学习几何画板积极开展中学数学CAI研究.doc

蒈蝿芇膂螇螈羇莇蚃螇腿膀虿螆节蒆薅螆羁艿蒁螅肄蒄螀螄膆芇蚆螃芈蒂薁袂羈芅蒇袁肀蒁莃袀芃芃螂袀羂蕿蚈衿肄莂薄袈膇薇蒀袇艿莀蝿袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羄袃莇蒃羃肅艿螁羂膈蒅蚇羁芀芈薃羀羀蒃葿罿肂芆螈肈膄蒁蚄肈芇芄薀肇羆蒀薆蚃腿莃蒂蚂芁薈螀蚂羀莁蚆蚁肃薆薂蚀膅荿蒈蝿芇膂螇螈羇莇蚃螇腿膀虿螆节蒆薅螆羁艿蒁螅肄蒄螀螄膆芇蚆螃芈蒂薁袂羈芅蒇袁肀蒁莃袀芃芃螂袀羂蕿蚈衿肄莂薄袈膇薇蒀袇艿莀蝿袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羄袃莇蒃羃肅艿螁羂膈蒅蚇羁芀芈薃羀羀蒃葿罿肂芆螈肈膄蒁蚄肈芇芄薀肇羆蒀薆蚃腿莃蒂蚂芁薈螀蚂羀莁蚆蚁肃薆薂蚀膅荿蒈蝿芇膂螇螈羇莇蚃螇腿膀虿螆节蒆薅螆羁艿蒁螅肄蒄螀螄膆芇蚆螃芈蒂薁袂羈芅蒇袁肀蒁莃袀芃芃螂袀羂蕿蚈衿肄莂薄袈膇薇蒀袇艿莀蝿袆罿膃蚅羅肁莈薁羄膃膁蒇羄袃莇蒃羃肅艿螁羂膈蒅蚇羁芀芈薃羀羀蒃葿罿肂芆螈肈膄蒁蚄肈芇芄薀肇羆蒀薆蚃腿莃蒂蚂芁薈螀蚂羀莁蚆蚁肃薆薂蚀膅荿蒈蝿芇膂螇螈羇莇蚃螇腿膀虿螆节蒆薅螆羁艿蒁螅肄蒄螀螄膆芇蚆螃芈蒂薁袂羈 学习几何画板积极开展中学数学CAI研究 陶维林 （南京师大附中 210003） 多媒体电脑的出现、网络技术的运用，无疑给中学数学教学带来了深刻的变化中学数学CAI（Computer Aided Instruction）已经普遍被接受，有关它的研究正在日益兴起要开展CAI实验研究，就必须选择一个优秀的应用软件Mathematica 、MAPLE、Authorware等软件虽然功能强大，但是由于学习困难、操作复杂、程序语言要求高、专业性强，不能满足中学数学教学的特殊需要等原因在中学数学CAI研究中难以推广开来几何画板以其优秀的品质、强大的功能成为开展中学数学CAI研究的主流软件已经是不争的事实本文从中学数学教学实际出发结合笔者使用该软件的体会为读者介绍几何画板，试图以此推动中学数学CAI的研究1 几何画板21世纪的动态几何 几何画板是专门针对几何学科的CAI工具，它专注于几何问题的研究几何的精髓是什么？就是在不断变化的几何图形中，研究不变的几何规律许多绘图软件很难制作动态的几何图形，几何画板制作出的图形不仅是动态的，而且注重数学表达的准确性11 学习容易 如果您已经有了操作Windows的基础，要掌握几何画板的基本功能，只要认真阅读它的参考手册就可以了如果能够经过三、四天的培训，就可以比较熟练地掌握它开展CAI实验的软件固然不少，但大多不容易学习，而现在我校能熟练掌握几何画板，把它直接用于课堂教学的光50岁以上的老教师就有三、四个12 操作简单 学习容易并不意味着操作简单一些软件，即使您已经熟练地掌握了它，但由于操作复杂，需要大量的时间才能完成一个图形、图象或简单课件的制作，要在课堂上直接使用就根本不可能而几何画板不同，您可以象使用圆规、三角板一样十分方便地使用它如果您事先把画椭圆的过程（时间不超过5分钟）记录下来，形成一个称为“脚本”的文件，利用这个文件在课堂上再画一个椭圆不会超过5秒钟您在课堂上要画一个初等函数的图象、一条圆锥曲线、切割正方体的一个角并使它运动起来，每一个操作都不会超过5分钟13 功能强大 如果仅仅学习容易、操作简单，功能不强也不能满足中学数学教学的需要，使用的价值就不大，但是几何画板的功能却十分强大经过众多使用者的开发研究，已经发现它适用于中学数学各学科，是中学数学教师最理想的CAI工具之一131 在代数、三角方面 只要您给出函数的表达式，就可以作出任意一个给定区间上的初等函数的图象您如果需要进行动态控制可以作出含若干个参数的函数图象，如函数y=Asin(x+)的图象如图1，当您拖动点W运动时，屏幕上不仅的值变动，图象的形状也跟着变动如果您需要说明函数图象的变换，比如 图1您要说明函数 的图象与图象的关系，您可以作出一个形状不变、位置可以任意改变的函数图象用几何画板可以作出由离散的点组成的函数图象，如数列的图象如图2，您可以利用对公比q的动态控制来说明何时这个数列存在极限，何时不存在极限您可以在同一个坐标系中作出若干个函数的图象，进行比较、利用它们讨论方程的解如同时作出函数、(其中a0，a1)的图象来讨论方程解的情况您也可以作出分段函数的图象等等132 平面几何、平面解析几何方面 几何画板，顾名思义是“画板”，提供了画点、线（线段、射线、直线）、画圆的工具，即提供了计算机上的尺规作图因此能画任意一种欧几里德几何图形，而且能够准确地表现几何对象几何画板还提供了测量和计算功能，能够对所作出的对象进行度量如线段的长度、弧长、角度、面积等还能够对测量出的值进行计算，包括四则运算、函数运算，并把结果动态地显示在屏幕上当您用鼠标拖动任意一个对象，使其变动时，显示这些几何对象大小的量也随之改变如果存在着不变的几何关系几何定理，几何画板能使这些几何关系保持不变这正是几何画板的精髓在变动的状态下，线段的中点永远是中点， 图2平行的直线永远平行；无论您拖动三角形的一个顶点怎么移动，虽然这个三角形的三个内角的大小在屏幕上动态地改变着，但是显示三角和的数值总保持不变，并且可以以表格的形式展示在屏幕上（如图3）；当您任意改变圆内的相交弦AB、CD的交点P的位置时，显示AP*PB、CP*PD的数值总保持相等，准确表达了相交弦定理，如果您把这点拖到圆外， 又可以表现割线定理几何画板还能对动态的对象进行“跟踪”，并能显示该对象的“轨迹”， 如点的轨迹、线的轨迹，形成曲线或包络这显然又为平面解 图3析几何中的轨迹教学提供了非常好的工具利用这一功能，可以使学生预先猜测轨迹的形状、使学生看到轨迹形成的过程为学生观察现象、发现结论、探讨问题创设了较好的“情景”，为新的探索式教学方法提供了可能几何画板不仅有直角坐标系功能，能画出解析几何中的所有二次曲线，而且还有极坐标系功能，可以作出由极坐标方程确定的所有曲线如由方程=2Rcos(n)（其中R，n为常数）确定的曲线，当您使其中n的值动态地由零开始连续变化时，就可以看出曲线形状连续变化的过程，即可以看出“玫瑰花瓣”是怎样一瓣一瓣地“长”出来的不论在直角坐标系还是在极坐标系下都可以作出参数方程的曲线 图4 几何画板还提供了旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能，可以按指定的值或动态的值对图形进行平移、缩放、反射等变换，便于研究运动和变换这样的非欧几里德几何问题133 立体几何方面 由几何画板的作图功能，显然能够作出您所需要的一切立体几何图形由于是动态的，您可以拖动某些点改变它的位置使图形有最佳的视角、最好的直观性不仅如此，可以使所作出的图形绕着一个点，一条线进行旋转如图4，这是一个可以旋转的四棱锥，您可以把它旋转一下，看看它的后面；也可以让它自动地连续旋转，从各个角度来观察它如图5，这是一个学生制作的显示正方体截面形状的课件，利用它可以显 图5示任意一个平面截正方体所得到的截面形状通过这一切可以很好地培养学生的空间想象能力134 其他方面 习题与答案当然不便放在同一个屏幕上、有时需要给课件增加一个使用说明，几何画板提供了“隐藏/显示”功能能够把您认为不必要的对象暂时隐藏起来，然后又根据需要显示出来，形成“对象”间的切换一个课件容许由若干“页”组成 几何画板符合Windows应用程序的一致风格:可以为文字选择字体、字型、字号；可以为图形添加颜色您可以为图形、图象增加一段文字说明几何画板可以通过Windows的剪贴板方便地与其他应用程序交换信息如接受Excel表格，还可以根据表格中的数据描点、作图 几何画板还支持“OLE”（对象的链接与插入），如插入Word文本、电影片段还可以通过插入“包”，直接调用Windows的其他应用程序，与其它软件很好地结合起来使用14 交互性强 光是学习容易、操作简单、功能强大，还需要“交互性”强在课堂上，学生很可能产生一些“奇思妙想”，用于课堂教学的CAI软件特别需要交互性软件有了交互性，就能给学生以参与的机会，可以让学生自己操作，实现自我学习，使学生的想象力得到充分发挥，也成为一个真正的“研究者”不能交互的软件也很难进行以“学”为主的教学设计我把几何画板用于双曲线概念的教学，学生就提出:平面上到两个定点距离的积是一个常数时，点的轨迹是什么？