平面向量的坐标表示.doc

家教吗助您登上知识的高峰 更多试题下载请访问 平面向量的坐标表示、线段的定比分点一平面向量的坐标表示：平面向量的坐标表示：取x轴、y轴上两个单位向量, 为基底，则平面内任作一向量=x+y，记作：=(x, y)，即向量的坐标 y如：= A=(1, 0) =(0, 1) =(0, 0) 注意：1每一平面向量的坐标表示是唯一的； 0 x2设A(x1, y1) 、B(x2, y2) 则=(x2-x1, y2-y1)3两个向量相等的充要条件：两个向量坐标相等。二平面向量的坐标运算： 设：(x1, y1)、(x2, y2) （1）加减法：=(x1x2,y1y2)(其中=(x1,y2)、=(x2,y2).（2）数乘：若=(x,y),则=(x,y)三、向量共线（或平行）的充要条件： ()注意：充要条件不能写成：或，但在解题中，当分母不为0时常使用；四线段的定比分点及设P1, P2是直线上的两点，P是上不同于P1, P2的任一点，则存在一个实数，使 =，其中叫做点P分所成的比，有三种情况：P1P1P1P2P2P2PPP(内分)=0 (外分) =0 (-1) ( 外分) =0 (-10内分； 0外分； -1（P1, P2不重合）； P与P1重合=0； P与P2重合不存在 2 中点公式是定比分点公式的特例 3 P分的定比为 则P分的定比为五例题解析：例1已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且，求M，N的坐标和.解： A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)， (1，8)，(6，3)，3(1，8)(3，24)， 2(6，3)(12，6)，设M(x，y)，则(x+3，y+4)， 因此，得. M(0，20). 同理可得N(9，2)， (9-0，2-20)(9，-18)例2若向量，其中，分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，求使A，B，C三点共线的m值.解1： A，B，C三点共线， 与共线， 存在实数，使，即，由向量相等的充要条件有， m-2 故：当m-2时，A，B，C三点共线.解2：设(1，0)，(0，1) 则(1，0)-2(0，1)(1，-2)，(1，0)+m(0，1)(1，m)， ，共线， ，即m-2.例3已知四点A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，D(1，2).求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：由已知条件可知(1，-1)，(1，-1) ， 又 A，B，C，D不共线， ABCD，且ABCD，故：四边形ABCD是平行四边形例4已知向量(x，y)与向量( y，2y-x)的对应关系用表示，(1) 证明对于任意向量，及常数m，n恒有成立；(2) 设(1，1)，(1，0)，求向量及的坐标；(3) 求使(p，q) (p，q为常数)的向量的坐标.解： (1) 设(a1，a2)，(b1，b2)，则(ma1+nb1，ma2+nb2)， (ma2+nb2，2ma2+2nb2- ma1-nb1)m(a2，2 a2- a1)+n(b2，2b2- b1)， 成立.(2) ，.(3) 设(x，y)，则(y，2y-x)(p，q)， yp，2y-xq， x2p-q，即向量(2p-q，p).例5已知=10, =(3,-4),且/,求.解：设=(x,y)，则有， 或 =(6,-8)或(-6，8)例6已知(3, -1), (-1, 2), (-1,0), 求与，使 解：由得(-1,0), 例7已知点O(0,0), A(1,2), B(4,5), 及问：(1)t 为何值时，P在x轴上? P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能；求出相应的t值；若不能；请说明理由.解：(1)如图所示：(4,5)-(1,2)(3,3), (1+3t, 2+3t).若P在x轴上，则2+3t0, 解得t; 若P在第二象限，则 解得.(2)(1, 2), (3-3t, 3-3t), 使OABP为平行四边形，需. 由于 无解, 所以，四边形OABP不能成为平行四边形.例8已知A(-1，2)，B(3，4)，连结A，B并延长至P，使|AP|3|BP|，求P点的坐标.解1：点P分所成的比为-3 设点P的坐标为(x，y)，则， 点P(5，5).解2：点B分所成的比2 由定比分点公式，设P(x，y)，则：3，x5； 4，y5 点P的坐标为(5，5). 注：计算时，通常把所求点当做分点以便直接应用公式例9已知两点P1(3，2)，P2(-8，3)，求点分所成的比及y的值. 解1：点P分所成的比为， ，又， ， 即有，解得 点P分所成的比，y.解2：由定比分点坐标公式有：， 解得例10如图所示，在平面内任取一点O， 设, ，点P分所成的比为求证: 证明：如图所示. ， .又点P分所成的比为 所以， 六典型题训练：1若向量a=(x2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（ ）Ax=1,y=3 Bx=3,y=1 Cx=1,y=5 Dx=5,y=12已知向量且，则= （ ）A B C D3已知P分的比是-3，则P1分所成的比是( ).A. - B. - C. - D. - 4若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2= 5已知，若平行，则= 6已知中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D的坐标为_7若向量=(x+3,x2-3x-4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x= 8已知三点P(1,1)、A(2,-