一直想写一篇ProofWithouts的整理.doc

一直想写一篇Proof Without Words的整理，今儿恰好看到数吧大牛御坂01034的类似帖子也算满足了本渣的一个心愿。这里全文搬运自数吧。全文的证明摘抄自各处。来自Mathoverflow的各路神牛，Nelson的“Proof Without Words”，Matrix67的博客，Aops等等。整理出来这样一个怪胎。希望大家喜欢。五一“小长假”又到了尾声，我却没有任何假期的感觉。正好是期中考试的当头，期中各门考试即将来袭。书桌前复习数学的我，面对着一个个抽象的符号，眼皮不禁一点点沉重“汝有何愿望！回答我！”突然一个威严的声音把我“喊醒”，难道我穿越了？看来睡眠穿也不在少数呀。呃，怎么这时候我还在纠结这种问题？我突然困意全消：不要啊！虽然我穿越小说看得很多，我却不想真正自己实施啊，我上有父母，家有娇呃，家里还没有。在异界多么危险啊，我可没yy小说里男猪脚踢北海，拳打南山的实力，况且我还有新番还没追呢。于是我也俗套地学着yy猪脚喊道：“我只想回去！”“如你所愿！”那个声音说道。我不禁奇怪了：这种时候不应该是神灵说什么由于他打了个喷嚏或掉了根头发，害得我已经回不去了，怎么这么大方呢？他手指一勾，一个漩涡又把我卷走了。咦，为什么我要说“又”？没等我考虑，我陷入一阵意识模糊之中。“欢迎来到数学位面！我是位面之神 福尔帝斯力Forty three”一个戴着圆眼镜的老者,衔着香烟，正在向我挥手。等我定下心来一看，他却是老泪纵横：“多少年了，都没有人选择到这个位面来，今天总算来了一个爱好数学的人”我心中凉了半截，前面那个不靠谱的神似乎弄错地方了？没等我回过神，这位老者说道：“穿越大神一般只对那些看够一亿字yy小说的人感兴趣，没想到骚年你居然是个奇才，能看了那么多yy小说都不改变自己对数学的爱好。你最喜欢的是哪个方向啊？范畴论？偏微分方程？数”原来这就是没有数学家穿越过来的原因啊，他们哪有空看yy小说？听说把妹的时间都要挤出来呢。哎呀扯远了，看到老者还在说什么ergodic，我打断了他。“打住！打住！”我叫道，他的眼中充满了希望，多年寂寞似乎要再这点时间倾泻而出。面对这样一位老者，作为有中华民族传统美德尊老爱幼的我不好意思说自己不懂，但又不想打碎一个老者的希望，更重要的是，万一我惹恼了他，彻底回不去了怎么办？我只好装的很懂的样子，说道：“那些数学符号太复杂了，我希望的是浅显点，但一眼就能让人看懂，但又精妙的数学？不要是一堆符号的堆砌。”他陷入了思索之中。俗话说：“顾客是上帝”，尽管店主也是上帝，但这样看来顾客称号的上帝性要强于有店主性质的上帝？正在我胡思乱想时候，他说道：“你是这么多年来第一个提这种要求的人。呃，当然这么多年也只有你这么一个人。算了，你可以去看看我的艺术品，来看看是不是符合你的标准。”他吃掉了香烟，拽住了我的手。一阵强光闪过，我身边的景色变了，旁边的路牌上写着“初等数学镇组合村”。“你对高斯算1+2+n故事熟悉吗？”他问到。我点头称是。说着，他把我带到了一张壁画之前：只见壁画下方写着：望画上一看:我看了看，感觉实为不容易。这样的证明是我以前想都没想过的。但是这个证明却比较不是难以想出。我转向了旁边的墙壁，上面画着一些图片，与前面的大同小异：“这个是我初中都晓得的”，我有点不屑，又转向了下一个区域：从而证明了：看着看着，我有点困了。这里的东西实在让我提不起神来，无非就是将n化作方块，然后利用一些trick进行求和罢了。我催促他带我去看看其他地方。但他却把我拉到了其他一些方块的面前：同样能证明这个等式：见到我有点呆滞近乎无聊的目光，他眼里的神色却越发闪动：“看来你也对数学的美比较挑剔，对这些拙作就不入法眼了。”于是他又拿出了这样一幅图：这个精妙的证明才让我突然提起神来。“这种方法的好处还不止于此呢。”他说道，花白的胡子仿佛也透着神圣的光芒，“面积的证明是特别奇妙的，斐波那数列，一个神奇的数列，就与面积有关”这个说法有点新鲜，至少缓冲了我前面有些许无聊的心情。我又看看他说了啥：怕我不明白，他又画了一幅图：一个神奇的数列，得出了一个神奇的结果：不仅如此，几何级数也能由这种方法证明呢！