常量与变量的相互转化.doc

漳浦一中 杨跃民 363200 转化常量与变量的角色 第 6 页 共 6 页转化常量与变量的角色漳浦一中 杨跃民 363200我们知道,常量即固定不变的已知量,变量即变化着的未知量.但变量与常量的地位是相对的,灵活、正确处理变量与常量角色的相对关系对问题的解决有着天壤之别，极具神奇的艺术魅力.在数学问题的解决中，常常会碰到常量与变量关系处理的现象.改变审视的角度,灵活变换它们的角色，有时将常量看成变量,而将变量当作常量,将能起到出奇制胜的作用.正确处理常量与变量的角色转化是一种重要的数学思想方法和解题策略，是一门具有高层品味的科学艺术，在数学问题的解决中占有重要的地位，教学中我们绝不可低估它的作用.它是一种有动态、带逆向思维特性和综合艺术品性的解决问题的上策或良策.尤其是随着新课程的实施及高考模式的改革，高考的数学试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用，它着眼于知识点新颖巧妙的有机组合，试题新而不偏奇，活而不过难；着眼于合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查；着眼于对数学思想方法、数学能力与素质的考查.因此，数学问题解决的教学中要注意自觉克服绝对化的僵化思维，充分挖掘数学问题中潜在的有机结合而形成的特殊性和简单性，尽力打破常规，克服思维定势，灵活处理数学问题中的常量与变量角色的相对性.引导培植学生综合全面的优秀思维品质和良性的分析问题和解决问题的能力，构建学生科学探究、自主学习的能力的框架体系.一、巧理对称关系式问题中量间角色的平等性对称关系式中，量间的地位是平等的，处理时有一定的困难，但当把式中量间角色的平等性加以剥离, 有的量成为常量，有的量成为变量，使它们成为不平等，处理时常常能起到奇妙的效果.例1：设a0,x、y、zR,x+y+z=a,=,求x、y、z的取值范围.分析 该问题中x、y、z均为变量,地位均等,条件中的两式都是轮换对称式,相结合消去z得到=,将此式中的变量x当作常量看待,整理成关于变量y的一元二次方程得+(x-a)y+(-ax)=0,因为该方程有实根=-4(-ax)03-2ax-0将x看成变量,则此式是关于x的一元二次不等式,解得-xa同理可得-ya, -za.例2：在ABC中,求证:cosA+cosB+cosC.分析 该问题中A、B、C都是变量,地位均等, 该求证式是轮换对称式.在ABC中, A+B+C=，当令y=cosA+cosB+cosC时，可得y=2coscos+1-2sin= -2sin+cossin+12sin- 2cossin+y-1=0 将式的sin看成变量, y、cos看成常量, 则式即为关于sin的二次方程. sin为实数, 有实数根=(2 cos)-8(y-1)0y1+cos1+=当且仅当A=B=C=等号成立.故 cosA+cosB+cosC.这里我们把sin看作变量其余的看成常量,使问题转化为一元二次方程有解问题加以解决.二、巧换方程问题中常量与变量的角色着装某些带有参数的方程问题，循着问题中对常量与变量的设定去处理，有时是很复杂，甚至是无法解决问题的.方程问题中的常量（参数或具体数值）与变量的地位并非是一成不变的，它们是具有相对性的，若能打破常规，对问题中常量与变量的角色着装加以巧妙置换，常常会发现问题的处理变得豁然开朗起来，其过程也是极其简单.例3：已知关于x的方程m-2(m-3)x+m-2=0中的m为负整数，试求使方程的解至少有一个为整数时的m值.分析 这里x是变量，m为常量,按常规求出x=，再对m分类讨论，但十分繁琐.如果置换方程中变量x与常量m的角色，将原方程视为关于变量m的方程，则有m=26x，x1，故m=.因m为负整数，故m1，26x，即8x+30.解得4x4+，且x1，x的整数值为2，3，4，5，6，7，代入m=中进行验算，得到m值为10，4.例4：解方程: x+2x+3x+-1=0.分析 直接按x是变量求解方程，显然难度极大，若适当转换角色，则求解十分容易.令=a，将a看成作变量,x看作常量.则原方程化为关于a的方程：x+2ax+x+a-1=0即x+（2x+1）a+ x-1=0，因式分解化为(a+x-1)(xa+x+x+1)=0a+x-1=0或者xa+ x+x+1=0，将a=代入得x=1-或者x+(+1)x+1=0原方程的根为x=1-或者x=(-12).三、巧调恒成立问题中常量与变量的地位同方程问题中的常量与变量的相对特性类似，恒成立问题中的常量与变量按常态处理起来同样非常棘手，但若能巧调常量与变量的地位，则与方程问题的处理具有同等奇妙的效果.例5：已知,， 当|m|2时，的图象都在图象的下方，求x的取值范围.分析 依题意知，当|m|2时，0,则x1，f(x)的增区间为（，1）（1，+）令f(x)0,则1x4对任意k1，1恒成立即k1,1时(2)k+24+40恒成立若将k视为常量，而为变量，问题将变为十分复杂; 将k视为变量，而为常量，问题则变为十分简单.为此令g(k)=( 2)k+24+4 只需时,满足题意这时，解得3即为所求.四、巧置轨迹问题中动定点的相对参照性自然界物体的动与静是相对的，参照系使然而已，因此轨迹问题中动点与定点同样是具有相对性的.以静止的观点处理轨迹问题中的动定点，有时是极其困难，甚至是无所适从的，但若能置换动定点的相对参照性，互换地位，以动点为定点，定点为动点，常常使问题得以简单地迎刃而解.例8：已知抛物线系:y=x+(2m+1)x+m-1=0,求各抛物线的公切线方程.分析 在这里(x,y)为变量, m为参变量对于每一个m值,可以确定一条抛物线,若让(x,y)固定, m作为变量,则方程可化为 m+2xm+(x+x-y-1)=0 一般地,给定一个(x,y)的值,方程可得二个解m1、m2,而每个m决定一条抛物线,由此说明经过点(x,y)有两条抛物线,而当这两条抛物线重合时, 点(x,y)恰好在公切线上,此时方程有重根.事实上,公切线上的点(x,y)都能使方程有重根,而使方程有重根的点(x,y)也都在公切线上.于是解答如下.解 将原方程化为:m+2xm+(x+x-y-1)=0令m=(2x)-4(x+x-y-1)=0即得抛物线系公切线方程: x-y-1=0.例9：过椭圆内一点M(1,1)作动弦AB,过A、B两点分别作椭圆的切线1、2,求1与2的交点P的轨迹