复数的三角形式乘法及其几何意义练习版.docx

复数的三角形式 乘法及其几何意义1、复数的三角形式及运算(1)复数的幅角：设复数Z=abi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合02的辐角的值，叫做辐角的主值，记作argZ说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2的整数倍(2)复数的三角形式：r(cosisin)叫做复数Z=abi的三角形式，其中说明：任何一个复数Z=abi均可表示成r(cosisin)的形式其中r为Z的模，为Z的一个辐角(3)复数的三角形式的运算：设Z=r(cosisin)，Z1=r1(cos1isin1)，Z2=r2(cos2isin2)则2、复数的几何意义(1)复数模的几何意义：，即Z点到原点O的距离，一般地|Z1Z2|即Z1点到Z2点的距离(2)复数加、减法的几何意义图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义即Z=Z1Z2，(3)复数乘、除法的几何意义：设Z1=r1(cos1isin1)，则ZZ1的几何意义是把Z的对应向量按逆时针方向旋转一个角1(如果10，就要把按顺时针方向旋转一个角|1|，再把它的模变为原来的r1倍，所得向量即表示积ZZ1，如图，Z10,的几何意义是把Z的对应向量按顺时针方向旋转一个角1(如果10，就要把按逆时针方向旋转一个角|1|，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商.概念：1、复数的三角形式：设|z|=r（r0），辐角主值：argz=， 那么复数z= 2、复数三角形式的几点要求： 3、回顾练习：下列那一个是复数的三角形式：(A)(cos-isin) (B) -(cos+isin) (C)(sin+icos) (D)cos+isin把下列复数化为三角形式： -3= ； ;一、 复数的三角形式的乘法运算：1、定理：设z1=r1(cos+isin)，z2=r2(cos+isin)，r10,r20那么：z1z2= 此定理用语言叙述为： 【例题1】1、求下列复数的积：(cos+isin)(cos+isin)3(cos75+isin75) (cos15+isin15)(cos3A+isin3A) (cos2A-isin2A)定理的推广：设zn=rn(cosn+isinn),其中rn0于是：z1z2z3zn=r1r2r3rncos(1+2+3+n)+isin(1+2+3+n)（当1=2=3=n 时z1n=cosna+isinna）1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式)r2xyOZ2r1r1r2Z1zM8(cos+isin)2 (cos+isin)= 8(cos240+isin240)2 (cos150-isin150)= 3(cos18+isin18) 2 (cos54+isin54) 5 (cos108+isin108)= |3(cos-isin) (1+i) (sin22+icos22)|= 二、复数乘法的几何意义：两个复数z1、z2相乘时，可以先画出分别与z1、z2对应的向量、，然后把向量按逆时针方向旋转（0如何？）再把模变为原来的r1倍，所得的向量就表示积z1z2. *特征：旋转+伸缩变换向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.【例题2】试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化：8(cos+isin)2 (cos+isin)：8(cos240+isin240)2 (cos210-isin210)：OxyZZ1203(cos18+isin18) 2 (cos54+isin54) (cos108+isin108)：【例题3】1、对应复数-1+i,将按逆时针方向旋转120后得到，求对应复数zOxyZZ2、（2000全国）把复数3-i对应向量按顺时针方向旋转，所得向量对应复数为( )(A)2 (B) -2i (C) -3i (D) 3+i OABCDxyxZOyZ13、ZA=1,ZB=3+2i,并且ABCD是按逆时针方向排列的正方形的四个顶点，求ZC与ZD.第反馈2题【反馈练习2】如果向量对应复数4i，逆时针旋转45后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是 2、正ABC的顶点A、B、C对应复数ZA、ZB、ZC，点A、B、C按逆时针顺序排列，那么（ ）(A) ZC=(ZB-ZA) (cos60+isin60) (B) ZC=(ZB-ZA) (cos60-isin60) (C) ZC=ZB (cos60+isin60) (D) ZC=ZA+(ZB-ZA) (cos60+isin60)三、知识小结：(1)、积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和(2)、复数的乘法向量的旋转与伸缩(3)、做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式.四、练习1、已知0，且，复数Z=tani(1)求Z的三角形式； (2)若|Z|