字塔形夹心夹层板的小挠度力学分析.doc

金字塔形夹心夹层板的小挠度力学分析金字塔形夹心夹层板的小挠度力学分析* 摘要摘要 通过横向刚度等效的原则，将金字塔形夹心转变成连续化模型，并通过其刚度常数 的推导，使其转变成均匀夹心夹层板，应用 Reissner 夹层板理论，得到其小挠度下的基本 方程，并就简支板为例，得到其解析解，通过与有限元分析进行比较，两者结果吻合良好。 关键词关键词 金字塔形夹心，夹层板，小挠度，连续化模型，有限元法 分类号分类号 SMALL DEFLECRION MECHANICAL ANALYSIS OF SANDWICH PANEL WITH PYRAMIDAL TRUSS CORES WANG Zhanguang，HE Deping*，SHAN Jian （Department of Materials Science and Engineering，Southeast University，Nanjing 210096) * Supported by 973，National Nature Science Foundation of China No. Manuscript received ; in received from . * To whom correspondence should be addressed, Tel: (025)83794119, E-mail: ABSTACT：In this paper，a sandwich panel with pyramidal truss cores was introduced and transformed into continuum model by means of the equivalent transverse shear stiffnessIts elastic stiffness constants were derived，and then the sandwich panel was idealized as a sandwich panel with uniform cores，and the basic equation was obtained with Reissner sandwich panel theoryThe closed-form solution of a simple supported sandwich panel was calculated，and agree well with 3D finite element analysis Key words：pyramidal truss cores，sandwich panel，small deflection，continuum model，FEM 1引言引言 超轻型金属结构由于其轻质多功能化、高比强、高能量吸收、声、热及多功能化兼容 等优点，已成为二十一世纪前沿热点，为提高比强度三明治结构成为发展重点之一。夹层 板是由两块高强度的薄表层和填充其中用以保证两块表层共同工作的、软而轻的中间层 （夹心）所组成。近五年内，以不同金属泡沫（1）为夹心的三明治结构123，由于高 比强的优势，在航空航天等领域有重要的应用前景，我们进行了研究。 有序金属格栅材料是近几年兴起的热点材料，具有高比强、高能量吸收、高阻尼等优 点，有广泛的应用前景415。其包括棱柱形夹心、各类桁架夹心、折板夹心等多种形式， 与金属泡沫夹心结构比较，具有形式多样、加工简单、形状规则、受力明确。近几年，剑 桥大学、哈佛大学、MIT 等学校研究了在各种条件下材料的力学性能415。但并没有从结 构入手来研究其在各种受力下力和挠度的关系。 金字塔形夹心夹层板是有序金属格栅夹心夹层板的一种，是一种上下表层采用钢板， 中间用钢腹件支撑的复合结构板。本文在高比强度要求下，研究在均布荷载作用下，四边 简支条件下金字塔形夹心夹层板在小挠度条件下载荷和挠度的关系。近未见文献报道。 * 本文支助项目为 973，国家自然科学基金重点 N图图 2 金字塔夹心单元 （缺上面板） Fig 2 Typical unit cell of pyramidal truss core (absent the top face sheet) 图图 1 金字塔形夹心夹层板 Fig.1 Diagram of sandwich panel with pyramidal truss cores 2连续化模型连续化模型 金字塔形夹心是不连续的，力学分析较困难，给设计和应用带来不便，但如果把它转 化成均匀夹心的连续板，就可以利用 考虑剪切效应的 Reissner 夹层板理论 1518，得到该夹层板的解析解。推 导夹心的刚度常数、是夹层板 x C y C 连续化的关键。 金字塔夹心夹层板的尺寸： h-金字塔夹心高度 t-面板厚度 -腹杆和面板的夹角 s-金字塔夹心单位的宽度 -腹杆的截面积 c A -腹杆的杆长 c L 2、1 基本假定： （1）面板只承受面内轴力，不能承受横向剪力； （2）把腹杆折算为夹层板的夹心层，能承受横向剪力，但不能承受轴力，夹心层的 高度即为上、下表层的距离； （3）由于一般不存在中面，取下表面作为计算参考平面。 (4) 垂直板面的直线段在变形后仍为直线段，并在 xz,yz 平面内分别转了一个角度 、，但不再垂直于挠曲后的板面，亦即，。也就是说， x y x w x y w y 产生一个剪切角、，如图 3 所示。 xx x w y y w y 2、2弹性刚度常数 (1)上、下表层的抗弯刚度 图图 4 内桁架平面示意图 Fig 4 plane of truss-core (1) 2 2 (t) D 2(1) E ht (2)夹心的等效剪切刚度 用虚功原理求夹心的等效剪切刚度。 =4 t ds EA NN C EA aQ1 cos2sin2 1 sin2 = cossin2 2 c EA Qa .在剪力 Q 作用下，等效夹层板的剪切变形 为： b = b dx GFa QQ k 1 (1) xx Q Qa C aC 由=，得 t b = (2) x C y CC a EAccossin2 2 3、基本方程、基本方程 假定夹层板的变形可由广义位移、和来决定，在此 、代表变形前垂直 x y w x y 板计算参考面的直线段在变形后的转角，代表挠度，根据 Reissner 夹层板理论，内力应w 变关系为： (3) )(CQ )(CQ )(1( 2 1 )( )( y x y x x y xy y x Y y x x y w x w yx DM yx DM yx DM 拟夹层板的平衡方程和单层板一样，如在板的中面内没有预加的板向力、 x N y N ，则平衡方程为： xy N (4) 0 0 0 xy x x xyy y y x M M Q xy MM Q xy Q Q q xy 图图 5 夹层板的边界条件 Fig 5 Boundary condition of sandwich panel 把（3）式平衡方程（4）中，得： （5） 2 22 11331233 22 22 2 12333311 22 22 22 ()0 ()0 ()0 y xx x yy x y y x w DDCDDC xyx yx w DDDDCC x yxyy ww CCCq xyxy 4、四边简支条件下的解、四边简支条件下的解 4、1 边界条件 对一个长为 a（x 方向） 、宽为 b（y 方向）的四边简支夹层板，其边界条件为： x=： =0，=0，=0，=0，=0 （6a） 2 a x N y w x M y y=： =0，=0，=0，=0，=0 (6b) 2 b y N x w y M x 亦即 x=： =0，=0，=0，=0，=0 (7a) 2 a 2 2 x w x x y y=： =0，=0，=0，=0，=0 (7b) 2 b 2 2 y w y y x 4、2 求解 在均布荷载 q 作用下，可将 q 和、展开为下列级数（边界条件均可得到 x y w 满足） (8) b yn a xm A a w b yn a xm A a b yn a xm A a b yn a xm mn q q mn w nm nm mn y nm nm y mn x nm nm x nm nm coscos)1( D 16q sincos)1( D 16q cossin)1( D 16q coscos 1 )1( 16 2 2 ,3, 1,3, 1 6 4 2 2 ,3, 1,3, 1 5 3 2 2 ,3, 1,3, 1 5 3 2 2 ,3, 1,3, 1 2 把（8）式代入（5）式可得： (9) 0 1D )()( 0) a ( 2 1 )(D 2 1 0m)(D 2 1 2 1 3 3 22 22 2 2 22 mna A b n a ma CA b n CA a m C A b n CCD b n D a m A ab mn A AC ab mn ACD b n D a m A mn w mn y mn x mn w mn y mn x mn w mn y mn x ）（）（ ）（）（ ）（）（ 表示金字塔夹心材料剪切变形的无量纲参数，为边长比，其表达式分别为p ； C D a p b a 求解后，得： (10a,b,c) 2222 22222 w 2222 y 2222 )nmn(m pn1pm )n(mm 1 )nn(m 1 mn mn mn x A A A 把（10a,b,c）代入(8)式和（3）式，可得： （11a,b,c） b yn a xma w b yn a xma b yn a xma nm nm nm nm y nm nm x coscos )nmn(m pn1pm )1( D 16q sincos )n(mm 1 )1( D 16q cossin )nn(m 1 )1( D 16q 2222 22222 2 2 ,3, 1,3, 1 6 4 2222 2 2 ,3, 1,3, 1 5 3 2222 2 2 ,3, 1,3, 1 5 3 (11d,e,f) b yn a xma b yn a xmna b yn a xmna nm nm nm nm nm nm sinsin )n(m 1 )1( 16q 2 1 M coscos )nmn(m m )1( 16q M coscos )nmn(m m )1( 16q M 2222 2 2 2 ,3, 1,3, 1 4 2 xy 2222 22 2 2 ,3, 1,3, 1 4 2 y 2222 22 2 2 ,3, 1,3, 1 4 2 x (11g,h) 2 2 x 3222 1,3,1,3, 232222422 2 y 52222 1,3,1,3, 16q1 Q( 1)sincos n(mn ) 16qm pn p1 Q( 1)cossin m (mn ) m n mn m n mn am xny ab am xny ab 5 算例和有限元比较算例和有限元比较 为验证等效连续化模型的可靠性和正确性，考虑三种不同尺寸的板，如表 1 所示，上 下面板和夹心都是用不锈钢材料，弹性模量，作用在板上 2 206000/EN mm0.3 的均布荷载。