疑问深处陷绝境纵横捭阖任畅游.doc

疑问深处陷绝境，纵横捭阖任畅游2014年辽宁高考（理科）16题解法探微438200 湖北省浠水县实验高中 魏爱卿 江丰林问题，对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为 .（2014年辽宁高考（理）16T）一、疑惑丛生迷茫处常规解法无出路初识此题时，笔者认为针对条件等式： ，左边是关于的二次齐次式，当然目标关系取最大值，等价于取最大值，将代入的左边，化简为：（1）此时，我们已把c暂时看成“常数”，求（1）最大值，意味着求，即求的最大值，考虑到限制条件（*）似乎已有对的界定。事实上，（*）可看成关于的一元二次方程，当然有解.解得， 同理可得，代入（1）便可得的最大值，及此时的取值，但将代入（*）却不成立，可见此解法宣告失败。译注：（*）的确含有的取值范围，但却不能各自为战，是一个比较“宽大”的范围，但却不能同时成立，当然此时得代入求出最小值肯定错了。类比于“线性规划”体系中，约束条件表示的方程（或方程组）虽可以求出各自变量的取值范围，但代入目标中最值（极值）却不正确，可见，我们已有前车之鉴。二、调整策略重结构引进“均值”看参数虽然一解法失败，但回眸（1）和（*）都具备这样的结构，这与我们常见的基本（均值）不等式很相似，而基本不等式求最值关键在于“”等号成立的条件使用。遗憾的是（*）关于具有“轮换对称”的结构，但（1）却不行，围绕这一点，我们可以引进参数加以调整，设，且.于是（*）可写成：再与目标（1）对照，令；化简为：联立，解得；再代入（*）中可得或此时；（或者，此时没有最小值）；，设. 当且仅当时，；此时，评注：（1）带参“均值”不等式主要用来平衡不对称的数式结构，使之“对称”。为目标服务，本题解法过程可见一般。（2）常见的带参形式可设为等。关注目标结构，依据条件等式是求最大值还是最小值，以及次数等可灵活设置和使用。三、换元之前要配方 三角到处有用场（*）可配凑为：因而可设解之便有；代入中，；，当且仅当时取得，此即，以下过程同二.评注，三角换元法也是处理最值问题的有力工具。本题的条件等式，目标结构通过整合，配凑容易联想到三角换元，再用三角函数知识处理。四、整体思想方程法 二次倚仗判别式令为目标数式，反解得到，再代回到条件等式中去，得；整理为；这个关于的一元二次方程有解；判别式，即；，即为；的最大值为，由此得到：和，以下解法同上。评注：（1）判别式法是求“分式型二次函数”值域（最值）的常见方法。其反解的操作步骤，有实根的思想方法早已深入人心。本解是一种借鉴和移植。（2）同是判别式法，这与一有本质和明显的不同，它是将整体代入条件等式，避免一中（或）单打独斗的偏颇，揭示了判别式求最值的本源。五、延伸问题到一般 追逐思绪溯高端作为受过系统高等数学教育的师范大学毕业生，虽然从教几十年，仍有用高等数学思想处理中等数学问题的情结，不少知识淡忘了，但记忆犹新的条件最值求法拉格朗日乘数法仍刻骨铭心。事实上，本问题可设二元函数，构造辅助函数：；若在条件下，有最值（极值），则必存在常数，使得，由，解得，以下解法同二.评注：多元函数的偏导数法求最值显然超出了现行高中数学教学要求，但为师者，储备的知识潜能可作为教研的一种手段，体现了追求完美的价值取向，反馈出不固步自封，挑战自我的勇气，折射出自我陶醉，自我欣赏的人生境界。这也与当下的高等数学背景下中数问题可谓相映成辉。事实上，如能理解偏导数学求法，拉格朗日乘数法原理，对于这类无法解出是的隐函数（或是的隐函数）的最值问题极具实用性和可操作性。六、字斟酌句经推敲题目条件可改造在三中已知，是非零实数，一定成立。可见“”条件是多余的，作为高考题，条件不宜重复。虽然是填空（小）题对解答没有影响。但从科学性、严谨性、简约性层面考察，本题拟改为：当非零实数满足且使最大值时，的最小值为 ，则题干显得含蓄、精炼。评注：长期专业训练，历经时间磨砺，养成了质疑和反思的习惯，数学语言是思维的基础和导向，以上文字推敲反映了教师的一种职业追求，当然本题结尾处可增设或改为 （或 ）； ，不失为一种灵活变式和巧妙转身。（答案）问题是数学的心脏，解题活动是人类智慧的结晶，一道具体的数学问题，其解答方法可以多种多样，持续的思考是对教师自身教研能力的磨砺和考量。“不思量，自难忘”。当我们长期沉醉了一个问题的解决和思考时，其身心处在一个极度兴奋和忘我