《函数的的连续性》doc版.doc

蚆膆艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒁螇芄膃蚇蚃芃芆蒀肂节蒈蚅羈芁薀薈袃芀芀螃蝿袇莂薆蚅袆蒅螂羄羅膄薅袀羄芆螀螆羄荿薃蚂羃薁莆肁羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅虿蝿罿膅蒂蚅肈芇蚈羃肈莀蒁衿肇蒂蚆螅肆节葿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆螃袂肂芈薅螈膂莁螁蚄膁蒃薄羂膀膂莇羈腿莅薂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膆艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒁螇芄膃蚇蚃芃芆蒀肂节蒈蚅羈芁薀薈袃芀芀螃蝿袇莂薆蚅袆蒅螂羄羅膄薅袀羄芆螀螆羄荿薃蚂羃薁莆肁羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅虿蝿罿膅蒂蚅肈芇蚈羃肈莀蒁衿肇蒂蚆螅肆节葿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆螃袂肂芈薅螈膂莁螁蚄膁蒃薄羂膀膂莇羈腿莅薂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膆艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒁螇芄膃蚇蚃芃芆蒀肂节蒈蚅羈芁薀薈袃芀芀螃蝿袇莂薆蚅袆蒅螂羄羅膄薅袀羄芆螀螆羄荿薃蚂羃薁莆肁羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅虿蝿罿膅蒂蚅肈芇蚈羃肈莀蒁衿肇蒂蚆螅肆节葿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆螃袂肂芈薅螈膂莁螁蚄膁蒃薄羂膀膂莇羈腿莅薂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膆艿蒃羅膆莁虿袁芅蒄蒁螇芄膃蚇蚃芃芆蒀肂节蒈蚅羈芁薀薈袃芀芀螃蝿袇莂 第三章 函数的的连续性本章学习要求1理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类2了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）3会用函数的连续性求极限重点 函数在一点连续的概念难点 间断点的分类，分段函数在分段点的连续性基础知识导学1函数连续的定义（1）函数连续的定义函数在一点连续有三个定义，这三个定义是等价的。定义1 （极限形式的定义）当x趋向于x0时，函数f (x) 以f (x0)为极限，即 （）则称函数f (x)在x0点处连续。上述定义也可用“”语言叙述如下：定义2 （“”形式的定义）0，0，使得当|x - x0|时，恒有 |f (x)f (x0)|（）式也可变为： 给x0以改变量x，则x = x0+x（x可正可负）。当xx0时，x0，相应的函数的改变量为y，有 y= f (x0+x)- f (x0)= f (x)- f (x0)所以（）式可以写成 因此有定义3 （改变量形式的定义）给x0以改变量x，相应有函数的改变量y，当x趋向于0时，函数的改变量y趋向于0，即 （）则称函数f (x)在x0点处连续。也就是说，只要x无限地趋向于x0，即只要x0，函数f (x) 就无限地趋向于f (x0)，即y0，那么函数f (x)在 x0点处必定连续。f (x)在开区间（a,b）内连续是指函数f (x)在开区间（a,b）内的每一点处都连续。f (x)在闭区间a,b上连续是指函数f (x)在开区间（a,b）内连续，且在区间的左端点a处右连续（即f (a+0)= f (a)），在区间的右端点b处左连续（即f (b -0)= f (b)）。函数f (x)在x0点连续的充要条件是f (x)在x0点左连续且右连续，即 f (x0-0)= f (x0+0)= f (x0)（2）左右连续的概念若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续（3）函数在一点连续的充分必要条件函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续由此可知，函数在点处连续，必须同时满足以下三个条件：函数在点的某邻域内有定义，存在，这个极限等于函数值函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续（4）函数的间断点由定义1可知，函数 f (x)在x0点连续必须满足以下三个条件：1）f (x)在x0点处有定义；2）f (x)在x0点处极限存在，即 （A为常数）；3）f (x)在x0点处的极限值等于函数值，即A= f (x0)反之，若函数f (x)在x0点不满足连续的条件，即如果函数f (x)在x0点处有下列三种情况之一：1）在x0邻近的点，f (x)有定义，但在x= x0处，f (x)没有定义；2）虽在x= x0有定义，但不存在；3）虽在x= x0有定义，存在，但则称函数f (x)在x0点不连续，称点x0为函数f (x)的间断点或不连续点。