他说道，不是那种特意构造的，比如证明：或者，证明：或者，证明：我们用的是：仿佛打了大胜仗一般，不过利用这么普通的东西就证明了要用符号表达半天才能说明的东西，的确挺令人敬佩。他还拿出来这样：n*rn的和是多少也尽在这个图上了。“这叫加百列楼梯（Gabriel Staircase）”他介绍道。“大天使加百列所做，我也是从其他位面的神灵那里得到的。这代表了加百列成神的过程，她从无限远无限小的梯子出发，直到最左边的高峰。原来只有上帝能够数尽的无限她也完成了，所以她才从智天使变为了大天使。”“加百列？”我震惊了，“难道现实中的神话都是真的。不过连我都能够穿越到这样一个地方，现实中的神话是真的的概率也当然会很大了。”“不，我要纠正你一下，这只是一个上鞅。”老者怀着严肃的表情对我说道。他又叽叽咕咕不知道说了些什么，隐约听见“随机过程”，“上鞅分解”什么听不懂的名词。我为了我的清静，还是打断了他。他回过神来，想了想，说道，“接下来你可以看看你们勾股定理是怎么被证明的。”“勾股定理，那有何难？”我说道，“我们那边随便一个初中生都能证明。”老者似乎有点惊奇，他说道：“那你证明给我看看”。“勾股定理，那有何难？”我说道，“我们那边随便一个初中生都能证明。”老者似乎有点惊奇，他说道：“那你证明给我看看”我写下：还有另外一个方法：这位老者看到，赞叹道：“你们的位面果然是神通广大啊，骨龄只有十几个地球年的人类，却能掌握这样精妙的方法，我也想哪天来那边看看。不过先看看我想的其他方法吧”或者我问他：“既然你这么神通广大，可以到处去看看呀，与其他学数学的人类交流。为啥要窝在这个小位面里，等待着不存在的穿越者来临？”他叹了口气：“我也不是不想，我怕我闹笑话呀。上次计算机之神到了人间，且不说他每句话前都要跟个sudo，他本来想体验一下医生的生活，上次一个妹纸找他，说我要整形变靓，他却给人家写个int a，这样的事情还很多呢。”原来说白了，这位老兄就是为了不被他的同仁笑话，才不敢出去走走，搞的他的位面冷冷清清。似乎有点冷场，他也不太好意思再说自己的丑事，拙劣地转移了话题：“这边是勾股定理的推广内容：余弦定理了。”这是我精挑细选的几个证明：以及：还有：“这黄色面积相等的两种方法，也说明了这个定理的存在。可以说，这样的定理简直是浑然天成啊！”“初等的等式其实也差不多了，还有一些比较容易的几何定理，我都写在这块板上了”他指向一块板，上面画着一些图，老远的，有点看不清。首先映入眼帘的，还是这样一幅图：老者夸夸其谈到：“这是我从另外一个神的宫殿的设计中得到的灵感，这样证明了一个正12边形的面积正好就是三个小正方形的面积。”还有这样的定理：你们那边叫做Varignon定理的，我这里也有：外接四边形是内接四边形的四倍，这张图就很好的阐述了这点。“你们的托勒密定理也是我的囊中之物”“简单不？”“关于面积，还有更深刻的解释呢！”他对面积似乎很有研究。我不禁想到了某段时间特别火的一张图：画给他看了以后，他笑道：“不就是两个函数可以靠的很近，但是它们导数的差却可以很大么，图样图森破。”我想让他做下进一步的解释，他却说道：“你前面的东西都明白，怎么会在这里不懂？好好去看下曲线长度的定义吧。”1他回到了面积所引发的等式上：“被你刚刚一打岔，差点都忘了我要说什么了，我说，这些面积也能用来证明积分。”“证明积分？似乎有点循环论证的味道。”我说道。他似乎有点心虚，声音提大了一点：“只不过给你一个更加方便理解的途径而已，哪来循环论证？”走着走着，就到了旁边一个村落，旁边路标上面写着：“高等数学界碑。”进一步解释请看1。第一个引入眼帘的，就是这样一个图案:下面署名：“不会就这么点东西吧”我有点不满意，他又指向了另一块牌子：“这个不就是虽然有点trivial，但也是我苦思冥想才得到的。”老头似乎有点得意洋洋。“拉倒吧”我就是有点看不惯他这个样子“怎么感觉就是把一个函数图象，用它的上界减掉它，来得到等式糊弄下大家呢？”他似乎有点冷汗冒出，但还是强撑道：“怎么可能！这是我千辛万苦才得到的结果，我还和此刻在火星的神讨论过呢！”“此刻在火星的神？那是谁？”我问道。“现在我也不晓得了，也许此刻在木星或此刻在太阳了呢。”老头耸耸肩，继续走向下一个公告栏，“这些你应该不会失望了。”他说道。“函数图象级数方面的应用效果是显著的”他突然有这样一句评价。