调和级数发散性的多种证明方法.doc

邯郸学院本科毕业论文高 昌摘 要 调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数，证明它发散性的方法有很多本文主要给出了证明调和级数发散的11种比较常见的方法笔者将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了进一步的整理，使之成为一套具有简单逻辑性的体系根据各种方法的特点，笔者把这些方法分别归在了比较类、柯西类、积分类和级数和为无穷大类四个大类下在每个大类下都有两个到四个不同的证明方法为了方便将各种方法放在一起进行比较，笔者在对各种方法进行整理时，对原来有些方法的书写和步骤都有所改动，呈现形式与原证不同关键词 调和级数 发散性 判别 收敛Proofs of the divergency of harmonic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou XijuanAbstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proof method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the original license different. Keywords Harmonics SeriesDivergency Discriminate Convergency II目 录摘要I外文页II1引言12调和级数发散性的证明方法12.1 比较类12.2 柯西类32.3 积分类42.4 和为无穷大类53总结7参考文献8致谢9调和级数发散性的多种证明方法引言调和级数是级数中具有代表性的一个级数，很早人们就开始对它发散性的证明进行研究并且不少知名的学者和大数学家都参与其中最早证明调和级数发散的是法国学者尼古拉奥雷姆，在极限概念完全理解之前400年证明的后来，大数学家伯努力也给出了一种经典的证明随着科学的不断发展，到现在证明调和级数发散的方法有近二十种本文主要讲搜集到的比较常见的证明调和级数发散的11种方法并进行了进一步的整理，按照比较、柯西、积分、和为无穷大四个条件进行简单归类，使之形成一套比较完备的体系，更方便读者对各种证明方法的阅读和比较为了方便比较，有些方法采取了与原证不同的呈现形式本论文对数学分析中级数敛散性学习和研究，尤其是初学者，会有很大帮助2调和级数发散性的证明方法2.1 比较类比较判别法是证明正项级数敛收敛或发散最常用的方法多数情况下，利用我们所熟知的收敛或发散的级数与未知的级数进行比较，就能得出结论对于调和级数，利用比较法证明其发散的思路主要有两类一是利用加括号法则，把原级数变形，再通过放缩或其它方法得到一个熟悉的并且使它大于调和级数的发散级数通过比较判别法得出结论二是找到一个发散级数，并且它的通项与调和级数的通项比是一个非零常数，这就可以由找到的级数的发散性判定调和级数的发散性下面给出的前两种方法用的是第一种思路，后两种是第二种思路 方法1依次将一项，一项，二项，四项，八项，十六项括在一起得，这是一个新级数，敛散性与原级数相同它的各项均大于级数 的对应项显然，第二个级数是发散的由比较判别法知，调和级数发散.（此方法是法国学者尼古拉奥雷姆在极限概念被完全理解之前的400年证明的）方法2依次将九项，九十项，九百项，括在一起得，这是一个新级数，敛散性与原级数相同它的各项均大于级数 的对应项显然，第二个级数是发散的由比较判别法知，调和级数发散方法3利用不等式：，它的各项均大于下面级数的对应项.假设上面的级数是收敛的，则它的和大于它的部分和。它的部分和为.所以，第二个级数是发散的通过比较判别法可知，调和级数发散方法4应用级数（其中与级数有相同的收敛性取 ，而级数 发散故调和级数发散2.2 柯西类柯西准则及其相关推论也是证明级数收敛或发散的常用方法证明调和级数发散，我们可以用级数发散的柯西准则，也可用级数收敛的柯西准则得出矛盾结论（反证法）本节中方法一用的是级数发散的柯西准则，方法二用的是级数收敛的柯西准则方法1级数发散的充要条件：存在正数，对任何正整数，以及存在正整数和，有. 对于调和级数，令，则有.因此，取，对任何正整数和符合上述条件，所以调和级数是发散的（此方法被多本大学数学教材采用，做为应用柯西准则证明级数发散的典型例题）方法2 级数收敛的柯西准则：任意正数，存在正整数，以及任意正整数和，有 .假设调和级数收敛，则存在使 .令，有（不以0为极限）,从而得出矛盾，故调和级数发散2.3 积分类方法1定理设为上非负递减函数，那么正项级数与非正常积分同时收敛或发散取，则在上为非负递减函数则由定理知级数与同时收敛或发散因为，故调和级数发散方法2采用数形结合的方法利用积分的几何意义，根据面积大小，得出调和级数的部分和发散调和级数的部分和由上图的阴影部分面积可知第一块矩形的面积,第二块矩形的面积,第三块矩形的面积,第块矩形的面积.所以，阴影部分的总面积为，它显然大于曲线下在到之间的那一块面积，即 .可见，调和级数部分和没有极限，故调和级数发散2.4 和为无穷大类 和为无穷大是证明级数发散的最直接的方法和可以是整个级数的和，也可以是级数的部分和利用和为无穷大证明调和级数和为无穷大一般利用反证法，得出调和级数和或调和级数的部分和是一个有限数为假本节给出的前两种方法证明的是整个调和级数的和为无穷大，最后一种方法证明的是调和级数的部分和为无穷大方法1以为基础，先证明这个等式， ， . 设，则, .所以有，没有一个有限数会大于等于自己，所以是无穷大即调和级数发散（此方法是大数学家约翰伯努利作出的经典证明）方法2以不等式为基础先证明这个不等式由得，所以有,.如果是一个有限数，不会大于自己即为正无穷大，故调和级数发散方法3利用反证法，假设，则，因此有 （1）但另一方面，由于对一切有，可知 （2） 显然，结论（1）与结论（2）矛盾,所以，假设错误.因此，调和级数发散.3 总结该论文给出了证明调和级数发散的11种常见的证明方法，并按照一定的方法进行了归类，让读者在阅读时有一定的整体性证明调和级数发散性的方法，除了本文给出的11种，还有许多比如说利用高斯判别法、欧拉常数等有关知识也可以将其证明调和级数发散性的证明对其它正项级数的证明起到了“尺子”的作用对调和级数发散性的研究不仅丰富了调和级数的证明方法，同时也为一般正项级数发散性的证明提供了更广阔的空间在对级数发散性的证明时，用到的有可能不仅仅是文中所给的几种方法，而是需要将几种方法综合运用所以证明级数发散时，没有固定的方法，要灵活参考文献：1 华东师范大学数学系数学分析（下册）（第三版）M. 北京：高等教育出版社，2004:1-242 任亲谋数学分析习题解析 (下册)M.陕西：陕西师范大学出版社，2004 3 裴礼文数学分析典型问题与方法 M.北京：高等教育出版社，1993 4 夏晓峰. 调和级数发散的几种证明J.本溪冶金高等专科学校院报，2000（12）:44-455 马艳宝. 关于调和级数发散性的五种证明方法J. 商业文化（下半月），2010（2）.1276 张竟成. 关于调和级数发散的几种证明方法以及它的应用J. 岳阳职业技术学院学报，2006（5）.217 姜洪文. 对调和级数的分析J. 沈阳师