我用几何画板当场进行制作，学生立即看到了结果2 用几何画板改进数学教学 由以上介绍您可以看出，几何画板给开展中学数学各科CAI实验研究、进行教学改革提供了全新的、强有力的工具给教师备课增添了新含义21 用几何画板改进概念教学 由于几何画板能够准确、动态地表达几何现象，就可以为认识概念创设一个很好的“情景”我在教学双曲线的概念时，当堂用几何画板进行制作，使学生通过制作的过程，弄清双曲线所满足的几何条件、加强了与椭圆的联系与区别，使学生加深了概念的理解，提高了教学效果几何画板也是进行概念辨析的好工具椭圆的半径为终边的角（x轴的正向为始边）、“椭圆的离心角”是学生容易混淆的两个概念如图6，当您缓缓拖动主动点A绕着点O逆 图6时针转动时，左上角显示这两个角大小的数值都在改变可以十分清晰地看出:在第一象限时，（虽然这一提法并不准确）；当A拖动到y轴的正向时，=不必继续，一个高二的学生自然知道:与有四次“相等”，其他都不等；可以用椭圆离心角的范围来表示椭圆弧22 用几何画板改进解题教学，发现新命题 用几何画板可以验证几何结论是否正确，可以很方便地改变题设条件来观察结论如何变化，对问题进行探索、发现新命题，也可以进行开放性命题的编制，扩展习题的训练功能 我对数学通报的“数学问题解答”栏目中的一些问题进行了探讨，发现有几道题还可以再扩充，使其更为完美如第1163题（98年12期）:已知O与O内切于P，O上任意一点A，弦AB、AC切O于E、F，弦AT过O且交EF于H，交BC于D，求证:我用几何画板研讨这个问题时，用鼠标把O拖到O外，发现比值、仍然相等，这说明题设条件“O与O内切”是不必要的即下列命题也正确：已知O与O外切于P，O上任意一点A，弦AB、AC的延长线切O于E、F，AO交EF于H，交O于T，交BC于D，那么:（证明从略）23 几何画板激发了学生学习数学的兴趣、提供了反复学习的机会 由于我上课经常使用它，使学生的注意力更为集中，极大地激发了学习数学的兴趣，调动了学习的积极性需要反复认识的概念、反复学习的内容、课堂上弄不清楚的，都可以把软件拷贝回家再反复观察、反复认识、反复学习，这给学习困难的学生提供了再学习的机会，把电脑辅助教学“辅”到了不同层次的学生身上24 几何画板是开展数学课外活动的好教材 我校在学生中开设了几何画板选修课，受到了学生的普遍欢迎，获得了很大的成功学生利用几何画板促进自己的数学学习、发展兴趣爱好、帮老师制作课件，智力得到发展，有了令老师吃惊的发现（限于篇幅不再介绍），真正实现由“应试教育”向“素质教育”的转变 总之，几何画板正在改变着中学数学的教学模式3 用几何画板做“数学实验” 举一例:B是半径为r的定圆A内的一定点，M 是圆上的一动点，过线段BM的中点E作BM的垂线与直线AM 的交点为P，求点P的轨迹点P的轨迹显然是一个椭圆但是当放弃“E是线段BM的中点”这一条件时，“奇妙的现象”出现了:当点E到M的距离小于到B的距离时，点P的轨迹是“鸭蛋”形（如图7）；当您用鼠标缓缓拖动点E向B移动，使点E到M的距离大于到B的距离时，您一定经历了一次“数学美”的享受，点P的轨迹成了“导弹” 形（如图8）它们的极坐标方程形式是几何画 图7 图8 板帮我们发现了新曲线4 结束语 要把中学数学CAI研究开展得有声有色，光有一个好软件是远远不够的最重要的是更新教育观念，加强教育教学理论的学习，从中学数学教学实际需要出发，用“建构主义”等先进的教育理论指导实验只有这样，才能把中学数学CAI的研究提高到一个新水平参考资料1 几何画板（软件），305版人民教育出版社，19962 几何画板参考手册全国中小学计算机教育研究中心，1998103 戴佳珉，蔡纶中学数学CAI教学软件的现状与思考数学通报，19971 1999/2/10全文发表于“数学教育类核心期刊”数学通报2000年第4期。 肀芃蚇羆芆艿蚆肈腿薇蚅螇莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂芅蚂肄膅薄螁螄羈蒀螁袆膄莆螀聿羆莂蝿螈节芈螈袁肅薇螇羃芀蒃螆肅肃荿袅螅芈芄袅袇肁薃袄羀芇葿袃膂肀蒅袂袂莅莁葿羄膈芇蒈肆莃薆蒇螆膆蒂蒆袈莂莈薅羀膄芄薄肃羇薂薃螂膃薈薃羅肆蒄薂肇芁莀薁螇肄芆薀衿艿薅蕿羁肂蒁蚈肄芈莇蚇螃肀芃蚇羆芆艿蚆肈腿薇蚅螇莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