的随机变量.令表示极差，表示中位数.计算的联合密度函数.33如果和是独立的标准正态随机变量.计算的联合密度函数.然后运用你的结果说明服从柯西分布.自我检测题1 掷一枚不均匀的骰子，出现奇数1，3，5的概率为，出现偶数2，4，6的概率为2，（a） 求（b） 投这只骰子，如果结果是偶数，记等于1，否则，等于0；如果投得的数字大与3，记等于1，否则为0.求和的联合质量函数.现在假定独立地抛掷12次.（c） 求骰子的每一面恰好出现2次的概率.（d） 求其中4次为1或者2；另外两个4次分别为3，4；5，6的概率.（e） 求投掷中至少有8次出现偶数的概率.2 随机变量的联合概率质量函数为求 （a） （b）3和的联合密度函数为 （a） 求（b） 求的密度函数（c） 求的密度函数（d） 求（e） 求4假设是独立随机变量，每个随机变量等可能为1，或者2.求下面的概率质量函数. （a） （b） （c）5和是连续随机变量联合密度函数为 其中是常数.（a） 求的值.（b） 与独立吗？（c） 求6和的联合密度函数为 （a）与独立吗？（b）求的密度函数（c）求的密度函数（d）求联合分布函数（e）求（f）求7考虑2种组合和3种股票.股票1可以引起组合1的下跌，股票2可以引起组合2的下跌，股票3可以引起两种组合同时下跌.在股票上市之前时，股票1，2，3是独立的指数随机变量，参数分别为.令表示组合下跌的次数，=1，2. 随机变量有联合的二元指数分布. 求.8一个分类广告的登记薄有页组成，其中很大.假设每页的广告数都在变化，想知道每一页有多少广告的唯一的方法就是去数它们.另外，假定页数非常多，也没有办法数清楚总数，你的目的就是用一种方法，保证广告登记薄中的每一个广告都被被等可能地选择. （a）如果你在其中随机地选择一页，然后选择一个广告，能够实现你的目的吗？为什么？ 令表示第页的广告数，假定数量是未知的，我们假定这些数都小于等于某个固定的值.考虑选择一个广告的算法.步骤1：随机地选择一页，假设是第页. 数第页来确定.步骤2：以概率来接受第页，如果接受了第页，则进行第三步，否则，返回步骤1.步骤3：在第页随机地选择一个广告 这种算法每通过一次步骤1称为一次迭代. 例如，随机选择一页如果第一次被拒绝，第二次被接受，用这种算法获得一个广告需要两次迭代.（b）在单次迭代的情况下，接受第页的一个广告的概率有多大？（c）在单次迭代的情况下，接受一个广告的概率有多大？（d）在次迭代的情况下，在最后一步接受第页上第个广告的概率有多大？（e）用上面的算法，获得第页上第个广告的概率有多大？（f）上述算法中，迭代次数的期望值是多少？9自测题8中算法的“随机”部分，根据独立上的随机变量序列产生一列值作为随机数. 表示小于等于的最大整数，步骤1如下： 步骤1 产生一个服从的随机变量. 令，确定的值. (a) 解释为什么上面的步骤等价于自测题8中的步骤1. 提示：的概率质量函数是什么？ (b) 以相同的风格写出上述算法的其他步骤. 10.令是服从的一列随机变量. 对固定的常数，定义随机变量为那么与独立吗？也就是说，当这个随机变量出现时，第一个随机变量的值大于对概率分布函数有影响吗？对你的结果给出直观的解释.11下面掷镖的圆靶是正方形，边长为6. 其中里面有3个以靶的中心为圆心圆，半径分别为1，2，3. 投在半径为1的投掷区域里得30分，投在半径为1的区域之外，半径为2的区域之内得20分，在半径为2的区域之外，半径为3的区域之内，得10分. 投在半径为3的区域之外不得分. 假设每次投掷与上次是独立的，投掷的点在正方形里均匀分布，求下列结果（a） 一次投掷得20分的概率（b） 一次投掷至少得20分的概率（c） 一次投掷得0分的概率（d） 一次投掷得分的数学期望（e） 连续两次投掷都至少得10分的概率（f） 两次投掷后得30分的概率12对NBA篮球赛提出的一个模型：假设当两队得分相同的情况下，在四分之一场主场队所得分数减去客场队所得的分数近似为均值为1.5，方差为6的正态随即变量. 另外，此模型假定这四个四分之一比赛中所得的分数差是独立的.在这个模型的假定下,求（a） 主场队获胜的概率是多少？（b） 在给定主场对在前半场落后5分的条件下，主场队获胜的条件概率是多少？（c） 在给定主场对在第一个四分之一场末领先5分的条件下，主场队获胜的条件概率是多少？13令为参数为的几何随机变量. 假定在给定的条件下, 的条件分布是参数为的枷玛随机变量.求在给定的条件下, 的概率质量函数.14和是上独立的均匀随机变量.（a） 求的联合密度（b） 使用（a）得到的结果计算的密度函数15你和其他3个人对一项工程投标，有很高的投标利润. 如果你赢了，你计划立即以1万美圆出售. 如果你相信其他人的投标价是独立的，且服从（7，11）上的均匀分布，那么你得到的最大期望利润是多少？16是的一个排列，当独立时，计算（a） 每一个等可能地是中任一个（b） 每一个有概率质量函数17. 与是独立的随机向量，每个向量中随机的有个1，个0. 也就是，它们的联合质量函数为 令表示两个向量有不同的值的个数. 令表示满足的的个数.(a) 解释与(b) 的分布是什么？(c) 求(d) 求 *18. 令是独立的标准正态随机变量，令 （a）在给定条件下, 的条件分布（b）证明对，在给定条件下, 的条件分布是正态的，