“何以见得？”“你可以通过以下的例子看出，就像这个”他又指向了另一块板：“弗兰肯斯坦博士是我敬重的一位科学巨匠”老者评论道。“好像应该不叫弗兰肯斯坦吧。”我嘀咕道。“不要在意这些细节！”他听力很好。“你能用这种方法构造出巴塞尔问题（也就是1+1/22+.+1/n2+.）的解吗？”我问道。他似乎有点汗颜，只能支支吾吾说暂时没有，但总归会有的云云。看到我失望的表情，他有些不服气，说道：“你肯定不知道函数图象还有这种用途吧？”这下我才暂时同意了他对函数图象的看法。“这里是我得意的证明之一，所以我把它放在了这个村落里。”老者指着一个图象说道“是否能够在一个正方形网格中找到六个点，形成一个正六边形？”下面附了一张图。“只需要知道正方形网格关于任意点能够在90度旋转下不变，这个定理就是显然的了”老头仿佛炫耀自己玩具的孩子一般说道。我也感到十分美妙，所以赶快回复他一个十五字的好评。“走过等式的殿堂，接下来就是不等式了”老者带着我，又走向另外一个方向。“做不等式的人才是真正厉害的人，这可比等式难研究多了。似乎是哪位哲人说的？”“你见过其他哲人吗？”我问道。“呃，貌似没有。Whatever，不打岔了，我们先去看看。”他仿佛为了掩饰尴尬，健步如飞状。这也就是说：“更奇妙的还在这里呢，在圆上就能够证明均值不等式”：当然只能是二阶的。HM=2ab/(a+b),GM=sqrt(ab),AM=(a+b)/2,RMS=sqrt(a2+b2)/2)显然就有HM=GM=AM=RMS还有二维上的柯西不等式：这些神奇的不等式只需要摆弄下面积就能做成。“更奇妙的就在于射影几何了。”他说道。“射影几何的产生就是你们世界的笛沙格通过观察到三维与二维的美妙联系才创建的。一个久负盛名的定理就是笛沙格定理”“若三角形 ABC 和 ABC 中， AA 、 BB 、 CC 所在直线交于一点，则两个三角形中每一组对应边的交点（即 BC 和 BC 的交点 D 、 AC 和 AC 的交点 E 、 AB 和 AB 的交点 F ）是共线的。”“这个定理根本就不需要证明！把 P-ABC 看成一个三棱锥，而 ABC 则是一个不平行于底面的截面。由于 AB 、 AB 在同一平面内，因此这两条线会相交；这个交点既在平面 ABC 上，也在平面 ABC 上，因而也就在两平面的交线上。同理，另外两个交点也都在平面 ABC 和 ABC 的交线上，因此三个交点共线。”“同样地，平面上三圆两两相交，也会有这样的结论。”“三条弦为何共点？只需要再三维中，看到”“这三个球面存在一个公共点，投影到平面上，不就是原来的公共点了吗？”我连声附和他的观点。他越说越起劲了：“在这样一个空间中,三个圆的两两公切线的交点也是共线的。这个用前面的方法也很容易证明。”“三个圆分别看成三个球，分别切于这个平面A上。同时也有一个平面B，同时过三个球的赤道，如下：每两个球构成一个圆锥。每个圆锥的顶点，由于顶点与球心的连线在平面B上，而且存在切线在平面A上，所以三个顶点在A与B的交上，显然在同一条线上。久负盛名的“蝴蝶定理”，也可以这么得到：不过这里空白太小，我写不下，只好请读者老爷们移步超链接了2噢对了，有个奇妙的东西忘记说了。（其实是笔者忘记了）他说道。这样的三维证明是否很巧妙呢？“射影几何真是奇妙啊，真是数学中美与优雅的一面”我夸赞道。他听到我的赞赏，说道，其实还有另外一些美的东西，比如，你是否能够将去掉对角两个小单位正方形的偶数边长正方形用1*2的长方形覆盖？“这又有何难，侮辱智商吗？不就是初中题。”我心里暗想，还是很牛逼状写了那个classical的做法：“那你是否能够将去掉一黑一白两个格子的8*8正方形进行覆盖？”他微微一笑，问道。“呃，这个。”我默不作声了。他给出了这样的解释：“去掉A，B，覆盖不就唯一了么。”他再次提问，是否能将去掉一个格子的8*8正方形利用3*1长方形覆盖呢？见到我还是默不作声，他就画出了这样一张图。“实数轴又是怎么和一根线对应起来的呢？”天色已黑，看到我也有点困倦了，老者于是发问一些简单的问题。“额，我只知道用y=tanx来进行一个映射”我老老实实回答。“不错，就是如此。”老者说道。这里就是我的答案：球面与平面的对应：还有一维对二维