间断点的类型左右极限存在的间断点称为第一类间断点；左右极限至少有一个不存在的间断点（或不属于第一类间断点的）称为第二类间断点。2、连续函数的运算法则定理1 若函数f (x)与g (x)在x= x0连续，则f (x)g (x)，f (x)g (x)，f (x)/g (x)（g (x0)0）在点x0处连续。定理1可以推广到有限多个函数的情况。定理2 设有两个函数y= f (u)，u=(x)，若u=(x)在点x= x0处连续，函数y= f (u)在点u0=(x0)处连续，则复合函数 y= f (x)也在点x= x0处连续。定理3 单调连续函数的反函数也是单调连续的。定理4 基本初等函数在其定义域内是连续的。定理5 初等函数在其定义域内是连续的。3、闭区间上连续函数的性质（1）最大（小）值定理 若函数f (x)在闭区间 a,b上连续，则f (x)在a,b上至少取得最大值和最小值各一次。即存在1，2a,b，使得f (1) f (x)f (2)推论 若函数f (x)在闭区间 a,b上连续，则f (x)在a,b上有界.（2）介值定理( 中间值定理 ) 若函数f (x)在闭区间 a,b上连续，且f (a) f (b),C是介于f (a)、f (b)之间的任何一个数,则在（a,b）内至少存在一点,使得f ()=C.（3）零点存在定理 若函数f (x)在闭区间 a,b上连续，且f (a)与 f (b)异号(即f (a)f (b)0,则一定存在f (x)的零点,即在（a,b）内至少存在一点,使得f ()=0,( ab)重点难点突破1函数的间断点(1)第一类间断点：函数f (x)在x= x0处间断，且左右极限都存在，称x0为第一类间断点。左右极限存在且相等时，x0称为可去型间断点，左右极限存在但不相等时，x0称为跳跃型间断点例如函数f (x)= 在分界点x=2处。即在x=2处f (x)的左右极限相等， x=2是f (x)的可去间断点（f (2) =14）若在x=2处重新定义函数值f (2) =4，则函数就变成了(-,+)内连续的函数.又例如函数f (x)= 在分界点x=0处。即在x=0处, f (x)的左右极限存在而不相等, x=0是f (x)的跳跃间断点.(2)第二类间断点: 函数f (x)在x= x0处间断，且左右极限至少有一个不存在，称x0为第二类间断点。若f (x0+0), f (x0-0)至少有一个为,则称x0为第二类间断点.例如f (x)=,在x=0处f (0+0)=+, f (0-0)=0,所以x=0为第二类间断点.函数f (x)在x= x0处的极限不存在,永远振荡,则x0为第二类间断点.又例如f (x)=,因为不存在,永远在1之间振荡,所以x=0为第二类间断点.2闭区间上连续函数的性质关于闭区间上连续函数的定理及推论都要求函数f (x)在闭区间上连续,也就是说,在开区间,或有间断点的函数,上述定理及推论不一定成立.例如,若把闭区间改成开区间,则最大值、最小值定理不一定成立.如在（0,1）内取不到最大值和最小值.又若f (x)在a,b上有间断点,则最值定理也不一定成立.如f (x)=在闭区间-2,2上, x=0是间断点,函数的值域是（-2,2）,所以f (x)取不到最大值,也取不到最小值.解题方法指导1利用函数的连续性求极限例1 求下列函数的极限 （1） ， （2）解 (1) 因为是初等函数，在处有定义，所以 ，(2) 函数看成由 复合而成，利用分子有理化，然后利用复合函数求极限的法则来运算 =小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序2判断函数连续性的方法 由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性 例 2 讨论函数 ， 在点处的连续性 解 由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限因而有，而即，由函数在一点连续的充要条件知在处连续学习方法建议1本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分知识，建议同学们自己去总结经验体会，多做练习2本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界，无穷大；极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此读者要注意弄清它们之间的实质关系3要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续千万不要求到极限存在就下连续的结论，特别注意判断分段函数在分段点的连续性 螄袃膄蚂羀膂膃莂螃肈膂薄羈肄膂蚇袁羀膁蝿蚄艿膀葿衿膅腿薁蚂肁膈蚃袇羇芇莃蚀袃芆蒅袆膁芆蚈虿膇芅螀羄肃芄蒀螇罿芃薂羂袅节蚄螅膄芁莄羁肀莀蒆螃羆莀薈罿袂荿螁螂芀莈蒀蚄膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈莅莅袈袄莄蒇蚁膃蒄蕿袇聿蒃蚂虿羅蒂莁袅羁蒁薄螈艿蒀蚆羃膅葿螈螆肁蒈蒈羁羇肅薀螄袃膄蚂羀膂膃莂螃肈膂薄羈肄膂蚇袁羀膁蝿蚄艿膀葿衿膅腿薁蚂肁膈蚃袇羇芇莃蚀袃芆蒅袆膁芆蚈虿膇芅螀羄肃芄蒀螇罿芃薂羂袅节蚄螅膄芁莄羁肀莀蒆螃羆莀薈罿袂荿螁螂芀莈蒀蚄膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈莅