专升本《高等数学》复习指导（下）：.doc

专升本高等数学复习指导（下）：夯实基础、树立信心、迎接挑战在专升本高等数学复习指导（上）中我们论述了极限、一元函数微分学的相关内容，在专升本高等数学复习指导（下）中我们将仍然按照熟练掌握：基本知识、基本原理、及基本技巧的原则论述余下的内容。 四、 不定积分与定积分（一）符号的含义。我们知道：如果函数是定义在某个区间上的已知函数，若有函数，使得在该区间的任一点处有，则称为函数的一个原函数。若为常数，在区间的任一点处，那么，也就是说，如果是的一个原函数，那么就有无穷多个原函数，我们把这无穷多个原函数用符号 表示。从而符号表示的是函数的集合，称为函数在区间上的不定积分。设都是的原函数，即，,从而，那么由拉格朗日中值定理的推理知：，也就是说任意两个原函数之间相差一个常数，从而，若为函数的一个原函数，那么函数的不定积分可表示为：。求函数不定积分的运算是微积分重要运算之一，大家务必多做练习。求函数不定积分的运算所遵循的原则是：通过技巧（变形、凑微分、换元、分部积分）把未知函数的不定积分化作已知函数的不定积分。所以大家务必熟练记住下述基本积分公式：，。注意这些公式中的积分变量既可以是自变量，也可以是某个变量的函数。如它们构成整个积分学的基础。下面我们通过举例说明如何把未知函数的不定积分化为上述基本积分。（1）直接积分法：直接积分法是指用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式进行积分的积分方法。例1，.该被积函数是假分式，所以先将其化为整式和真分式之和，然后利用基本积分公式给出结果。=。（通过将分子凑出分母因子的方法来化简）。又如=。例2，.该题我们利用三角函数中的倍角公式：=。在积分的计算中，利用三角函数中的倍角公式往往可以起到化分式为整式，或降低幂次的作用。=.另外利用指数的运算法则也可用来化简被积函数，然后用基本积分公式积分，如例3，=。 （2）凑微分法（第一类换元法）：在不定积分中，如果被积函数能够看作是两个函数的乘积，即，并且，这时可以考虑用第一类换元法，即令，则，从而将原积分表达式中的用替换，用替换，进而得=，（注意，在最后的表达式中要将用替换）。其中是基本积分之一。熟练之后，上述过程可以不用引入变量，而直接通过凑微分的方法求解：.对下列被积函数常用凑微分法：， ， ，等等。例1,=。例2，例3，。例4，=（在这类题目中注意三角恒等式的应用）。 （3）第二类换元法：与第一类换元法相反，这种积分的特征是原函数不易看出，若令，则，而新的被积函数容易找到原函数且有反函数，那么代回原函数即可求出积分。当被积函数的表达式中含有因子时，通常采用第二类换元法。分别令，与。例1，求。由于被积表达式中含有根式，为去掉根号，故令，则，。从而，=（注意做回代）。例2，求。由于被积表达式中含有根式，故用代换去掉根号，即令，则，。将上述结果代入到积分中去得：=。为了将变量换回变量,我们根据变换做一辅助三角形,如图.则由辅助三角形得 （4）分部积分法：设均可导，则，两边对积分得。移项得分部积分公式： 。在用分部积分法积分时，要使等式右端的积分比左端更容易。下述题型适用于分部积分法：，其中为的多项式，为常数。对选择，通过分部积分降幂，直到最后成为；对选择，通过分部积分转化为有理函数的积分。例题1，=+.例题2, =.例题3, =（二）符号的含义。设函数在上连续，用分点：将分成个小区间，其长度为。在每个小区间上任取一点，作乘积，并求和。如果当，中的最大者时，上述和的极限存在，且与对的分法及的取法无关，则称此极限值为函数在上的定积分，记作。既然表示一个具体的数，那么它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即。由定积分的定义，我们规定。另外，若函数曲线在上连续，且，则表示由曲线，直线与所围成的曲边梯形的面积。应该说明的是，即使是很简单的连续函数的定积分，如果按定义计算的话也是非常困难的，为此需寻找有效的方法。若函数在上连续，是上的任意一点，由定积分存在定理，则是关于变量的函数，称为变上限积分函数，记为，即=，且（即为的一个原函数），=。这就为我们求解定积分提供了新的、快速有效的方法：牛顿-莱布尼兹公式：如果是连续函数在上的一个原函数，则=。与求解不定积分相对应，解定积分也有换元积分法和分部积分法。定积分的换元积分法：令，当从变到时，严格单调地从变到,且在上有连续导数,此时在上的定积分就化为在上的定积分,即.例如求积分，我们用换元法去根号，同时注意积分的上、下限一起换。设,则.当时，;而当时，。故=.定积分的分部积分法公式为:例如求积分，其过程为=。（三）符号的含义。它们表示函数在相应无穷区间上的反常积分，即=,=,（是任意实数）。当极限存在时，称反常积分收敛，否则称反常积分发散。如，由于不存在，所以发散。又如，由于。所以，。 五、 定积分的应用在利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积时，要按以下步骤进行：画出图形（这是关键一步）；由图形选择积分公式及积分上、下限；计算定积分。例题1，求由曲线与所围成的平面图形的面积。求解过程如下：画出曲线与所围成图形；由图形选择积分公式及积分上、下限；并计算定积分 例题2，求由曲线，与轴所围成的平面图形的面积。求解过程如下：画出曲线曲线，与轴所围成的平面图形；由图形选择积分公式及积分上、下限；并计算定积分：例题3，求由曲线与直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。解：画出曲线与直线所围成的平面图形，此平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积： 六、 多元函数微分学（一）符号；，的含义。设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在取得改变量，而保持不变时，得到一个改变量，如果当时，极限存在，则称此极限值为函数在点处对变量的偏导数，记作，或。同理，表示函数在点处对变量的偏导数，即=。若函数在内的每一点处都有偏导数，则称为的偏导函数，简称偏导数。显然，是偏导数分别在处的函数值；求时，只需将的看作常数，直接对变量求导数即可；求时，只需将的看作常数，直接对变量求导数即可。符号与符号表示函数求对变量与求偏导数,即=；与=；符号与符号表示函数求对变量与求偏导数，即=与=。在此就不再一一举例，请大家参考教辅资料。（二）符号的含义。设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点取得改变量与，得到一个全改变量。如果可表示为：=。其中与和无关，是比较高阶的无穷小量（），则称是函数在点处的全微分，记作（约定=，=），并称函数在点处可微。如果函数在点的某个邻域内存在连续的一阶偏导数,则.如求函数的全微分，由于，所以。（三）符号、的含义。设函数可微，而和的偏导数存在，那么复合函数对变量与求偏导数分别为与（复合函数求偏导数的链式法则）。特别地，如果而，则得全导数：。例题1，设，求。这是一个复合函数的微分问题，如果我们引入中间变量，并令，则是与的复合.由复合函数求偏导数的法则得：=，=，所以=+。由全微分公式知，若为自变量，则函数的全微分为；若为中间变量，则函数=的全微分为，我们又知，。将它们代入整理得：，即无论为自变量还是中间变量，函数的全微分始终可以表示为的形式，这称为全微分形式的不变性。同一元函数类似，利用全微分形式的不变性我们将比较方便地求解：复合函数的偏导数、隐函数的全微分与偏导数。求复合函数的全微分同样是由外而内依次进行，直至取到自变量的微分。例题1，设，求。我们利用全微分形式的不变性求解。等式两端取微分得=，合并的同类项得：（这里）。结论与前面解法一致，并且思路简单，运算高效。又如函数的全微分，两端直接取微分得：。例题2，设由方程所确定，求.求解如下：两端直接取微分得，而，那么有，解出得：。同时也得到了：。注意，对于由方程所确定的隐函数也可利用公式求偏导数与全微分，即：，。（四）二元函数的极值。设函数在点的某个邻域内有定义，对在该邻域内的任何不同于的点，如果都有,则称函数在点取得极大值;如果都有,则称函数在点取得极小值。极大值与极小值统称为极值，点称为极值点。如果函数在点处可微，且取得极值，则必有：，。这是函数在点处可微且取得极值的必要条件。也就是说,尽管函数在点处,但是并不一定是极值。为此有下述判别方法（极值存在的充分条件）：设函数在点的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且,。又设,，。则：当时，函数在点处取得极值，且当时为极大值，当时为极小值。当时，函数在点处无极值。当时，函数在点处是否有极值不确定，要用其他做法另作讨论。例如求函数的极值。求解如下:求偏导数，并令它们等于零，;解方程组求驻点，得，即点为驻点。求二阶偏导数并计算其在驻点处的值，。由此计算出,根据定理给出结论，由于,从而，函数在点取得极小值。（五）二元函数的条件极值。求二元函数在条件下的极值，称为条件极值。条件极值问题通常转化为无条件极值问题求解，即，构造拉格朗日函数：，解方程组，解出，点就是函数在条件下可能取得极值的点的坐标。注意：由于是条件极值，所以不能用无条件极值的充分条件来判断是否为极值、极大值还是极小值。判断点是否为所给条件的极值点，通常可依据问题的实际意义来判断：如果所求的点是唯一的，且实际问题存在最大值（或最小值），则所求的点就是极大值点（或极小值点），也就是所给实际问题的最大值点（或最小值点），相应的函数值就是实际问题的最大值（或最小值）。例如问题：把正数分成两个数之和，使它们的乘积最大。求解如下: 设,令，则解得。由于只有唯一解，根据实际问题，即当时，它们的乘积最大，最大值为。 七、 概率论初步若,则表示两事件的和（事件的并）；表示两事件的交（事件的积）。注意事件关系中的几个关键词：“恰有一个发生”有且只有一个发生；“至少有一个发生”一个发生或一个以上都发生；“或”与“且”表示（或），表示（或）。表示与互不相容；表示与为对立事件；“与相互独立”A(或B)发生与否不影响B(或A)的发生，即与互不干扰（判定与是否相互独立，一般不是根据定义，而是根据具体的事件用实际经验来判断）；“”表示的对立事件（或逆事件）。常用公式：（1）；（2）和；（3）随机变量的数学期望：；（4）随机变量的方差：。（5）还应当注意随机变量分布列的性质：概率的非负性，；规范性，。例题1，甲、乙二人独立地向同一目标射击，击中目标的概率分别为0.8与0.5。求两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率。该题中，由于至少有一人击中目标是指甲击中目标或乙击中目标，因此设，则,利用概率的加法公式及事件的独立性，得=0.9。例题2，有