为了进行比较，本文还对板 A、B、C 进行了三维有限元分 2 0.4/qN mm 析。在模型的单元划分中，上、下面板采用壳单元，腹杆采用梁单元，梁单元的结点分别 为上、下层面板壳单元结点。从表 2 列出的对比结果，表明等效连续化模型解析解和有限 元解取得了良好的一致。 表表 1 三种夹层板的尺寸 Tab.1 Geometry of three types of sandwich panel 几何尺寸（mm） 夹层板 a b t h c LsAc A33621033042.2421 B33633633545.9422.25 C42021023042.2421 表表 2 近似解析解及有限元法两种方法夹层板最大挠度的对比 Tab. .2 Maximum deflections of closed solution and FEM 在图 6 中，以 B 夹层板为例，画出 图图 6 夹层板的挠度图 Fig6 The deflection of sandwich panel 在 y=b/2 时，挠度随 x 轴的变化情况：曲线 1 表示用有限元法求解的夹层板下面板 （y=b/2）的挠度曲线，曲线 2 表示用有限元法求解的夹层板上面板（y=b/2）的挠度曲线， 曲线 3 表示用拟夹层板法求解的夹层板下面板（y=b/2）的挠度曲线。从图中可以看出，曲 线 1 与曲线 3 吻合的很好， 而曲线 2 和曲线 1 有一定的误差，在板的中点的误差为，其在容 4.43% 许的范围之内，但在板边缘，由于板是悬空的，所以两者偏差较大。为了改变这种情况的 发生可以在板边缘沿板边均匀布置一些竖直腹杆，使上面板的变形规则。另外，当腹杆的 面积太小，或其长细比太大，在较大均布荷载作用下，腹杆的变形可能较大，使上下面板 的挠度相差较大。 6 夹层板的参数讨夹层板的参数讨 6、1 关于参数与影响p 对四边简支金字塔形夹心夹层板而言，拟夹层板法的内力、位移表达式中包括两个参 夹层板 D Nmm C Nmm 解析解 mm 有限元解 mm 误差百分比 A3.056e82464.610.76720.755-1.59 B4.1596e85870.70.61650.61-1.05 C2.0374e82464.610.85370.831-2.66 数：与。将位移弯矩公式表达如下：p （12） 2 4 10 D q w a w （13） X x 21 MqaM10 -无量纲挠度 -无量纲弯矩 wxM 图图 7 金字塔形夹心夹层板的无量纲挠度 Fig7 The nondimensional deflection of sandwich panel with pyramidal truss cores 对位移来说，在常遇的参数范围 =1.01.5，=0.00.5，间隔均取 0.1，计算结果见图 7。从图中可以看出：（1）在不同p 的参数时，挠度的变化很有规律，正负号不改变，其图形相似。 （2）在同一参数，不同 时，位移的分布图基本相似，最大无量纲位移随的增大而增大；（3）在同一参数，ppp 不同时，位移的分布图基本相似，无量纲挠度随增大而减少。 从公式（11d，e，f）中可以看出弯矩、与参数无关，仅与夹心板的 x M y M xy Mp 尺寸有关。其和关系，见图 8。从图中可以看出，无量纲弯矩分布图基本相似， xM 且随的增大影响逐渐减小。 6、2 关于材料剪切变形的无量纲参数的讨论p C D a p cossinA tt)(h )1(22 1 2 C 2 2 a a p 面板的厚度 t 与夹心高度 h 相比较小，h+th，则上式可以简化为 cossinA t )1(22 1 h 2 C 2 a p 图图 8 金字塔形夹心夹层板的无量纲弯矩 Fig8 The nondimensional bending moment of sandwich panel with pyramidal truss cores 图 8 从上面公式可以看出材料剪切变形的无量纲参数与夹心高度 h、面板厚度成正pt 比，与腹杆截面面积、与夹层板长边边长成反比。 C Aa 7结论结论 通过横向刚度等效，本文将金字塔形夹心夹层板转变成连续化模型，通过推导其刚度 常数，将其转变成均匀夹心的夹层板，应用 Reissner 夹层板理论，得到其基本方程。并以 简支板为例，得到其解析解，通过与有限元分析进行比较，两者结果吻合良好。最后，对 影响夹层板的力学特征的参数进行分析。其结果对该材料和结构在工程中的应用，具有理 论指导意义。 参考文献：参考文献： 1 尚金堂，何德坪 泡沫铝层合梁的三点弯曲变形 材料研究学报 2003，17(1):31 2 赵龙，何德坪，单建 高孔隙率高比强泡沫铝合金三明治梁 材料研究学报 2004，18（5） 3 4 F.W.Zok，S.A.Waltner，Z.Wei，H.J.Rathbun，R.M.McMeeking，A.G.Evans，A protocol for characterizing the structural performance of metallic sandwich panels:application to pyramidal truss cores，International Journal of Solids and Structures 41 (2004) 6249-6271 5 Jing-Sheng Liu，Tian Jian 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